2021届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第八节正弦定理和余弦定理的应用课时作业

2021届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第八节正弦定理和余弦定理的应用课时作业
课时作业
A组——基础对点练
1．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，依照余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.
答案：A
2．如图，两座灯塔A和B与海岸观看站C的距离相等，灯塔A在观看站南偏西40°，灯塔B在观看站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，因此∠CBD＝30°，因此∠DBA ＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
答案：D
3．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的
河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°
后，就能够运算出A，B两点的距离为( )
A．50 2 m B．50 3 m
C ．25 2 m
D ．2522
m
解析：由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC
sin B
，
∴AB ＝AC
·sin∠ACB
sin B ＝50×
221
2＝502，故A ，B 两点的距离为50 2 m.
答案：A
4．(2020·昆明市检测)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B ． 2 C. 3
D ．2 解析：因为tan ∠BAC ＝－3，因此sin ∠BAC ＝
310
，cos ∠BAC ＝－
110
.由余弦定理，得BC
2
＝AC 2
＋AB 2
－2AC ·AB ·cos∠BAC ＝5＋2－2×5×2×(－110
)＝9，因此BC ＝3，因此S △
ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×
310＝32，因此BC 边上的高h ＝2S △ABC
BC ＝2×323＝1，故选A. 答案：A
5．(2020·西安模拟)游客从某旅行景区的景点A 处至景点C 处有两条线路．线路1是从A 沿直线步行到C ，线路2是先从A 沿直线步行到景点B 处，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处同时动身匀速步行，甲的速度是乙的速度的11
9倍，甲走线路2，乙走线路
1，最后他们同时到达C 处．经测量，AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ，则sin ∠BAC 等于__________．
解析：依题意，设乙的速度为x m/s ， 则甲的速度为11
9x m/s ，
因为AB ＝1 040，BC ＝500，
因此AC x ＝1 040＋50011
9
x ，解得：AC ＝1 260，
在△ABC 中由余弦定理可知cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 2
2AB ·AC
＝1 0402
＋1 2602
－5002
2×1 040×1 260＝8491＝1213，
因此sin ∠BAC ＝1－cos 2
∠BAC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513
.
答案：513
6．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相关于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得 ∠DBC ＝45°，依照以上数据可得cos θ＝________.
解析：由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，依照正弦定理可得
50sin 30°＝DB
sin 15°
，即DB ＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝
252(3－1)，又25sin 45°＝
2523－1
sin 90°＋θ
，即
25sin 45°＝2523－1
cos θ
，得到cos θ
＝3－1. 答案：3－1
7．已知在岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇．岛
A 处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉
私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？ ⎝
⎛
⎭⎪⎫参考数据：sin 38°＝5314，sin 22°＝3314
解析：如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x 海里，则BC ＝0.5x ，AC ＝5海里，依题意，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC 2
＝AB 2
＋AC 2
－2AB ·AC cos 120°， 因此BC 2
＝49，BC ＝0.5x ＝7，解得x ＝14. 又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin∠BAC
BC
＝5×
3
27＝5314
，
因此∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，因此BC ∥AD ，
故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．
8．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.
(1)若PB ＝1
2
，求PA ；
(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .
解析：(1)由已知得∠PBC ＝60°，因此∠PBA ＝30°.
在△PBA 中，由余弦定理得PA 2
＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74.故PA ＝72.
(2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α. 在△PBA 中，由正弦定理得，
3sin 150°＝sin αsin 30°－α
，
化简得3cos α＝4sin α. 因此tan α＝
34，即tan ∠PBA ＝34
. B 组——能力提升练
1．一艘海轮从A 处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．102海里 B ．103海里 C ．203海里
D ．202海里
解析：如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，依照正弦定理得BC sin 30°＝AB
sin 45°，
解得BC ＝102(海里)．
答案：A
2．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α＝30°，沿倾斜角β＝15°的斜坡向上走a 米到
B ，在B 处测得山顶P 的仰角γ＝60°，则山高h ＝( )
A.
2
2a 米 B ．a
2米 C.
3
2
a 米 D ．a 米
解析：在△PAB 中，∠PAB ＝α－β＝15°，∠BPA ＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，
因此a sin 30°＝PB
sin 15°
，因此PB ＝
6－2
2
a ， 因此PQ ＝PC ＋CQ ＝PB ·sin γ＋a sin β ＝
6－22a ×sin 60°＋a sin 15°＝2
2
a (米)． 答案：A
3．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，通过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km ，参考数据：3≈1.732)( )
A ．8.4 km
B ．6.6 km
C ．6.5 km
D ．5.6 km
解析：因为AB ＝1 000×160＝50
3 km ，
因此BC ＝
AB
sin 45°·sin 30°＝50
32
(km)．
因此航线离山顶的高度h
＝5032×sin 75°＝50
32×sin(45°＋30°)≈11.4 km.因此山高为
18－11.4＝6.6(km)． 答案：B
4．如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学第一选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ) ①测量A ，C ，b ②测量a ，b ，C ③测量A ，B ，a
则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
解析：关于①，利用内角和定理先求出B ＝π－A －C ， 再利用正弦定理
b sin B ＝c
sin C
解出c ，
关于②，直截了当利用余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
即可解出c ，
关于③，先利用内角和定理求出C ＝π－A －B ， 再利用正弦定理a sin A ＝c
sin C 解出c .
答案：A
5．(2020·福州市质检)在距离塔底分别为80 m ，160 m ，240 m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________． 解析：设塔高为h m ．依题意得，tan α＝h 80，tan β＝h 160，tan γ＝h
240
.因为α＋β＋
γ＝90°，因此tan(α＋β)tan γ＝tan(90°－γ)tan γ＝
sin
90°－γsin γ
cos 90°－γcos γ
＝
cos γsin γsin γcos γ＝1，因此tan α＋tan β1－tan αtan β·tan γ＝1，因此h
80＋
h
160
1－h 80·h 160·h
240
＝1，解得h
＝80，因此塔高为80 m. 答案：80 m
6．(2020·遂宁模拟)海轮“和谐号”从A 处以每小时21海里的速度动身，海轮“奋斗号”
在A 处北偏东45°的方向，且与A 相距10海里的C 处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时刻为__________小时．
解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时刻为x 小时，如图，则由已知得△ABC 中，AC ＝10，AB ＝21x ，BC ＝9x ，∠ACB ＝120°，
由余弦定理得：(21x )2
＝100＋(9x )2
－2×10×9x ×cos 120°， 整理，得36x 2
－9x －10＝0， 解得x ＝23或x ＝－5
12
(舍)．
因此海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时刻为2
3小时．
答案：23
7．如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为π
3的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，
使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP ＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S .
(1)求S 关于θ的函数关系式． (2)求S 的最大值及相应的θ角．
解析：(1)分别过P ，Q 作PD ⊥OB 于点D ，QE ⊥OB 于点E ，则四边形QEDP 为矩形． 由扇形半径为1 m ， 得PD ＝sin θ，OD ＝cos θ. 在Rt △OEQ 中，
OE ＝
33QE ＝3
3
PD ， MN ＝QP ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－3
3
sin θ， S ＝MN ·PD ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
cos θ－
33sin θ·sin θ ＝sin θcos θ－
33sin 2
θ，θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π3.
(2)S ＝12sin 2θ－3
6
(1－cos 2θ)
＝12sin 2θ＋36cos 2θ－36＝33sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－36，
因为θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π3，
因此2θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.
当θ＝π6时，S max ＝36
(m 2
)．
8．(2020·宜宾模拟)一艘海轮从A 动身，沿北偏东75°的方向航行(23－2)n mile 到达海岛B ，然后从B 动身，沿北偏东15°的方向航行4 n mile 到达海岛C .
(1)求AC 的长；
(2)假如下次航行直截了当从A 动身到达C ，求∠CAB 的大小． 解析：(1)由题意，在△ABC 中，
∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°，AB ＝23－2，BC ＝4， 依照余弦定理得
AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos∠ABC
＝(23－2)2
＋42
＋(23－2)×4＝24， 因此AC ＝2 6.
(2)依照正弦定理得，sin ∠BAC ＝4×
3
226＝2
2，
因此∠CAB ＝45°.。