高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式》经典测试题及答案解析

数学《不等式》试卷含答案
一、选择题
1．已知集合{}
2
230A x x x =-->，(){}
lg 11B x x =+≤，则()
R A B =I ð（ ）
A ．{}13x x -≤<
B ．{}19x x -≤≤
C ．{}13x x -<≤
D ．{}19x x -<<
【答案】C 【解析】 【分析】
解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()
R A B ⋂ð. 【详解】
解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；
解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.
{}
13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，
因此，(){}
13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】
本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
2．已知点(2,0)M ，点P 在曲线2
4y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2
||||1
PM PF -的最
小值为（ ）
A B ．1)
C ．
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设
(),P x y ，0x >，则2||4
||1PM x PF x
=+-，利用均值不等式得到答案.
【详解】
如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，
设(),P x y ，0x >，则()()2
2
2
22224||||44||1x y
x x PM P P M x F x Q P x x
-+-+====+≥-，
当
4
x x =
，即2x =时等号成立. 故选：D .
【点睛】
本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
3．变量,x y 满足约束条件1
{2
314
y x y x y ≥--≥+≤，若使z ax y =+取得最大值的最优解不唯一，则
实数a 的取值集合是（ ） A ．{3,0}- B ．{3,1}-
C ．{0,1}
D ．{3,0,1}-
【答案】B 【解析】
若0a =，结合图形可知不合题设，故排除答案A ，C ，D ，应选答案B ．
4．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
则3x y +的最小值等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】A 【解析】 【分析】
首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值． 【详解】
解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
表示的平面区域（如图示：阴影部分）
由20
x y x y +-=⎧⎨
-=⎩得(1,1)A ，
由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3114min z =⨯+=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．
5．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有
()0f x ≥，则
(1)
'(0)
f f 的最小值为( ) A ．2 B ．
52
C ．3
D ．
32
【答案】A 【解析】
()22
0{,440
a f x ac
b b a
c >≥∴∴≥∆=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，
()()221241111120b f a c ac f b b +∴=+≥+≥=+='
当且仅当()
()
120f a c f ='时，不等式取等号，故
的最小值为
6．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1f x x x
=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫
=+
<< ⎪⎝⎭
C ．()2
f x =D ．()4
2x
x f x e e
=+
- 【答案】D 【解析】 【分析】
根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1
f x x x
=+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫
=+<< ⎪⎝⎭
，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误；
C. ()2
f x =
=，故()3
f x ≥
，C 错误；
D. ()4222x
x f x e e =+-≥=，当4x
x
e e =，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】
本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
7．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞U
【答案】A 【解析】 【分析】
由0ax b ->的解集，可知0a >及
1b
a
=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集. 【详解】
由0ax b ->的解集为()
1,+?
，可知0a >且
1b
a
=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，
因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】
本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.
8．已知关于x 的不等式()()2
22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范
围是（ ） A ．()2,6
B ．()(),26,-∞+∞U
C ．(](),26,-∞⋃+∞
D ．[)2,6
【答案】D 【解析】 【分析】
分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数
m 的取值范围.
【详解】
当20m -=时，即当2m =时，则有40>，该不等式恒成立，合乎题意；
当20m -≠时，则()()2
20
421620m m m ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩
，解得26m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)2,6. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
9．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >
C ．
a b
2
c +> D ．
112a b c
+> 【答案】C 【解析】 【分析】
取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】
,a c b c >>，故2a b c +>，
2
a b
c +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】
本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.
10．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的
一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x
f x =的两对“线性对称点”，则c
的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+
C ．
43
D ．3log 41-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据已知有333b c a b c a ++++=，可得1313
1
c
a b
+=+
-，只需求出3a b +的最小值，根据
333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.
【详解】
依题意知，a 与b 为函数()3x
f x =的“线性对称点”，
所以333a b a b +=+=≥ 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）.
又+a b 与c 为函数()3x
f x =的“线性对称点，
所以333b c a b c a ++++=，
所以314
3131313
a b c
a b a b +++==+≤--，
从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】
本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.
11．若x 、y 满足约束条件4
200x y x y y +≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅
为(1,3)，则a 的取值范围为（ ）
A ．(1,1)-
B ．(0,1)
C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞
D ．(1,0]-
【答案】A 【解析】 【分析】
结合不等式组，绘制可行域，判定目标函数可能的位置，计算参数范围，即可． 【详解】
结合不等式组，绘制可行域，得到：
目标函数转化为y ax z =-+，当0a -≥时，则<1a -，此时a 的范围为(]1,0- 当0a -<时，则1a ->-，此时a 的范围为()0,1，综上所述，a 的范围为()1,1-，故选A ． 【点睛】
本道题考查了线性规划问题，根据最值计算参数，关键明白目标函数在坐标轴上可能的位置，难度偏难．
12．已知函数24,0()(2)1,0
x x f x x x x ⎧+>⎪
=⎨
⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(2,)+∞
B ．(4,)+∞
C ．(2,4)
D ．(3,4)
【答案】A 【解析】 【分析】
画出函数()f x 的图象,再根据基本不等式求解4
y x x
=+的最小值,数形结合求解即可. 【详解】
画出函数()f x 的图象,如图所示.当0x >时,4()4f x x x
=+
….设()2g x m =,则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根,即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可
知,24m >,即2m >,故实数m 的取值范围是(2,)+∞.
故选：A 【点睛】
本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.
13．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6
tan tan tan A B C A
+⋅的最小值为（ ）
A 73
B 35
C 33
D ．
32
【答案】B 【解析】 【分析】
根据余弦定理得到4cos c b A =，再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =，故
tan 3tan A B =，
3t 53tan 4an 6
ta 3ta tan tan n n B A B C A
B ⎛⎫=
+ ⎪⎝+⎭
⋅，计算得到答案. 【详解】
由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=，
即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+.
2222cos a b c bc A =+-Q ，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.
由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=， 整理得sin cos 3sin cos A B B A =.
易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=， 且tan 0B >.
πA B C ++=Q ， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=-
-⋅24tan 3tan 1
B
B =-，
tan 6tan tan tan A B C A ∴+⋅()233tan 124tan tan B B B -=+353tan 43tan B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭335254≥⨯ 当且仅当5
tan B 时等号成立.
故选：B . 【点睛】
本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
14．已知函数()2222,2
{
log ,2
x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2
054f x m m ≤- 成立，
则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．12,4
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】
由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：
2154m m ≤-，解得：
114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 本题选择B 选项.
点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
15．已知函数1
()cos 2(2)sin 2
f x m x m x =
+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14
-
B ．1 C
．D
1
【答案】D 【解析】 【分析】
2()sin (2)sin 2
m
f x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2
m
y mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()2211
2
2(2)31144t m m m g m y m m m
=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案.
【详解】
由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22
m f x m x m x m x m x =
-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2
(2)2
m
y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111
[0,]222
m t m m -=
=-∈，所以 (
)22112
2(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当
3
m =
时，等号成立. 故选：D 【点睛】
本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
16．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()22
2122211x y m x y m x y m ⎧-≤-⎪⎪
+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩
，则由不等式组确定的可行域的面积是( ) A ．
1
4
π B ．12
π
C ．π
D ．
32
π 【答案】A 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积． 【详解】
实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --⎧⎪
++⎨⎪-+-⎩
„…„的可行域如图：
可行域是扇形，14
个圆，面积为：2
11144ππ⨯⨯=．
故选：A ．
【点睛】
本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
17．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】
【分析】
通过列举，和推理证明可以推出充要性.
【详解】
若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞
； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞；
故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】
本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．
18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则
263n n S a ++的最小值为（ ） A ．4
B ．3
C ．232
D ．2
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，
从而可得263
n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值． 【详解】
解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，
2(12)112d d ∴+=+．
得2d =或0d =（舍去），
21n a n ∴=-，
2(121)2
n n n S n +-∴==， ∴()()2221142626332211
2n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+
，则2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263
n n S a ++的最小值为2． 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．
19．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是
A ．3
B ．4
C ．92
D ．112 【答案】B
【解析】
【详解】 解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭
，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥
20．若实数,,a b c ，满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，，则c 的最大值是（ ） A ．43 B ．2log 3 C ．25 D ．24log 3
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本不等式求出2
a b +的最小值后可得221
a b a b ++-的最大值，从而可得2c 的最大值，故可得c 的最大值.
【详解】
因为222a b a b ++=，故222a b a b ++=≥=
整理得到24a b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立.
又因为2222a b c a b c ++++=，故2114211212133a b c
a b a b +++==+≤+=--， 当且仅当1a b ==时等号成立，故max 2
4log 3
c =. 故选：D.
【点睛】 本题考查基本不等式的应用以及指数不等式的解，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果多变量等式中有和式和积式的关系，则可利用基本不等式构造关于和式或积式的不等式，通过解不等式来求最值，求最值时要关注取等条件的验证.。