高中数学第1章常用逻辑用语1.1.2第2课时充要条件学案苏教版选修2-1(2021学年)

2０18版高中数学第1章常用逻辑用语 1.1．2 第2课时充要条件学案苏教版选修2-1
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第2课时充要条件
[学习目标] １.理解充要条件的意义。

2。

会判断、证明充要条件.3.通过学习,使学生明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假.
知识点一充要条件
一般地，如果既有p⇒q,又有q⇒p就记作_p⇔q．
此时,我们说，p是ｑ的充分必要条件,简称充要条件．显然，如果ｐ是q的充要条件，那么ｑ也是p的充要条件．
概括地说，如果p⇔ｑ,那么p与q互为充要条件．
思考(1)若ｐ是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题．这种说法对吗?
（２)“p是q的充要条件"与“ｐ的充要条件是q”的区别在哪里?
答案（1)正确.若p是q的充要条件,则p⇔q,即ｐ等价于ｑ，故此说法正确.
(2）①p是ｑ的充要条件说明p是条件,q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.
知识点二常见的四种条件与命题真假的关系
如果原命题为“若p,则q”,逆命题为“若q,则p",那么p与q的关系有以下四种情形：原命题逆命题p与q的关系
真真ｐ是q的充要条件q是p的充要条件
真假p是q的充分不必要条件ｑ是ｐ的必要不充分条件
假真p是q的必要不充分条件ｑ是p的充分不必要条件
假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件
知识点三
若Ａ⊆Ｂ,则p是q的充分条件,若ＡB，则
p是q的充分不必要条件
若Ｂ⊆A，则p是ｑ的必要条件，若BＡ，
则ｐ是q的必要不充分条件
若A＝Ｂ，则ｐ，q互为充要条件
若A B且Ｂ A,则ｐ既不是q的充分条件，
也不是ｑ的必要条件
其中p:Ａ=｛ｘ｜ｐ（x)成立}，q:B＝｛x|q（ｘ)成立}．
题型一充要条件的判断
例1 （1)“x=1”是“x2－2x+１＝0”的__＿_____条件．
答案充要
解析解x2-２x＋１＝０得x＝1，所以“ｘ＝1"是“ｘ2－2x＋1=0”的充要条件．
（2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件?
①在△ABC中,p:∠A〉∠Ｂ,ｑ:sin Ａ＞ｓiｎB；
②若ａ，b∈Ｒ，p:a2+b２＝０,q：a=b＝０;
③ｐ：|x|〉3，q:ｘ2>9。

解①在△ＡBＣ中，显然有∠Ａ〉∠Ｂ⇔siｎＡ>ｓｉn B,
所以p是q的充要条件.
②若a２＋ｂ2＝０,则a=b=0，即ｐ⇒q;若ａ＝ｂ=0，
则a２+b２＝０,即q⇒p,故p⇔q,所以p是ｑ的充要条件．
③由于p：|x|>3⇔q：x2＞9,所以p是q的充要条件．
反思与感悟判断p是ｑ的充要条件的两种思路
（1）命题角度:判断p是q的充要条件，主要是判断p⇒q及q⇒ｐ这两个命题是否成立．若p⇒q成立,则ｐ是ｑ的充分条件,同时q是p的必要条件;若q⇒p成立,则ｐ是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立,则p与q互为充要条件.
(2)集合角度:关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断p⇒ｑ及ｑ⇒p的真假时,也可以从集合角度去判断,结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关
的问题是大有益处的．
跟踪训练1 (1）a，b中至少有一个不为零的充要条件是_______＿．
①ab=０②ab>０
③a2＋b2=0 ④ａ2＋b2〉０
（2）“函数y=ｘ2－2ｘ－a没有零点”的充要条件是_＿_____＿．
答案（1）④(２）a〈-1
解析(1）a2+b2>0,则ａ、b不同时为零；a,b中至少有一个不为零,则ａ２＋ｂ２>０.
(２)函数没有零点,即方程x２－2x-a＝0无实根,所以有Δ=4+4ａ<0,解得a<-1。

反之,若a〈－1,则Δ<0,方程x2-２x－a＝０无实根,即函数没有零点.故“函数y=x2－2x-a没有零点"的充要条件是a〈－1.
题型二充要条件的证明
例2 求证:方程ｘ2＋（2k-1）ｘ＋k２＝0的两个根均大于１的充要条件是k＜-２.
证明①必要性:
若方程x２+(2ｋ-1）ｘ+k2=0有两个大于1的根,不妨设两个根为ｘ1，ｘ2，则
错误!⇒错误!
即错误!
解得k〈－２.
②充分性:当ｋ〈－2时,Δ＝（2ｋ－１)2－4k2=1－4k〉0.
设方程x2＋（2k-1）x+k2=0的两个根为x１，x２.
则(x１-1）（x2－１）＝x１x2-(x1＋x2)＋1
＝k2+2k-1+１＝k（ｋ+２)>０.
又(x1－1）＋(x2－1）＝（ｘ1+x２)-２
=-(2k－1）－２=-2k-1>０，
∴x1－１>0,x２－1＞0．
∴x1>１，x2>1。

综上可知，方程x2＋(2k-1）x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<-2。

反思与感悟一般地,证明“p成立的充要条件为ｑ”时，在证充分性时应以q为“已知条件”,p是该步中要证明的“结论”,即q⇒ｐ；证明必要性时则是以p为“已知条件”,q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q。

跟踪训练2 求证:一次函数ｆ（x)＝ｋｘ＋ｂ(k≠０)是奇函数的充要条件是ｂ=0。

证明①充分性:如果b=0,那么ｆ（x)=ｋｘ，
因为f(-x）=k（-ｘ)＝-ｋx，
所以ｆ(-x)＝－f(ｘ)，
所以ｆ(x)为奇函数.
②必要性:因为f(x）=kx+b(ｋ≠0）是奇函数,
所以f(－x）＝-ｆ（x)对任意ｘ均成立，
即ｋ（－ｘ）＋b＝－(kx＋b），
所以b=0。

综上，一次函数f（x)＝kx＋b(ｋ≠0)是奇函数的充要条件是b＝0．
题型三充要条件的应用
例3 已知关于x的方程x2－mx＋2m－3＝０,求使方程有两个大于１的实根的充要条件.
解设方程x2-mx＋2m－3=０的两根分别为ｘ１，ｘ2，由题意知错误!⇔错误!⇔
错误!
⇔错误!
⇔m≥6.
即使方程有两个大于1的实根的充要条件为ｍ≥6。

反思与感悟求充要条件常用下列两种方法:
（1）先由结论寻找使之成立的必要条件,再验证它也是使结论成立的充分条件，即保证充分性和必要性都成立.
(2)变换结论为等价命题，使每一步都可逆,直接得到使命题成立的充要条件．
跟踪训练3 求不等式ax2＋2ｘ＋1〉0恒成立的充要条件．
解当ａ＝０时,2ｘ+1＞０不恒成立．
当a≠0时,ａx２＋2x+1〉0恒成立.
⇔错误!⇔a＞1.
所以不等式ａx2+２x+１〉0恒成立的充要条件是ａ〉１.
1.对于非零向量a，b，“ａ＋ｂ=0”是“ａ∥b＂的＿_＿＿__＿_条件.
答案充分不必要
解析当a＋b=0时,得a＝－b，所以a∥b，但若a∥ｂ,不一定有a＋ｂ＝0.
２.已知集合A＝｛１,ａ}，B＝{１,2,3},则“a＝3”是“Ａ⊆B”的_____＿＿_.
答案充分不必要
解析ａ=3时,A={1,３},A⊆B,当A⊆Ｂ时，ａ=２或３.
3.已知α：“a＝±2”;β:“直线ｘ－y＝0与圆x2+(y-a）2=２相切"，则α是β的＿_＿＿____条件.
答案充要
解析a=±２时,直线ｘ-y=0与圆ｘ２+（y±2)2=２相切；当直线x-y＝０与圆x2＋（y-a)2=2相切时,得错误!=错误!，∴a＝±2。

∴α是β的充要条件
4.已知直线ｌ1：x+ａy+6=０和直线l2:(a－２)x+3ｙ＋2a＝0，则l1∥l２的充要条件是ａ=＿______＿。

答案-１
解析由1×3-a×(a－2）＝0得a＝３或－1，
又a×2ａ－3×6≠0,所以a≠３,所以a＝-1。

5．命题p：x〉0，y<0，命题q：x>ｙ,错误!〉错误!，则p是q的___＿_＿＿_条件.
答案充要
解析当ｘ〉0，y<０时，x>y且错误!〉错误!成立,
当x>y且＼ｆ（1,x）>错误!时，得错误!⇒错误!
所以ｐ是ｑ的充要条件.
１.充要条件的判断有三种方法:定义法、等价命题法、集合法.
2．充要条件的证明与探求
(1）充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别:
①ｐ是ｑ的充要条件,则由p⇒q证的是充分性,由ｑ⇒p证的是必要性;
②ｐ的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．
（2）探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆,也可以直接求出充要条件.
以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

高尔基说过:“书是人类进步的阶梯。

”我希望各位朋友能借助这个阶梯不断进步。

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