(完整word版)量子力学6

§2-6 一维定态的一般性质
设粒子质量为μ，沿x 轴运动,势能为)(x U ，则粒子满足的一维定态薛定谔方程为
222()()()2d U x x E x dx ψψμ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦
[]22
2()2()()0d x E U x x dx
ψμ
ψ+-= 定理1:设)(x ψ是一维定态薛定谔方程的解，则它的复共轭)(*x ψ也是该方程的一个解，且与)(x ψ对应同一能量本征值。

证明：因为
2
222d U E dx
ψψψμ-+= 上式两边取复共轭,且考虑到U U =*，E E =*,则
2
2*
**22d U E dx
ψψψμ-+= 即)(*x ψ也是方程的解，且能量本征值为E 。

定理得证。

定理2:对于一维定态薛定谔方程，如果1()x ψ和2()x ψ是对应于同一个能量本征值E 的两个独立的解，则有
12
21()()()()x x x x c ψψψψ''-=（常数） 证明：因为
[]1122()0E U x μψψ''+-= []2222()0E U x μ
ψψ''+-= 上面两式两边分别乘以2ψ和1ψ,然后相减，得
12210ψψψψ''''-=
因此
[]12210d
dx
ψψψψ''-= 故
12
21c ψψψψ''-= 定理3:对于一维定态薛定谔方程,任何能级的简并度最大为2。

证明：设对于同一能量本征值E ,存在三个独立的波函数1ψ、2ψ、3ψ，则
12
211c ψψψψ''-= 13312c ψψψψ''-= 所以
212
2111331()()0c c ψψψψψψψψ''''---= 122
1322131()()0c c c c ψψψψψψ'''---= 令2213c c ϕψψ=-，则
110ψϕϕψ''-=
11
ψϕϕψ'
'=
所以
31c ϕψ=
即
312213c c c ψψψ=-
2112333
c c c c ψψψ=
- 1ψ是2ψ和3ψ的线性组合。

与假设矛盾。

定理得证。

定理4：对一维束缚定态,所有能级都不简并。

证明:设对同一能量本征值E ,存在两个独立的波函数1ψ和2ψ,则
12
21c ψψψψ''-= 对于束缚态，∞→x 时,10ψ→，20ψ→，所以0c →，因此
12
12
ψψψψ''=
12112ln ln ln ln c c ψψψ=+= 112c ψψ=
所以1ψ和2ψ代表同一个量子态，能级不简并.
定理5：一维束缚态的本征函数可以是实数。

证明:由定理1可得，对体系的某一个能量本征值E ，ψ和*ψ都是薛定谔方程的解。

又因为是束缚态，所以能级不简并，则ψ和*ψ代表同一量子态，它们最多相差一常数因子,即
ψψc =*
取复共轭
2
***c c c c ψψψψ===
所以
2
1c =，αi e c =（α是实常数）
不妨取0α=，则1c =，ψψ=*，即本征函数可以取实数.
定理6：假设势能具有空间反演不变性，即)()(x U x U -=.若)(x ψ是一维定态薛定谔方程对应能量本征值E 的一个解,则)(x -ψ也一定是对应同一个E 的另一个解。

证明：一维定态薛定谔方程为
222()()()2d U x x E x dx ψψμ⎡⎤
-+=⎢⎥⎣⎦
作代换x x -→，则方程变为
222()()()2d U x x E x dx ψψμ⎡⎤-+--=-⎢⎥⎣⎦
考虑到)()(x U x U -=，得
222()()()2d U x x E x dx ψψμ⎡⎤-+-=-⎢⎥⎣⎦
即)(x -ψ也满足薛定谔方程，且对应的本征值也是E 。

定理7:对于一维定态问题，假设势能具有空间反演不变性，则任一个属于能量本征值E 的束缚态都有确定的宇称。

证明：由定理7得属于能量本征值E 的解为)(x ψ和)(x -ψ，对于束缚态有
)()(x c x ψψ=-
作代换x x -→，则
2()()()x c x c x ψψψ=-=
所以
21c = 1c =±
当1c =+时，)()(x x ψψ=-，偶宇称；当1c =-时，)()(x x ψψ-=-，奇宇称。

定理8：如图所示，在一维情况下，若)(x U 在0x 点不连续，且1U 、2U 有限，则在0x 点ψ及ψ'仍连续。

证明：因为001()(0)U x U x U ε-=-=，002()(0)U x U x U ε+=+=，且12U U -有限。

薛定谔方程为
22()0E U μ
ψψ''+-= 对上式作00x x dx εε
+-⎰
运算，得
第一项 0000()()x x dx x x εε
ψψεψε+-''''=+--⎰
第二项 002
2()0x x E U dx ε
ε
μ
ψ+--=⎰
（因为
2
2()E U μ
ψ-有限）
所以
00()()x x ψεψε''+=-
即ψ'在0x 点连续.
因为ψ'在0x 点连续,所以ψ'在0x 点是有限的,因此
0000()()0x x dx x x ε
ε
ψψεψε+-'=+--=⎰
所以
00()()x x ψεψε+=-
即ψ在0x 点连续.
在0x 点ψ的曲线光滑连续。

小 结
一维定态满足的几个定理:
定理1:设)(x ψ是一维定态薛定谔方程的解，则它的复共轭)(*x ψ也是该方程的一个解，且与)(x ψ对应同一能量本征值。

定理2:对于一维定态薛定谔方程，如果1()x ψ和2()x ψ是对应于同一个能量本征值E 的两个独立的解，则有
12
21()()()()x x x x c ψψψψ''-=（常数） 定理3：对于一维定态薛定谔方程，任何能级的简并度最大为2.
定理4:对一维束缚态,所有能级都不简并。

定理5：一维束缚态的本征函数可以是实数。

定理6：假设势能具有空间反演不变性，即)()(x U x U -=。

若)(x ψ是一维定态薛定谔方程对应能量本征值E 的一个解,则)(x -ψ也一定是对应同一个E 的另一个解.
定理7：对于一维定态问题,假设势能具有空间反演不变性,则任一个属于能量本征值E 的束缚态都有确定的宇称。

定理8:在一维情况下,若)(x U 在0x 点不连续，且1U 、2U 有限，则在0x 点ψ及ψ'仍连续。