一类新的窗函数_卷积窗及其应用

{
}
(10)
⎧ ⎪0, ⎪ 7 ⎪( 4 − x ) , ⎪ 7 7 ⎪( 4 − x ) − 8 ( 3 − x ) , 1 ⎪ 7 7 7 7 w8 ( t ) = ⎨6 ( 2 − x ) − 28 (1 − x ) + 17 x − 4 (1 + x ) , 7!T0 ⎪ 3 3⎤ ⎪+7! ⎡ ⎣ 4(1 − x) + x + x − 2(1 − x) ⎦ / 6, ⎪ ⎪ x 7 + 4 (1 − x )7 + 22 ( 2 − x )7 − 4 ( 3 − x )7 ⎪ ⎪+7! ⎡( 2 − x )3 + ( 2 − x ) ⎤ /6, ⎦ ⎩ ⎣ x ≥ 4, 3 ≤ x < 4, 2 ≤ x < 3,
777
图2
二阶卷积窗与 Hann 窗、Hamming 窗的比较
(a)和 (b)分别示它们的时、频域分布 ; (c)和 (d)分别示 (b)在 f = 1/T0, f = 3/T0 附近的局部放大图
+∞ −∞
G( f ) =
∫
g ( t ) e −i2πft dt = A0δ ( f ) + ∑
Am ⎡δ ( f − mfs ) eiϕ m + δ ( f + mfs ) e−iϕ m ⎤ . (13) ⎣ ⎦ 2 m =1
中国科学 E 辑 工程科学 材料科学
第 35 卷
本文提出利用矩形窗的卷积运算构造一类新的窗函数, 称之为卷积窗. 与其 他具有相同宽度的各种著名窗函数相比, 在同步误差较小时, 卷积窗具有最小的 频谱泄漏效应. 可以通过求得当前帧的精确频率从而调整下一帧的采样间隔, 实 现频率跟踪, 当信号基频变化不是特别迅速时 , 能够保证采样同步误差很小从而 实现高精度的谐波分析, 且算法与矩形窗同样简单. 该窗也可用于周期信号的高 精度参量估计[10~12].
2
2.1
加窗周期信号的 Fourier 变换
周期信号及其 Fourier 变换
设最高谐波次数为 M, 周期为 Ts(基频为 fs = 1/Ts)的周期信号为
M M ⎛ ⎞ A t i 2πmf t +ϕ + − i 2 πmfs t +ϕ m ) ⎤ g ( t ) = A0 + ∑ Am cos ⎜ 2 πm + ϕ m ⎟ = A0 + ∑ m ⎡e ( s m ) e ( , (12) ⎣ ⎦ Ts ⎝ ⎠ m =1 m =1 2
1
1.1
卷积窗及其分析
矩形窗 宽度为 T0(可取为信号周期的额定值或初估值)的矩形窗表示为
w1 ( t ) = ⎛ t ⎞ ⎧ 1 ⎪0, rect ⎜ ⎟ = ⎨ T0 ⎪1 /T0 , ⎝ T0 ⎠ ⎩
1 dt = T0
+T0 / 2 −T0 / 2
t / T0 > 1/ 2, t / T0 ≤ 1/ 2,
⎡ sin (π T0 f ) ⎤ Wp ( f ) = ⎡ ⎣sinc (T0 f ) ⎤ ⎦ = ⎢ πT f ⎥ . 0 ⎣ ⎦
p p
(3)
(4)
为方便使用, 这里略去推导过程, 直接给出第 2 至第 8 阶卷积窗函数的表达式(其 中 x= t / T0 ):
w2 ( t ) =
1 ⎧0 , ⎨ T0 ⎩1 − x ,
其中, A0 为 g(t)的直流分量(即 g(t)的平均值), Am 及 ϕm 分别为第 m 次谐波的幅值和 初相位, 记 g(t)的 Fourier 变换为 G( f ), 则有
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第7期
张介秋等: 一类新的窗函数——卷积窗及其应用
(11)
1 ≤ x < 2,
x < 1.
1 至 8 阶卷积窗的时、频域分布如图 1 所示. 其频域辑 工程科学 材料科学
第 35 卷
近快速趋于零且旁瓣斜率正比于卷积窗的阶数 p.
图1
各阶卷积窗(a)及其频率响应(b)
(a) 中部自上而下分别为 1~8 阶卷积窗函数 , (b) 自上而下分别为 1~8 阶卷积窗的频率响应 (即 20lg|W(f)|)
的信号周期粗估值): ⎡1 ⎡1 ⎛ t ⎞⎤ ⎡ 1 ⎛ t ⎞⎤ ⎛ t ⎞⎤ w p ( t ) = ⎢ rect ⎜ ⎟ ⎥ ∗ ⎢ rect ⎜ ⎟ ⎥ ∗ ... ∗ ⎢ rect ⎜ ⎟ ⎥ , ⎢ T0 ⎥ ⎣ ⎢ T0 ⎥ ⎢ T0 ⎥ ⎝ T0 ⎠ ⎦ ⎝ T0 ⎠ ⎦ ⎝ T0 ⎠ ⎦ ⎣ ⎣ 根据 Fourier 的卷积定理 , 其相应的 Fourier 变换 Wp(f)为
x ≥ 1, x < 1,
x ≥ 3 / 2, 1/2 ≤ x＜3 / 2, 0 ≤ x＜1/ 2,
(5)
⎧0 , 1 ⎪ ⎪ 2 w3 ( t ) = ⎨( 3 / 2 − x ) , 2!T0 ⎪ 2 2 ⎪ ⎩( 3 / 2 − x ) − 3 (1/ 2 − x ) ,
(6)
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张介秋等: 一类新的窗函数——卷积窗及其应用
775
⎧0, x ≥ 2, ⎪ 1 ⎪ 3 (7) w4 ( t ) = 1 ≤ x < 2, ⎨( 2 − x ) , 3!T0 ⎪ 3 3 x < 1, ⎪ ⎩( 2 − x ) − 4 (1 − x ) , x ≥ 5 / 2, ⎧0, ⎪ 4 5/2 − x ) , 3/2 ≤ x < 5 / 2, ( ⎪ 1 ⎪ (8) w5 ( t ) = 4 4 ⎨ 1/2 ≤ x < 3 / 2, 4!T0 ⎪( 5/2 − x ) − 5 ( 3/2 − x ) , ⎪ ⎡ 4 4 4 4 4 (1/ 2 + x ) + (1/ 2 − x ) ⎤ − ⎡( 3 / 2 + x ) + ( 3 / 2 − x ) ⎤ + 4!, x < 1/ 2, ⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ x ≥ 3, ⎧0, ⎪ 5 2 ≤ x < 3, 1 ⎪ ⎪( 3 − x ) , w6 ( t ) = (9) ⎨ 5!T0 ⎪( 3 − x )5 − 6 ( 2 − x )5 , 1 ≤ x < 2, ⎪ 5 5 5 5 x < 1, ⎪ ⎩9 (1 − x ) − 2 ( 2 − x ) − 4 x + (1 + x ) + 5!(1 − x ) ,
sin ( πT0 f ) πT0 f
(1)
其 Fourier 变换为
W1 ( f ) =
+∞ −∞
∫
w1 ( t ) e
− i2πft
∫
e −i2 πft dt = sinc (T0 f ) =
.
(2)
1.2
p 阶卷积窗
p 阶卷积窗 wp(t)定义为宽度为 T0 的矩形窗的 p 重卷积(T0 可以取为所要分析
M
2.2
加窗周期信号及其 Fourier 变换
对于中心在 t0, 时间长度为 pT0 的连续时间信号进行加窗处理, 加窗信号记为
h ( t , t0 ) = w ( t − t0 ) g ( t ) = w ( t ) g ( t + t0 ) .
(14)
根据 Fourier 变换的卷积定理及位移定理, 加窗信号 h ( t , t0 ) 的 Fourier 变换 H(f, t0) 为
H ( f , t0 ) = =
⎧ ⎪0, x ≥ 7 / 2, ⎪ 6 ⎪( 7 / 2 − x ) , 5 / 2 ≤ x < 7 / 2, ⎪ ⎪( 7 / 2 − x ) 6 − 7 ( 5 / 2 − x ) 6 , 3 / 2 ≤ x < 5 / 2, ⎪ 1 ⎪ 6 6 6 6 w7 ( t ) = 1/ 2 + x ) + (1/ 2 − x ) ⎤ + 3 ⎡( 3 / 2 + x ) + ( 3 / 2 − x ) ⎤ + ( ⎨ −13 ⎡ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 6!T0 ⎪ 2 2 ⎪5! 4 - 3 ⎡(1/ 2 + x ) + (1/ 2 − x ) ⎤ , 1/2 ≤ x < 3 / 2, ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ 6 6 6 ⎪-3 ( 5 / 2 − x ) +15(3 / 2 − x) + 4(1/ 2 − x) ⎪ 2⎤ x < 1/ 2, −(1/ 2 + x)6 + 5! ⎡ ⎪ ⎣1+ 3(3 / 2 − x) ⎦ , ⎩
2003-10-30 收稿 , 2005-01-06 收修改稿 * 国家自然科学基金资助项目 (批准号 : 69931030) ** E-mail: zhangjiq0@
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774
谐波测量是分析、解决谐波问题中的重要一环, 它包括对各阶谐波的频率、 振幅和相位的测量. 快速 Fourier 变换(fast Fourier transform, FFT)已广泛应用于电 力系统的谐波分析. 由于实时性的需要或者信号周期的随机漂移, 采样时窗宽度 通常只有几个周期且采样频率很难取得刚好等于信号基频的整倍数从而出现所 谓不同步采样现象. 窄窗及采样不同步将导致各谐波间出现长程谱泄漏效应; 另 外 , 由于快速 Fourier 变换 (FFT) 只求一组离散频率格点上谱值 ( 所谓栅栏效应 ), 可能会使频率估计出现误差, 从而导致振幅和相位估计出现误差. 减少频谱泄漏的根本途径在于选择适当类型的窗函数 [1,2], 克服栅栏效应的 有效算法是插值. Jain 等人[3]首先提出矩形窗插值算法. 在此基础上, Grandke[4]应 用 汉 宁 窗 插 值 . 文 献 [5~7] 应 用 Blackman-Harris 窗 插 值 , Andria 等 人 [8] 应 用 Rife-Vincent 窗[9]插值. 在周期信号的谐波分析中, 衡量窗函数好坏的主要标准应 是 : 在窗长及同步误差均一定 (即完全相同的采样数据 )的前提下 , 频谱泄漏效应 是否足够小以及插值算法是否简单可行.
摘要
提出了用若干矩形窗的卷积运算构造出一类新的窗函数 , 称其为卷积
窗; 给出了第 1 至第 8 阶卷积窗的时、频域表达式; 研究了卷积窗在高精度谐波 分析中的应用. 结果表明: 与具有相同时长的其他著名窗函数相比 , 当采样同步 误差较小时, 卷积窗具有最小的频谱泄漏效应 , 因此特别适合于周期信号的高精 度谐波分析和参量估计. 误差分析和数值结果均表明: 当使用 p 阶卷积窗对大约 p 个周期的采样信号加窗时, 各阶谐波的频率误差、振幅误差及相位误差均与相 对频偏的 p 次方成正比. 关键词 信号处理 谐波分析 窗函数 卷积窗 同步误差 谱泄漏
中国科学 E 辑 工程科学 材料科学 2005, 35(7): 773~784
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一类新的窗函数—— 卷积窗及其应用*
张介秋
①②**
梁昌洪
①
陈砚圃
③
(① 西安电子科技大学天线与微波技术国家重点实验室 , 西安 710071; ② 空军工程大学理学院 , 西安 710051; ③ 西安通信学院计算中心 , 西安 710106)
1.3
卷积窗与其他著名窗函数的比较
二阶卷积窗与 Hann 窗、Hamming 窗同属双周期窗, 它们的时、频域分布分
别如图 2(a)和(b)所示(只画出正频部分). 虽然二阶卷积窗的旁瓣顶部略高于 Hann 窗、Hamming 窗, 但在靠近整数频率附近却最低, 这一点可以从图 2(b)的局部放 大图 2(c)和 2(d)清楚地看到. 图 3 是四阶卷积窗与四项 Blackman-Harris 窗、四项Ⅰ类 Rife-Vincent 窗的比 较, 它们同属 4 周期窗, 分别对应于曲线 1, 2 和 3, 四阶卷基窗的特点同图 2. 四 项 Nuttall 窗由于与四项 Blackman-Harris 窗差别不大而没有在图中画出. 我们对其他有一定影响的窗函数 [1,2] 也进行了比较分析 , 结果均表明 : 任一 阶卷积窗在整数倍频附近的谱泄漏效应均低于同宽度的现有各种窗函数 . 因此 , 当其用于具有较小同步误差的采样周期信号的谐波分析、参量估计时, 不同步采 样引起的测量误差将最小.