2022年扬州市中考三模数学试题含解析

2022年扬州市中考三模数学试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）
A．11 B．16 C．17 D．16或17
2．在平面直角坐标系中，点(2，3)所在的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)都在反比例函数
3
y=
x
的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系
是（）
A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3 4．下列命题正确的是( )
A．内错角相等B．－1是无理数
C．1的立方根是±1 D．两角及一边对应相等的两个三角形全等
5．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y＝k
x
在第一象限内的图象与△ABC
有交点，则k的取值范围是()
A．1≤k≤4B．2≤k≤8C．2≤k≤16D．8≤k≤16 6．实数a b
、在数轴上的点的位置如图所示,则下列不等关系正确的是( )
A．a+b>0 B．a-b<0 C．a
b
<0 D．2a>2b
7．如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其主视图是( )
A．B．C．D．
8．为了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班9名学生进行了调查，有关数据如下表．则这9名学生每周做家务劳动的时间的众数及中位数分别是（）
每周做家务的时间（小时）0 1 2 3 4
人数（人） 2 2 3 1 1 A．3，2.5 B．1，2 C．3，3 D．2，2
9．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x–h）2+k（a<0）的图象可能是
A．B．
C．D．
105）
A．0与1之间B．1与2之间C．2与3之间D．3与4之间
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．有一枚质地均匀的骰子，六个面分别表有1到6的点数，任意将它抛掷两次，并将两次朝上面的点数相加，则其和小于6的概率是______．
12．如图，在矩形ABCD中，3，AD=1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是_____．
13．如图所示，三角形ABC的面积为1cm1．AP垂直∠B的平分线BP于P．则与三角形PBC的面积相等的长方形是（）
A．
B．
C．
D．
14．下面是用棋子摆成的“上”字：
如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第n个“上”字需用_____枚棋子．
15．一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为1cm，那么这个圆锥的侧面积为_____cm1．
16．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式_____（写一个即可）．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，点A、B在⊙O上，点O是⊙O的圆心，请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠A的余角.
（1）图①中，点C在⊙O上；
（2）图②中，点C在⊙O内；
18．（8分）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：AG
BE
的值为：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=22，则BC=．
19．（8分）今年3月12日植树节期间，学校预购进A，B两种树苗．若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元；若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元．求购进A，B两种树苗的单价；若该学校准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵．
20．（8分）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰三角形ADE，使∠DAE=90°，连接CE．
探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD．
应用：在探究的条件下，若2，CD=1，则△DCE的周长为．
拓展：（1）如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为．（2）如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为．
21．（8分）计算：
（1）（22）2﹣|﹣4|+3﹣1×6+20；
（2）
2
2
211
1442
x x
x x x x
--
⋅-
--+-
．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点E是AD上的一点，∠DBC=∠BED．求证：BC是⊙O的切线；已知AD=3，CD=2，求BC的长．
23．（12分）已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直径．
求证：BD=CD．
24．先化简：
2
2
4424
2
42
x x x
x
x x
-+-
⎛⎫
÷-+
⎪
-+
⎝⎭
，然后从67
x
<<x的值代入求
值．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解析】
试题分析：由等腰三角形的两边长分别是5和6，可以分情况讨论其边长为5，5，6或者5，6，6，均满足三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的条件，所以此等腰三角形的周长为5+5+6=16或5+6+6=17.
故选项D正确.
考点：三角形三边关系；分情况讨论的数学思想
2、A
【解析】
根据点所在象限的点的横纵坐标的符号特点，就可得出已知点所在的象限.
【详解】
解：点（2,3）所在的象限是第一象限.
故答案为：A
【点睛】
考核知识点：点的坐标与象限的关系.
3、A
【解析】
作出反比例函数
3
y=
x
-的图象（如图），即可作出判断：
∵－3＜1，
∴反比例函数
3
y=
x
-的图象在二、四象限，y随x的增大而增大，且当x＜1时，y＞1；当x＞1时，y＜1．
∴当x1＜x2＜1＜x3时，y3＜y1＜y2．故选A．
【解析】解：A．两直线平行，内错角相等，故A错误；B．－1是有理数，故B错误；
C．1的立方根是1，故C错误；
D．两角及一边对应相等的两个三角形全等，正确．
故选D．
5、C
【解析】
试题解析：由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数
k
y
x
=经过点A时k最小，进过点C时k最大，据此可得
出结论．
∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数
k
y
x
=经过点A时k最小，经过点C时k最大，
∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=1，∴2≤k≤1．故选C．
6、C
【解析】
根据点在数轴上的位置，可得a，b的关系，根据有理数的运算，可得答案．【详解】
解：由数轴，得b＜-1，0＜a＜1．
A、a+b＜0，故A错误；
B、a-b＞0，故B错误；
C、a
b
＜0，故C符合题意；
D、a2＜1＜b2，故D错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，利用点在数轴上的位置得出b＜-1，0＜a＜1是解题关键，又利用了有理数的运算．
7、B
【解析】
试题分析：长方体的主视图为矩形，圆柱的主视图为矩形，根据立体图形可得：主视图的上面和下面各为一个矩形，且下面矩形的长比上面矩形的长要长一点，两个矩形的宽一样大小．
考点：三视图．
【解析】
试题解析：表中数据为从小到大排列．数据1小时出现了三次最多为众数；1处在第5位为中位数．所以本题这组数据的中位数是1，众数是1．
故选D．
考点：1.众数；1.中位数.
9、B
【解析】
根据题目给出的二次函数的表达式，可知二次函数的开口向下，即可得出答案.
【详解】
二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＜0）
∴二次函数开口向下.即B成立.
故答案选:B.
【点睛】
本题考查的是简单运用二次函数性质，解题的关键是熟练掌握二次函数性质.
10、C
【解析】
解：∵459，
<<，即23
<<
2～3之间
故选C．
【点睛】
本题考查估计无理数的大小．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、
5 18
【解析】
列举出所有情况，看两个骰子向上的一面的点数和小于6的情况占总情况的多少即可．【详解】
解：列表得：
∴两个骰子向上的一面的点数和小于6的有10种，
则其和小于6的概率是105 3618
=，
故答案为：
5 18
．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件
.树状图法适用于两步或两步以上完成的事件
.解题时还要注意是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12、
3
24
π
-
【解析】
∵在矩形ABCD中，3DAC=60°，∴3，AD=1．
由旋转的性质可知：3AD′=1，
∴tan∠D′AC′=
3
1
3，
∴∠D′AC′=60°．∴∠BAB′=30°，
∴S△AB′C′=1
2
×1×3
3
S扇形BAB′
2
30(3)
π
4
π
．
S阴影=S△AB′C′-S扇形BAB′3
4
π
．
故答案为
3
2
-
4
π
．
【点睛】
错因分析中档题.失分原因有2点：（1）不能准确地将阴影部分面积转化为易求特殊图形的面积；（2）不能根据矩形的边求出α的值.
13、B
【解析】
过P点作PE⊥BP，垂足为P，交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC 和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【详解】
解：过P点作PE⊥BP，垂足为P，交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∠ABP=∠EBP，
又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°，
∴△ABP≌△BEP，
∴AP=PE，
∵△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC=S△PCE，
∴三角形PBC的面积=1
2
三角形ABC的面积=
1
2
cm1，
选项中只有B的长方形面积为1
2
cm1，
故选B．
14、4n+2
【解析】
∵第1个有：6=4×1+2；第2个有：10=4×2+2；第3个有：14=4×3+2；……
∴第1个有：4n+2；
故答案为4n+2
15、10
【解析】
分析：根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解．
详解：∵圆锥的底面半径为5cm，∴圆锥的底面圆的周长=1π•5=10π，∴圆锥的侧面积=1
2
•10π•1=10π（cm1）．
故答案为10π．
点睛：本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半
径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=1
2
•l•R，（l为弧长）．
16、y＝x2+2x（答案不唯一）．
【解析】
设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），令a＝1即可．
【详解】
∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），
∴可设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），
把a＝1代入，得y＝x2+2x．
故答案为y＝x2+2x（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一．
三、解答题（共8题，共72分）
17、图形见解析
【解析】试题分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角为直角画图即可；（2）延长AC交⊙O于点E ，利用（1）的方法画图即可.
试题解析：
如图①∠DBC就是所求的角；
如图②∠FBE就是所求的角
18、（1）①四边形CEGF 2；（2）线段AG 与BE 之间的数量关系为2BE ；（3）5【解析】
（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；
②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得
CG 2CE =、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；
（2）连接CG ，只需证ACG ∽△BCE 即可得；
（3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH ==，设BC CD AD a ===，知AC 2a =，由AG GH AC AH
=得2AH a 3=、1DH a 3=、10CH =，由AG AH AC CH =可得a 的值． 【详解】
（1）①∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC ，
∴四边形CEGF 是正方形；
②由①知四边形CEGF 是正方形，
∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°， ∴
2CG CE
=，GE ∥AB ， ∴2AG CG BE CE ==，
故答案为2；
（2）连接CG ，
由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α， 在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，
CE CG =22、CB CA =22
， ∴CG CE =2CA CB = ∴△ACG ∽△BCE ， ∴
2AG CA BE CB == ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为2BE ；
（3）∵∠CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线，
∴∠BEC=135°，
∵△ACG ∽△BCE ，
∴∠AGC=∠BEC=135°，
∴∠AGH=∠CAH=45°，
∵∠CHA=∠AHG ，
∴△AHG ∽△CHA ，
∴AG GH AH AC AH CH
==， 设BC=CD=AD=a ，则AC=2a ，
则由AG GH AC AH =222a =， ∴AH=
23a ， 则DH=AD ﹣AH=13a ，22CD DH +10a ，
∴由AG AH
AC CH
=
得
2
a
=
解得：
故答案为
【点睛】
本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.
19、（1）A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元；（2）10棵
【解析】
试题分析：（1）设B种树苗的单价为x元，则A种树苗的单价为y元．则由等量关系列出方程组解答即可；
（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30﹣a）棵，然后根据总费用和两种树苗的棵数关系列出不等式解答即可．试题解析：（1）设B种树苗的单价为x元，则A种树苗的单价为y元，
可得：
352100
{
4103800
y x
y x
+=
+=
，
解得：
300
200 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元. （2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30﹣a）棵，
可得：200a+300（30﹣a）≤8000，
解得：a≥10，
答：A种树苗至少需购进10棵．
考点：1．一元一次不等式的应用；2．二元一次方程组的应用
20
、探究：证明见解析；应用：2+；拓展：（1）BC= CD-CE，（2）BC= CE-CD 【解析】
试题分析：探究：判断出∠BAD=∠CAE，再用SAS即可得出结论；
应用：先算出BC，进而算出BD，再用勾股定理求出DE，即可得出结论；
拓展：（1）同探究的方法得出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，即可得出结论；（2）同探究的方法得出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，即可得出结论．
试题解析：探究：∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE ．
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC ，∠DAE=∠CAE+∠DAC ，
∴∠BAD=∠CAE ．
∵AB=AC ，AD=AE ，
∴△ABD ≌△ACE ．
∴BD=CE ．
∵BC=BD+CD ，
∴BC=CE+CD ．
应用：在Rt △ABC 中，，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=2，
∵CD=1，
∴BD=BC-CD=1，
由探究知，△ABD ≌△ACE ，
∴∠ACE=∠ABD=45°，
∴∠DCE=90°，
在Rt △BCE 中，CD=1，CE=BD=1，
根据勾股定理得，
∴△DCE 的周长为
故答案为
拓展：（1）同探究的方法得，△ABD ≌△ACE ．
∴BD=CE
∴BC=CD-BD=CD-CE ，
故答案为BC=CD-CE ；
（2）同探究的方法得，△ABD ≌△ACE ．
∴BD=CE
∴BC=BD-CD=CE-CD ，
故答案为BC=CE-CD ．
21、（1）1；（2）
2
x x ． 【解析】
（1）先计算乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减运算可得；
（2）先将分子、分母因式分解，再计算乘法，最后计算减法即可得．
【详解】
（1）原式=8-4+13×6+1 =8-4+2+1 =1． （2）原式=()()()
21121•122x x x x x x -+----- =
1122x x x +--- =2x x -． 【点睛】
本题主要考查实数和分式的混合运算，解题的关键是掌握绝对值性质、负整数指数幂、零指数幂及分式混合运算顺序和运算法则．
22、 (1)证明见解析
(2)BC=
【解析】
（1）AB 是⊙O 的直径，得∠ADB=90°，从而得出∠BAD=∠DBC ，即∠ABC=90°，即可证明BC 是⊙O 的切线； （2）可证明△ABC ∽△BDC ，则
BC CD CA BC =，即可得出10． 【详解】
（1）∵AB 是⊙O 的切直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠BAD=∠BED ，∠BED=∠DBC ，
∴∠BAD=∠DBC ，
∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°，
∴∠ABC=90°，
∴BC 是⊙O 的切线；
（2）解：∵∠BAD=∠DBC ，∠C=∠C ，
∴△ABC ∽△BDC ，
∴BC CD CA BC
=，即BC 2=AC•CD=（AD+CD ）•CD=10，
∴
．
考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定和性质.
23、证明见解析
【解析】
根据AB=AC，得到AB AC
=，于是得到∠ADB=∠ADC，根据AD是⊙O的直径，得到∠B=∠C=90°，根据三角形的内角和定理得到∠BAD=∠DAC，于是得到结论．
【详解】
证明：∵AB=AC，
∴AB AC
=，
∴∠ADB=∠ADC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAD=∠DAC，
∴BD CD
=，
∴BD=CD．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
24、
1
x
-,当x＝1时，原式＝﹣1．
【解析】
先化简分式，然后将x的值代入计算即可．【详解】
解：原式＝
22
(2)244 (2)(2)22
x x x
x x x x
⎛⎫---
÷-
⎪-+++
⎝⎭
＝
2
22
22
22
2(2)
1
x x x
x x
x x
x x x
x
--
=÷
++
-+
=⋅
+--
=-
.
22
40,20,20 x x x x
-≠+≠-≠
≠，
x2
∴≠±且x0
-<<
6x
﹣，﹣，，，，
∴x的整数有21012
＝，
∴取x1
＝时，
当x1
＝﹣．
原式1
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．。