(好题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测(有答案解析)(1)

一、选择题
1．已知函数23()2ln (0)x
f x x x a a
=-+>，若函数()f x 在[]1,2上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．20,5
⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．(0,1]
D ．[1,)+∞
2．函数()ln f x x x =-与()ln x g x xe x x =--的最小值分别为,a b ，则 （ ） A ．a b = B ．a b >
C ．a b <
D ．,a b 的大小不能确
定
3．已知函数()2sin x m f x x +=-在30,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个不同的零点，则实数m 的取值范
围是（ ） A ．3,4
4ππ⎫
⎡-
-⎪⎢⎣⎭ B ．3,44ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．,24ππ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
4．已知曲线1C ：()x
f x xe =在0x =处的切线与曲线2C ：()()ln a x
g x a x
=
∈R 在1x =处的切线平行，令()()()h x f x g x =，则()h x 在()0,∞+上（ ）
A ．有唯一零点
B ．有两个零点
C ．没有零点
D ．不确定
5．已知函数,0(),0
x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩（其中e 为自然对数的底数），若函数2
()y f x ax =-恰
有三个零点，则（ ）
A ．2
4
e a >
B ．2
4e a
C ．2
2
e a >
D ．2
e a >
6．已知函数()()2
2,0
2ln ,0
x x f x a x x x x -⎧<⎪=⎨++>⎪⎩，若恰有3个互不相同的实数1x ，2x ，3x ，使得
()()()123222
123
2f x f x f x x x x ===，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1a e
>-
B ．1
0a e
-
<< C ．0a ≥ D ．0a ≥或1a e
=-
7．已知函数()f x 的定义域为[)2-+∞，
，部分对应值如下表；()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如下图所示.若实数a 满足()211f a +≤，则a 的取值范围是（ ）
()f x
1
1-
1
A ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
8．设函数()x f x e x =-，直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，则+a b 的最大值是
（ ） A ．11e
-
B ．1
C ．1e -
D ．22e -
9．已知函数2()f x x m =+与函数1()ln
3g x x x =--，1,22x ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5ln )4
[2,2+ B ．5
[2ln 2,
ln 2)4
-+ C ．5(ln 2,2ln 2)4
+-
D ．(]2ln2,2-
10．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x '+<，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．(3)2(2)2ef f e +<+ B ．(3)2(2)2ef f e +>+ C ．(3)2(2)2f e ef +<+
D ．(3)2(2)2f e ef +>+
11．已知定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ，当0x >时，有
2()()0f x xf x '+>，且(1)0f -=，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( )
A ．(1,0)
(0,1)-
B ．(,1)(1,)-∞-+∞
C ．(1,0)(1,
)
D ．(,1)(0,1)-∞-
12．已知函数()x
x f x e e ax -=-+（a 为常数）有两个不同极值点，则实数a 的取值范围
是（ ） A ．[)1,+∞
B ．[)2,+∞
C ．()2,+∞
D ．()1,+∞
二、填空题
13．若0x ∀>，不等式ln 2(0)a x b a x ++
≥>恒成立，则b
a
的最大值为________. 14．若函数()(
)()()21222x
f x a x e ax ax a R ⎡⎤=---+∈⎢⎥⎣⎦
在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，则a 的取值范围是___________.
15．若函数()2
31x
f x e x mx =+-+在(],3-∞上单调递减，则实数m 的取值范围为
______.
16．若对任意a ，b 满足0<a <b <m ，都有ln ln a a b b >，则实数m 的最大值为_____________________.
17．已知函数()21
ln 2
f x a x x =+(0a >)，若对任意两个不相等的正实数12,x x 都有
()()
1212
4f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是_____.
18．若函数3y x ax =-+在[)1,+∞上是单调函数，则a 的最大值是______. 19．已知函数()f x 是定义在区间()0,∞+）上的可导函数，若对
()0,x ∀∈+∞()()20xf x f x '+>恒成立，则不等式
()()()20202020201920192019
2020
x f x f x ++<+的解集为______.
20．若函数()ln f x ax x =-在区间()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是________.
三、解答题
21．已知a 为实数，()()()2
4
f x x x a =--.
（1）若1x =-是函数()f x 的极值点，求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值； （2）若()f x 在(],2-∞-和[)2,+∞上都是递增的，求a 的取值范围. 22．已知函数()
()2
2646
x x e f x x x -=
++.
（1）求函数()f x 的单调区间，并求()f x 的最值； （2）已知[)0,1a ∈，()()
()23
22202x e a x x g x x x
-++=>.
①证明：()g x 有最小值；
②设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.
23．某偏远贫困村积极响应国家“扶贫攻坚”政策，在对口帮扶单位的支持下建了一个工厂，已知每件产品的成本为a 元，预计当每件产品的售价为x 元()38x ≤≤时，年销量为
()
2
9x -万件.若每件产品的售价定为6元时，预计年利润为27万元
（1）试求每件产品的成本a 的值；
（2）当每件产品的售价定为多少元时？年利润y （万元）最大，并求最大值． 24．已知函数()ln x
x k
f x e +=
(k 为常数，e =2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1，()1f )处的切线与x 轴平行. （1）求()f x 的单调区间；
（2）设()()'g x xf x =，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，
()21g x e -<+.
25．已知函数()ln a
f x x x x
=-
-. （1）当2a =-时，求函数()f x 的极值；
（2）若()2
f x x x >-在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.
26．已知函数32()24,1f x x ax x =-+=是函数()f x 的一个极值点.
（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）当[1,2]x ∈-，求函数()f x 的最小值.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
求出()'
f x 由()0f x '
≤得
31
4x a x ≤-，令1()4g x x x
=-，判断出()g x 的单调性并利用单调性可得()g x 的最小值可得答案. 【详解】
31
()4(0)f x x x a x
'=
-+>，因为函数()f x 在[]1,2上单调递减， 所以
3140x a x -+≤，即314x a x
≤-， 令1()4g x x x =-
，由于11
4,y x y x ==-在[]1,2都是增函数， 所以1
()4g x x x
=-在[]1,2单调递增，所以()(1)3g x g ≤=， 所以
3
3a ≤，又0a >，解得1a ≥. 故选：D. 【点睛】
本题考查了利用函数的单调性求参数的范围问题，关键点是令1
()4g x x x
=-并求出最小值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
2．A
解析：A 【分析】
根据函数的单调性分别求出函数()f x ，()g x 的最小值，比较a ，b 即可． 【详解】
()f x 的定义域是()0,∞+，
11()1x f x x x
'-=-
=， 令()0f x '<，解得：01x <<，令()0f x '>，解得：1x >，
()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增， ()f x 的最小值是()1f 1=，故1a =，
()x g x xe lnx x =--，定义域(0,)+∞，
()()()
11111x x
x g x x e xe x x
+=+--=-'，
令()1x
h x xe =-，则()()10x
h x x e '=+>，(0,)x ∈+∞
则可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，且()010h =-<，()110h e =->， 故存在0(0,1)x ∈使得()0h x =即0
01x x e
=，即000x lnx +=，
当0(0,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减，
当()0x x ∈+∞，
时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 故当0x x =时，函数取得最小值0000000()11x
g x x e lnx x lnx x =--=--=，即1b =，
所以a b = 故选：A ． 【点睛】
关键点睛：题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，解答本题的关键是由()()()
11111x
x x g x x e xe x x
+=+-
-=-'，得出当0(0,)x x ∈时，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，
时，函数()g x 单调递增，根据000x lnx +=，求出最小值，属于中档题.
3．A
解析：A 【分析】
()0f x =有两解变形为m x
x
e e =
有两解， 设()x
x
g x e
=，利用导数确定函数的单调性、极值，结合()g x 的大致图象可得结论．
【详解】 由()22sin x m f x e x +=
-得2sin m
x
e =
，设2sin ()x
g x =，则2(cos sin )
()x
x x g x e
-'=
， 易知当04
x π
<<时，()0g x '>，()g x 递增，当
34
4
x π
π
<<
时，()0g x '<，()g x 递减，
(0)0g =，4
14g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，34
314g e ππ
⎛⎫= ⎪⎝⎭
，如图是()g x 的大致图象， 由2sin m
x x e e =
有两解得34411m e e e
ππ≤<，所以344m ππ-≤<-．
故选：A ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题关键是转化．函数的零点转化为方程的解，再用分离参数变形为2m x
x
e e =
，问题转化为2()x
x g x e
=的图象与直线m
y e =有两个交点，利用导数研究函数()g x 的单调性、极值后可得．
4．A
解析：A 【分析】
先对函数()x
f x xe =和()ln a x
g x x
=
求导，根据两曲线在1x =处的切线平行，由导数的几何意义求出a ，得到函数()()()ln x
h x f x g x e x ==，对其求导，利用导数的方法判定单调性，确定其在()0,∞+上的最值，即可确定函数零点个数. 【详解】
∵()x
f x xe =，∴()()1x
f x x e '=+，
又()ln a x g x x =
，∴()2ln a a x
g x x
-'=，
由题设知，()()01f g '='，即()0
2
ln1
101a a e -+=
，∴1a =， 则()()()ln ln x
x x
h x f x g x xe e x x
==⋅
=， ∴()()ln 1ln x
x x
x x e
e h x e x x x
+==
'+，0x >， 令()ln 1m x x x =+，0x >，则()ln 1m x x '=+，
当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0m x '
<，即函数()ln 1m x x x =+单调递减； 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0m x '
>，即函数()ln 1m x x x =+单调递增；
∴在()0,∞+上()m x 的最小值为11
10m e e
⎛⎫=-> ⎪⎝⎭
， ∴()0m x >，则()0h x '>，
∴()h x 在()0,∞+上单调递增，且()10h =.
()h x 在()0,∞+上有唯一零点，
故选：A ． 【点睛】 思路点睛：
利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数.（有时也需要利用数形结合的方法进行判断）
5．A
解析：A 【分析】
由(0)1f =，故0不是函数()2y f x ax =-的零点，则由2
()0f x ax -=，得
2()(0)f x a x x =≠，令2()()f x g x x =2
,0
1,0
x
e x x x x
⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则题目转化为y a =与()y g x =有三
个零点，利用导数研究函数()y g x =的性质并作出示意图可求得答案. 【详解】
由(0)1f =，故0不是函数()2
y f x ax =-的零点，
则由2
()0f x ax -=，得2
()
(0)f x a x x =
≠，
令2
()()f
x g x x =2
,0
1,0
x
e x x x x
⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则题目转化为y a =与()y g x =有三个零点， 当0x >时，2()x e g x x =，则4
(2)
()x xe x g x x
-'=， 则()g x 在(0,2)上递减，在(2,)+∞上递增，当2x =时，()g x 有最小值为2
(2)4
e g =，
当0x →时，()g x →+∞，作出()y g x =的示意图如图所示：
由图知，若函数()2
y f x ax =-恰有三个零点，则2
4
e a >. 故选：A. 【点睛】
方法点睛：求函数()f x 的零点个数的方法如下： 直接解方程()0f x =，求出零点可得零点个数.； 数形结合法：转化为两个函数的交点；
参变分离法：将参数分离出来，再作函数的图像进而转化为y a =与()y g x =（分离后的函数）的交点问题.
6．D
解析：D 【分析】
根据题意，令()()2
21
,0
2ln 2,0
x x f x x g x x x a x x ⎧<⎪⎪⋅==⎨⎪++>⎪⎩
，得到函数()()2
f x
g x x =与直线2y =共有三个不同的交点；根据导数的方法，分别判断0x <和0x >时，函数的单调性，以及最值，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】
因为()()22,0
2ln ,0x
x f x a x x x x -⎧<⎪=⎨++>⎪⎩，令()()22
1
,02ln 2,0
x x f x x g x x x a x x ⎧<⎪⎪⋅==⎨⎪++>⎪⎩
，
由题意，函数()()
2f x g x x
=与直线2y =共有三个不同的交点； 当0x <时，()2
1
2x g x x =
⋅，则()()()
()
222
2
3
2222ln 222ln 22
222x x x x x x x x x
x g x x
x x '
-⋅⋅+⋅+'=
=-
=-
⋅⋅⋅， 由()3ln 2202x x g x x +'=-
=⋅解得
22
2log ln 2
x e =-=-； 所以()2,2log x e ∈-∞-时，()0g x '<，即函数()2
1
2x g x x =
⋅单调递减； ()22log ,0x e ∈-时，()0g x '>，即函数()2
1
2x g x x
=
⋅单调递增； 所以()()()
()222
22
2
min 2log 221
2log 24
2
2log 4log e
e e g x g e e e -=-=
=
<<⋅-，
又2
12
112
2122g -⎛⎫-==> ⎪⎝⎭
⎛⎫⋅- ⎪
⎝⎭
，()()
2
71
128
7249
27g --=
=
>⋅-， 所以()2
1
2x g x x
=
⋅与直线2y =有且仅有两个不同的交点； 当0x >时，()ln 2x
g x a x =++，则()2
1ln x g x x -'=， 由()2
1ln 0x
g x x
-'=
=得x e =， 所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，则函数()ln 2x
g x a x
=++单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，则函数()ln 2x
g x a x
=++单调递减； 所以()()max 12g x g e a e
==++， 又当1≥x 时，()ln 22x
g x a a x
=++≥+；当01x <<时，()2g x a <+； 当x e ≥时，()ln 22x
g x a a x
=++>+， 所以为使()ln 2x
g x a x
=++与直线2y =只有一个交点， 只需122a e ++=或22a +≥，即1
a e
=-或0a ≥. 故选：D.
【点睛】
本题主要考查由方程根的个数求参数，转化为函数交点个数问题求解即可，属于常考题型.
7．A
解析：A 【分析】
由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到()f x 的单调性，结合函数的单调性即可求得a 的取值范围. 【详解】
由导函数的图象知：()2,0x ∈-时，()0f x '<，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 因为()211f a +≤，()21f -=，()41f =， 所以2214a -<+<，
可得：3322
a -
<<， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.
8．C
解析：C 【分析】
先设切点写出曲线的切线方程，得出a 、b 的值，再利用构造函数利用导数求+a b 的最大值即可. 【详解】
解：由题得()1x f x e '=-，设切点(t ，())f t ，则()t
t f t e =-，()1t f t e '=-；
则切线方程为：()(1)()t t
y e t e x t --=--， 即(1)(1)t
t
y e x e t =-+-，又因为y ax b =+， 所以1t a e =-，(1)t
b e t =-， 则12t t a b e te +=-+-，
令()12t
t
g t e te =-+-，则()(1)t
g t t e '=-，
则有1t >，()0g t '<；1t <，()0g t '>，即()g t 在(),1-∞上递增，在()1,+∞上递减， 所以1t =时，()g t 取最大值(1)121g e e e =-+-=-， 即+a b 的最大值为1e -. 故选：C. 【点睛】
本题考查了利用导数求曲线的切线方程和研究函数的最值，属于中档题.
9．A
解析：A 【分析】
将问题转化为()()f x g x =-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
恰有两个不同的解，令()()()h x f x g x =+，将问
题转化为()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有两个零点的问题，利用导数可求得()h x 的单调性，进而确定
区间端点值和最值，由此构造不等式求得结果. 【详解】
()f x 与()g x 在1,22x ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，
()()f x g x ∴=-在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
恰有两个不同的解，
即2
21ln
3ln 30x m x x x x m x +--=+-+=在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恰有两个不同的解， 令()2
ln 3h x x x x m =+-+，则()()()2211123123x x x x h x x x x x
---+'=+-==
， ∴当1,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0h x '<；当()1,2x ∈时，()0h x '>，
()h x ∴在1
,12
⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调递减，在()1,2上单调递增，
又15ln 224h m ⎛⎫
=--+
⎪
⎝⎭
，()12h m =-，()2ln 22h m =-+， 原问题等价于()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恰有两个零点，
则5ln 2024m m --+≥>-，解得：5ln 224m +≤<，即m 的取值范围为5ln 2,24⎡
⎫+⎪⎢⎣
⎭.
故选：A . 【点睛】
本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将两函数图象对称点个数的问题转化为方程根的个数的问题，进一步通过构造函数的方式将问题转化为函数零点个数的问题.
10．A
解析：A 【分析】
设()()2x
x
F x e f x e =-，求导并利用()()2f x f x '
+<可得()F x 在R 上单调递减，根据
(2)(3)F F >可得结果.
【详解】
设()()2x x
F x e f x e =-，则[]()()()2()()2x x x x
F x e f x e f x e e
f x f x '''=+-=+-，
因为()()2f x f x '+<，所以()()()20F x e f x f x ''
⎡⎤=+-<⎣⎦，
所以()F x 在R 上单调递减，则(2)(3)F F >，即2
2
3
3
(2)2(3)2e f e e f e ->-，
故(3)2(2)2ef f e +<+． 故选：A. 【点睛】
本题考查了构造函数解决导数问题,考查了利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.
11．B
解析：B 【分析】
根据条件构造函数2
()()g x x f x =，求函数的导数，判断函数的单调性，将不等式进行转化求解. 【详解】
由题意，设2
()()g x x f x =，则2
'()2()()[2()'()]g x xf x x f x x f x xf x =+=+， 因为当0x >时，有2()'()0f x xf x +>， 所以当0x >时，'()0g x >，
所以函数2
()()g x x f x =在(0,)+∞上为增函数，
因为(1)0f -=，又函数()f x 是偶函数，所以(1)(1)0f f =-=，
所以(1)0g =，而当()0>g x 时，可得1x >，而()0>g x 时，有()0f x >， 根据偶函数图象的对称性，可知()0f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞， 故选B. 【点睛】
该题考查的是与导数相关的构造新函数的问题，涉及到的知识点有函数的求导公式，应用导数研究函数的单调性，解相应的不等式，属于中档题目.
12．C
解析：C 【分析】
由导数与极值的关系知可转化为方程()0f x '=在R 上有两个不等根，结合函数的性质可求. 【详解】
函数有两个不同极值点，
()0x x f x e e a -'∴=--+=有2个不等的实数根,
即x x a e e -=+有2个不等的实数根， 令()x
x
g x e e
-=+，则()x
x
g x e e '
-=-在R 上单调递增且(0)0g '=，
当0?x <时 ()0,()g x g x '<单调递减，当0 x >时，()0,()'>g x g x 单调递增， 所以函数有极小值也是最小值(0)2g =，
又当x →-∞时，()g x →+∞，x →+∞，()g x →+∞， 所以2a >即可， 故选：C 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，转化思想，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】先设对其求导求出其最小值为得到再令对其求导导数的方法研究其单调性得出最大值即可得出结果【详解】设则因为所以当时则函数单调递减；当时则函数单调递增；所以则令则；由可得；所以当时则函数单调递增； 解析：2e
【分析】
先设()ln 2a
f x x x
=++
，对其求导，求出其最小值为()min ln 3f x a =+，得到ln 3b a a a +≤，再令()ln 3a g a a +=，对其求导，导数的方法研究其单调性，得出最大值，即可得出结果. 【详解】
设()ln 2a f x x x =++
，则()22
1a x a f x x x x '
-=-=，因为0a >， 所以当()0,x a ∈时，()20x a
f x x
-'=<，则函数()f x 单调递减； 当(),x a ∈+∞时，()20x a
f
x x
'
-=
>，则函数()f x 单调递增； 所以()()min ln 3f x f a a b ==+≥， 则
ln 3b a a a +≤，令()ln 3a g a a +=，则()221ln 32ln a a g a a a
--+'==-； 由()0g a '=可得，2a e -=； 所以当(
)
2
0,a e
-∈时，()2
2ln 0a
g a a
+'=-
>，则函数()g a 单调递增； 当()
2
,a e -∈+∞时，()2
2ln 0a
g a a
+'=-
<，则函数()g a 单调递减；
所以()
()
22
2
2
max
ln 3e g a g e
e e
---+===，即b a 的最大值为2e . 故答案为：2e 【点睛】 思路点睛：
导数的方法研究函数最值时，通常需要先对函数求导，解对应的不等式，求出单调区间，得出函数单调性，得出极值，进而可得出最值.
14．【分析】先通过有根在上求得参数范围再验证其左右的导数符号以保证取得极大值即得结果【详解】依题意在开区间上函数有最大值即说明在上有极大值故在上有根易见导函数的一个根故有根且在上故即故此时有两个根要使为
解析：
)
【分析】
先通过()0f x '=有根在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
上求得参数范围，再验证其左右的导数符号，以保证取得极
大值，即得结果. 【详解】
依题意，在开区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上，函数()f x 有最大值，即说明()f x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
上有极大值，
故()()()()()()
21210x x
f x a x e ax a a x e a '⎡⎤=---+=---=⎣⎦在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有根， 易见，导函数的一个根11,12x ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭
，故0x e a -=有根，且在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭上，
故10,ln ,12a x a ⎛⎫
>=∈
⎪⎝⎭
，即ln ln ln a e <e a <<， 此时()()()()
210x
f x a x e a '=---=有两个根，要使ln x a =为极大值点，
则需(),ln x a ∈-∞时，()0f x '>，()ln ,1x a ∈时，()0f x '<，故20a ->，即2a <.
综上，a 的取值范围是)
.
故答案为：)
.
【点睛】 易错点点睛：
()00f x '=是0x x =为极值点的必要条件，利用其求得参数值（或范围）后必须验证
()f x '在0x x =左右的符号，也进而能确定0x x =是极大值点还是极小值点，这是这类题
的易错点.
15．【分析】根据函数在上单调递减由恒成立求解【详解】因为函数在上单调递减所以恒成立；令在上单调递增所以实数的取值范围为故答案为：【点睛】
方法点睛：恒成立问题的解法：（1）若在区间D 上有最值则；；（2）若
解析：)336,e ⎡++∞⎣
【分析】
根据函数()2
31x f x e x mx =+-+在(],3-∞上单调递减，由()0f x '≤，(],3x ∈-∞恒
成立求解. 【详解】
()320x f x e x m '=+-≤，
因为函数()2
31x
f x e x mx =+-+在(],3-∞上单调递减，
所以32x e x m +≤，(],3x ∈-∞恒成立；
令32x
y e x =+在(],3-∞上单调递增，3max 36y e =+，
所以实数m 的取值范围为)
3
36,e ⎡++∞⎣. 故答案为：)
3
36,e ⎡++∞⎣ 【点睛】
方法点睛：恒成立问题的解法：
（1）若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；
()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；
（2）若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则
()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.
16．【分析】根据0<a<b<m 都有令则在上是减函数由求解【详解】因为0<a<b<m 都有令所以在上是减函数所以解得所以的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性及其应用还考查了分析求解问题
解析：1e
【分析】
根据0<a <b <m ，都有ln ln a a b b >，令()ln f x x x =，则()f x 在()0,m 上是减函数，由
()0f x '<求解.
【详解】
因为0<a <b <m ，都有ln ln a a b b >， 令()ln f x x x =，
所以()f x 在()0,m 上是减函数， 所以()1ln 0f x x '=+<，
解得10x e
<<
， 所以m 的最大值为1e
， 故答案为：1e
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性及其应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.
17．【分析】设由题意得令则所以函数是增函数原问题转化为恒成立然后利用参变分离法有恒成立运用配方法求出函数在上的最大值即可【详解】若对任意两个不相等的正实数都有恒成立不妨设所以即令则所以函数在单调递增则恒 解析：[)4,+∞
【分析】
设12x x >,由题意得()()112244f x x f x x >--，令()()24l 12
n 4g x f x x a x x x =-=+-，则
()()12g x g x >，所以函数()g x 是增函数，原问题转化为()40,0()a g x x x x
'=+-≥>恒成
立，然后利用参变分离法，有2
,)40(a x x x ≥-+>恒成立，运用配方法求出函数
24y x x =-+在(0,)+∞上的最大值即可．
【详解】
若对任意两个不相等的正实数12,x x 都有
()()
1212
4f x f x x x ->-恒成立,不妨设12x x >
所以()()121244f x f x x x >--，即()()112244f x x f x x >--，
令()()24l 12
n 4g x f x x a x x x =-=+-，则()()12g x g x >，所以函数()g x 在(0,)+∞单调递增， 则()40,0()a
g x x x x
'=
+-≥>恒成立，所以2,)40(a x x x ≥-+>恒成立， 又函数()2
24244y x x x =-+=--+≤，当2x =时，等号成立， 所以4a ≥， 所以实数a 的取值范围是[
)4,+∞． 故答案为：[
)4,+∞． 【点睛】
本题考查了导数在函数单调性中的应用，本题采用参变分离法，将其转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．3【分析】首先求解导函数然后利用导函数研究函数的性质确定实数a 的最大值即可【详解】由题意可得：由题意导函数在区间上的函数值要么恒非负要么恒非正很明显函数值不可能恒非负故即在区间上恒成立据此可得：即的
解析：3 【分析】
首先求解导函数，然后利用导函数研究函数的性质确定实数a 的最大值即可. 【详解】
由题意可得：2
'3y x a =-+，由题意导函数在区间[)1,+∞上的函数值要么恒非负，要么
恒非正，很明显函数值不可能恒非负，故230x a -+≤， 即23a x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，据此可得：3a ≤， 即a 的最大值是3. 故答案为3． 【点睛】
本题主要考查导函数研究函数的单调性，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．【分析】令求的导数根据条件可知从而判断单调递增将不等式化为即可求解【详解】令因为的定义域为所以函数的定义域也为则所以函数在上单调递增又可以化为即所以所以故不等式的解集为故答案为：【点睛】本题考查利用 解析：()2020,1--
【分析】
令()2
()g x x f x =，求()g x 的导数'()g x ，根据条件可知'()0g x >，从而判断()g x 单调
递增，将不等式化为()()20202019g x g +<即可求解. 【详解】
令()2
()g x x f x =，因为()f x 的定义域为()0,∞+，所以函数()g x 的定义域也为
()0,∞+，
则()()()()()2
220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+>⎡⎤⎣⎦，
所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增， 又
()()()20202020201920192019
2020
x f x f x ++<+可以化为
()()()2
22020202020192019x f x f ++<，
即()()20202019g x g +<，所以020202019x <+<， 所以20201x -<<-， 故不等式的解集为()2020,1--. 故答案为：()2020,1--. 【点睛】
本题考查利用函数的单调性解不等式，构造函数求导是解题的关键，属于中档题.
20．【分析】求出函数的导数问题转化为在区间恒成立求出的范围即可【详解】若函数区间上为减函数则在区间恒成立即因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性函数的单调性的性质属于中档题
解析：(],1-∞
【分析】
求出函数的导数，问题转化为1
0a x
-在区间(0,1)恒成立，求出a 的范围即可． 【详解】
()f x ax lnx =-，(0)x >， 1
()f x a x
∴'=-，
若函数()f x ax lnx =-区间(0,1)上为减函数， 则1
0a x
-
在区间(0,1)恒成立， 即1
()min a x ，
因为(0,1)x ∈，
所以min
11x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭，
所以1a ≤.
故答案为：(-∞，1]． 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于中档题．
三、解答题
21．（1）最大值为92
，最小值为5027-；（2）[]2,2-.
【分析】
（1）求出导数，由()10f '-=求出参数值，代入导函数中，求出极值点.比较极值点处函数值与区间端点函数值的大小，得出最值.
（2）由导函数为二次函数，且在(],2-∞和[)2,+∞函数值恒大于等于零，结合二次函数图像求解. 【详解】
解：（1）由原式的()3
2
44f x x ax x a =--+，∴()2
324f x x ax '=--；
由()10f '-=，得12
a =
，此时有()2
34f x x x '=--；
()10f '-=得43x =
或1x =-，故极值点为4
3
x =和1x =- 又450327f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，()912f -=，()20f -=，()20f =， 所以()f x 在[]2,2-上的最大值为
92
，最小值为50
27-. （2）()2
324f x x ax '=--的图像为开口向上且过点()0,4-的二次函数，
由条件知，()2
324f x x ax '=--在(]
,2-∞-和[)2,+∞上恒大于等于零
故仅须满足()20f '-≥，()20f '≥， ∴22a -≤≤.
所以a 的取值范围为[]2,2-. 【点睛】
二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
22．（1）单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞，最小值为1-，无最大值；
（2）①证明见解析；②31627e ⎛⎤
⎥⎝⎦
，.
【分析】
（1）对()f x 求导，由()0f x '>可得单调递增区间，由()0f x '<可得单调递减区间，比较极值即可得最值； 【详解】
（1）()f x 的定义域为R
()()()()()
()
()
232
2
2
2
2446262424646x x
x
x e x x x e x x e f x x
x x
x ⎡⎤-++--+⎣⎦=
=
++++'
当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(),0-∞单调递减， 当()0,+x ∈∞时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞单调递增， 所以()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞，
()()min 01f x f ==-，()f x 最小值为()()min 01f x f ==-，无最大值.
（2）①
()()()
()()()()22
2
4
4242646464626=22462x x x e a x x x x x x x e g a f x a x x x x x x -+++++++⎡⎤-=
=
++⎡⎤⎢⎥⎣⎦++⎣⎦
'
令()()x f x a ϕ=+，()0,+x ∈∞ ，
由（1）知，()x ϕ单调递增，()010a ϕ=-<，()30a ϕ=≥ 所以存在唯一的(]
00,3x ∈，使得()00x ϕ=，即()0
02
0026046
x
x e a x x -+=++
当00x x <<时，()0x ϕ<，()g x 单调递减； 当0x x >时，()0x ϕ>，()g x 单调递增 故()()()
00
200min 03
2
000222246
x x e a x x e g x g x x x x -++==
=++， 所以()g x 有最小值得证
②令()0
20046
x e h a x x =++，()00,3x ∈，
()()
22
222204646x
x
x x e e x x x x '
++⎡⎤=>⎢⎥++⎣⎦++，所以()h a 单增， 所以，由()00,3x ∈，得()0033
222001= < =6040646343627
x e e e e h a x x =≤+⨯++++⨯+
因为246x
e x x ++单调递增，对任意31627e λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，存在唯一的()00,3x ∈，
()[)00,1a f x =-∈，使得()h a λ=，所以()h a 的值域为31627e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，
综上：当[)0, 1a ∈，函数()g x 最小值为()h a ，函数()h a 的值域为31627e ⎛⎤
⎥⎝⎦
，
【点睛】
利用导数研究函数单调性的方法：
（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'
f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应
的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；
（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'
f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'
f x 的正负，由符号确定()
f x 在子区间上的单调性.
23．（1）3a =；（2）每件产品的售价定为5元时，年利润y 最大，最大值为32万元. 【分析】
（1）求得利润为()()2
9y x a x =--，代入点()6,27可求得实数a 的值；
（2）由（1）可得出()()2
39y x x =--，()38x ≤≤，利用导数求出y 的最大值及其对
应的x 的值，即可得出结论. 【详解】
（1）由题意可知，该产品的年利润为()()2
9y x a x =--，()38x ≤≤，
当6x =时，()9627y a =⨯-=，解得：3a =； （2）由()()2
39y x x =--，()38x ≤≤，
得：()()()()()2
92399315y x x x x x '=-+--=--， 由0y '=，得5x =或9x =（舍）.
当[)3,5x ∈时，0y '>，当(]5,8x ∈时，0y '<. 所以当5x =时，max 32y =（万元）
即每件产品的售价定为5元时，年利润y 最大，最大值为32万元. 【点睛】
思路点睛：解函数应用题的一般程序：
第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．
24．（1）()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞；（2）证明见详解. 【分析】
（1）先利用导数的几何意义列式()01f '=，求得参数1k =，再通过研究导数的正负来判断函数()f x 的单调性即可；
（2）根据e 1x >，先进行不等式放缩()1ln g x x x x <--，再令1l ()n x x F x x --=，利用导数证明2
l ()1n 1x x F x x e -=--≤+，即得结果. 【详解】 解：（1）由ln ()x x k f x e +=
，得1l (n )x
kx x x x
f xe --'=，(0,)x ∈+∞，
由于曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行．所以()110k
f e
-'=
=，因此1k =．
此时ln 1()x x f x e
+=，1
ln 1
()x
x x f x e --'=，(0,)x ∈+∞， 令1()ln 1h x x x
=
--，(0,)x ∈+∞，则22111
()0x h x x x x +'=--=-<，
故1
()ln 1h x x x
=
--在(0,)x ∈+∞上递减，且(1)1ln110h =--=， 故当(0,1)x ∈时，()0h x >，()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，()0f x '<．
因此()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞；
（2）因为1l ()n ()x
g x xf x x x x
e
'==--，0x >即e 1x >，所以()1ln g x x x x <--， 令1l ()n x x F x x --=，(0,)x ∈+∞，则2l (n )F x x --'=，
令()0F x '=得2x e -=，
当()2
0,x e
-∈时，()0F x '>，函数()F x 单调递增； 当()2
,x e
-∈+∞时，()0F x '<，函数()F x 单调递减．
故()
()2
2
max
1F x F e e --=+=，即2
l ()1n 1x x F x x e -=--≤+，
所以2
()1ln 1g x x x x e -<--≤+， 即证()2
1g x e -<+.
【点睛】
利用导数研究函数()f x 的单调性的步骤：
①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和
()0f x '<③根据不等式解集写出单调区间.
25．（1）极小值为3ln 2-，无极大值；（2）(],1-∞. 【分析】
（1）对函数求导，因式分解求得()0f x '=的根，列表判断单调性与极值；（2）将
()2f x x x >-转化为3ln a x x x <-在()1,+∞上恒成立，令新的函数()g x ，然后求导以
及二次求导以后判断单调性与极值，求出()g x 的最小值即可. 【详解】
解：（1） 由2a =-，得()2
ln f x x x x
=+
-，定义域为()0,∞+， ()()()2222212121x x x x f x x x x x
-+--'=--==， 令()0f x '=，得2x =（或1x =-舍去），列表：
所以()f x 的极小值为()23ln 2=-f ，无极大值. （2）由2ln a x x x x x -
->-，得2ln a
x x x
<-， 问题转化为3ln a x x x <-在()1,+∞上恒成立，
记()()3
ln ,1,g x x x x x =-∈+∞，即min ()a g x <在()1,+∞上恒成立，
则()()2
2
31ln 3ln 1g x x x x x '=-+=--，
令()2
3ln 1h x x x =--，则()2161
6x h x x x x
-'=-=，
由1x >，知2610x ->，即()0h x '>，
所以()h x 在()1,+∞上单调递增，()()120h x h >=>，
即()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，()()11g x g >=， 由()a g x <在()1,+∞上恒成立，所以1a ≤. 【点睛】
方法点睛：导函数中两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 26．（1）(,0)-∞和(1,)+∞；（2）1-. 【分析】
（1）由极值点求出参数3a =，再代入，解不等式()0f x '>求递增区间 （2）求()f x 在[1,2]-上的极值，与端点值比较得出最小值. 【详解】
（1）由题意2
()62f x x ax '=-
()01f '=，则3a =
32()234,
()6(1)f x x x f x x x '=-+=-，当(,0)x ∈-∞时，
()0f x '>；
当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>. 所以，函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞ （2）当[1,2]x ∈-时，(),()f x f x '的变化情况如下表
当1,
(1)2343x f ==-+=.
所以当[1,2]x ∈-时，函数()f x 的最小值为1-.
【点睛】
用导数法求最值方法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；。