【三套打包】长沙广益实验学校八年级下学期期中数学试卷及答案

最新人教版八年级数学下册期中考试试题(含答案)
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）
A．2 B． C． D．
2、在平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有（）
A．4个 B．3 个 C．2个 D．1个
3、如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=10，BD=6，AD=4，则▱ABCD的面积是（）
A．12 B．12 C．24 D．30
4、下列各组数中，以a、b、c为边长的三角形不是直角三角形的是（）
A．a=3，b=4，c=5 B．a=5，b=12，c=13
C．a=1，b=3，c= D．a=，b=，c=
5、下列计算正确的是（）
A．4 B． C．2= D．3
+的值为（）
6、根式a a b
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
7、如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）
A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．50海里
8、如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，
四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则AC的长为（）
A． cm B．4cm C． cm D． cm
9、如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（）
A．18 B．28 C．36 D．46
10、如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）
A．70° B．65° C．50° D．25°
二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）.
11、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=3，BC=5，则OA的取值范围为．
12、一个直角三角形的两条直角边分别为6和8，那么这个直角三角形斜边上的高为。

13、如图，正方形ABCD的边长为5，E是AB上一点，且BE：AE=1：4，若P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是．（结果保留根号）
15、如图，在线段AB上取一点C，分别以AC、BC为边长作菱形ACDE和菱形BCFG，使点D 在CF上，连接EG，H是EG的中点，EG=4，则CH的长是．
16、如图，已知正方形ABCD，以AB为边向外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则∠AFD的度数．
三、解答题（本题有9小题，共72分）
17、计算：
（1）﹣÷；（2）（2﹣3）（3+2）．
18、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC=24，BD=10，求菱形ABCD 的周长.
19、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
20、已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
21、已知x=1
2
（+），y=
1
2
（﹣），求x2﹣xy+y2的值。

22、如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、BC边上的中点，且△ABM≌△DCM；E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形．
（2）求证：EF与MN互相垂直．
23、如图，已知正方形ABCD的边长为1，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．
（1）求证：四边形PMAN是正方形；
（2）求证：EM=BN；
（3）若点P在线段AC上移动，其他不变，设PC=x，AE=y，求y关于x的解析式，并写出自变量x的取值范围．
24、如图，在矩形ABCD中，AB=24厘米，BC=10厘米，点P从A开始沿AB边以4厘米/秒的速度运动，点Q从C开始沿CD边2厘米/秒的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=2秒时，求P、Q两点之间的距离；
（2）t为何值时，线段AQ与DP互相平分？
（3）t为何值时，四边形APQD的面积为矩形面积的？
25、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm/s．
（1）证明：当E在AO上运动，F在CO上运动，且E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形；
（2）点 E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．
参考答案
1.A.
2.B.
3.C.
4.D.
5.C.
6.C
7.C.
8.D.
9.C.
10.C.
11.1<OA<4;
12.4.8；
13.41；
14.等腰直角三角形；
15.2；
16.60°；
17.（1）原式=3；（2）原式=-1；
18.利用勾股定理得到AB=13，所以菱形ABCD的周长为52；
19.解：在直角三角形ABC中，首先根据勾股定理求得AC=2.4，则A′C=2.4-0.4=2，
在直角三角形A′B′C中，根据勾股定理求得B′C=1.5，
所以B′B=1.5-0.7=0.8
20.证明：如图，连接BC，设对角线交于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵AE=DF，OA-AE=OC-DF，
∴OE=OF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
7，xy=0.5，
21.解：由题意可知，x+y=
所以x2-xy+y2=5.5.
22.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴∠A+∠D=180°，
又∵△ABM≌△DCM，
∴∠A=∠D=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
（2）证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE=CM，MF=CM．
∴NE=FM，NE∥FM．
∴四边形MENF是平行四边形．
∵△ABM≌△DCM，
∴BM=CM．
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME=MF．
∴平行四边形MENF是菱形．
∴EF与MN互相垂直．
23.（1）.∵正方形ABCD
∴∠NAM=90
又因为PM⊥AD,PN⊥AB
∴∠ANP=∠AMP=90
∴四边形PMAN是矩形
（有三个角是直角）
∵P在AC上，∴PM=PN
（角平分线上的点到这条线段两边的距离相等）
所以四边形PMAN是正方形
（2）.∵∠EPB=90
∴∠BPN+∠APN=90
∵∠EPM=∠APN=90
∴∠BPN=∠EPM
在△BPN与△EPM中
∠BPN=∠EPM
PN=PM
∠BNP=∠EMP
∴△BPN≌△EPM
∴BN=EM
2
（3）y=1-x
人教版八年级（下）期中模拟数学试卷(含答案)
一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案写在答题卡的相应位置）分
1．（4分）下列式子中，最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
2．（4分）如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（）
A．B．﹣C．2D．﹣2
3．（4分）如图△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝8，D、E分别是AB、AC的中点，则DE 的长为（）
A．3B．2.5C．4D．5
4．（4分）下列运算正确的是（）
A．﹣＝B．＝2
C．﹣＝D．＝2﹣
5．（4分）在下列各组数中①1，2，3；②5，12，13；③6，7，9；④，，；可作直角三角形三边长的有（）
A．4组B．3组C．2组D．1组
6．（4分）当x＝+1时，式子x2﹣2x+2的值为（）
A．B．5C．4D．3
7．（4分）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD长为（）
A．3B．4C．5D．6
8．（4分）如图菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，E为边AD上任意一点，则△BCE 的面积为（）
A．8B．12C．24D．无法确定9．（4分）如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，小敏行走的路线为B﹣A﹣G﹣E，小聪行走的路线为A﹣D﹣E﹣F，若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为（）
A．大于3100 m B．3100 m C．小于3100 m D．无法确定10．（4分）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC＝3，BC＝4时，计算阴影部分的面积为（）
A．6B．6πC．10πD．12
二．填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡的相应位置作答）11．（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是
12．（4分）命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是．
13．（4分）如图所示，已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件．（只需填一个你认为正确的条件即可）
14．（4分）已知直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（2，0），则点D的坐标是
15．（4分）如图△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10，则BC的长为．
16．（4分）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（10，6），点P为BC边上的动点，当△POA为等腰三角形时，点P的坐标为
三.解答题（共9题，满分86分，请在答题卡的相应位置作答）
17．（8分）计算：
（1）﹣+
（2）（﹣2）（+2）
18．（8分）如图，受台风影响，一棵大树在高于地面3米的A处折断，顶部B落在距离大树底部C处4米的地面上，问这棵大树原来有多高？
19．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF，连接EF．请你只用无刻度的直尺画出线段EF的中点O，并说明这样画的理由．
20．（8分）已知AD是△ABC的中线，且满足AD＝BC，探究AB2+AC2和BC2的数量关系，并说明理由．（要求根据已知画出图形并证明）
21．（10分）如图，在▱ABCD中，AD＞AB，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点E作EF ∥AB交AD于点F．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若菱形ABEF的周长为16，∠EBA＝120°，求AE的大小．
22．（10分）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：
如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．23．（10分）如图平面直角坐标系中，已知三点A（0，7），B（8，1），C（x，0）．（1）求线段AB的长；
（2）请用含x的代数式表示AC+BC的值；
（3）根据（2）中得出的规律和结论，直接写出代数式﹣的最大值．
24．（12分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH都是边长为4的正方形，
（1）如图1，当点A、E重合、且∠DAH为锐角时，求证：MB＝MH；
（2）如图2，在（1）的条件下，当∠DAH＝30°时，求出图中阴影部分面积；
（3）如图3，当点E为线段AC中点时，设CM＝x，△MEN的面积为y，试用含x的代数式表示y．
25．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为对角线BD的中点．（1）如图1，连接AE，求AE的长；
（2）如图2，点F在BC边上，且CF＝1，连接EF，求证∠BFE＝45°；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM∥EF交BD于点M点，G为CM上的动点，过点G作GH⊥BC，垂足为H，连接GE，求GE+GH的最小值．
2017-2018学年福建省福州市福清市八年级（下）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案写在答题卡的相应位置）分
1．（4分）下列式子中，最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、＝，能化简，不符合最简二次根式的定义，故本选项不符合题意；
B、不能化简，符合最简二次根式的定义，故本选项符合题意；
C、＝2，能化简，不符合最简二次根式的定义，故本选项不符合题意；
D、＝2，能化简，不符合最简二次根式的定义，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式：满足①被开方数中不含分母，②被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）的二次根式叫最简二次根式．
2．（4分）如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（）
A．B．﹣C．2D．﹣2
【分析】根据图形特点，求出斜边的长，即得OA的长，可求出x的值．
【解答】解：由图中可知直角三角形的两直角边为：1，1，
那么斜边长为：＝，那么0到A的距离为，
在原点的左边，则x＝﹣．
故选：B．
【点评】本题需注意：确定点A的符号后，点A所表示的数的大小是距离原点的距离．3．（4分）如图△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝8，D、E分别是AB、AC的中点，则DE 的长为（）
A．3B．2.5C．4D．5
【分析】根据三角形的中位线定理即可解决问题；
【解答】解：∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE＝BC＝4，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的中位线定理，解题的关键是记住三角形的中位线定理．4．（4分）下列运算正确的是（）
A．﹣＝B．＝2
C．﹣＝D．＝2﹣
【分析】根据二次根式的加减法对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、＝，故本选项错误；
C、﹣＝2﹣＝，故本选项正确；
D、＝﹣2，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
5．（4分）在下列各组数中①1，2，3；②5，12，13；③6，7，9；④，，；可作直角三角形三边长的有（）
A．4组B．3组C．2组D．1组
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【解答】解：①∵1+2＝3，∴三条线段不能组成三角形，不能组成直角三角形，故错误；
②∵52+122＝132，∴三条线段能组成直角三角形，
③∵62+72≠92，∴三条线段不能组成直角三角形，故错误；
④∵（）2+（）2＝（）2，∴三条线段能组成直角三角形；
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
6．（4分）当x＝+1时，式子x2﹣2x+2的值为（）
A．B．5C．4D．3
【分析】根据完全平方公式以及二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当x＝+1时，
∴x﹣1＝，
∴原式＝x2﹣2x+1+1
＝（x﹣1）2+1
＝3+1
＝4
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
7．（4分）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD长为（）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．
【解答】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∠C＝90°
∴AB＝10cm，
∵AE＝6cm（折叠的性质），
∴BE＝4cm，
设CD＝x，
则在Rt△DEB中，
42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3cm．
∴CD＝3cm，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
8．（4分）如图菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，E为边AD上任意一点，则△BCE 的面积为（）
A．8B．12C．24D．无法确定
【分析】由题意S
△BCE ＝•S
菱形ABCD
，求出菱形的面积即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，∴AD∥BC，
∴S
菱形ABCD
＝×AC×BD＝24，
∴S
△BCE ＝•S
菱形ABCD
＝12，
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（4分）如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，小敏行走的路线为B﹣A﹣G﹣E，小聪行走的路线为A﹣D﹣E﹣F，若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为（）
A．大于3100 m B．3100 m C．小于3100 m D．无法确定
【分析】作GH⊥AD于H，证明△AHG≌△FGE，根据全等三角形的性质得到AG＝EF，得到答案．
【解答】解：作GH⊥AD于H，
四边形HGED为矩形，
∵DB平分∠ADC，GH⊥AD，GE⊥CD，
∴GH＝GE，
∴矩形HGED为正方形，AH＝GF，
∴ED＝EH，
在△AHG和△FGE中，
，
∴△AHG≌△FGE（SAS）
∴AG＝EF，
∴小聪行走的路程＝小敏行走的路程＝3100m，
故选：B．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的判定和性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
10．（4分）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC＝3，BC＝4时，计算阴影部分的面积为（）
A．6B．6πC．10πD．12
【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝＝5，
所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+×（）2+﹣×π×（）2＝6，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．
二．填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡的相应位置作答）11．（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是≥2018【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2018≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2018≥0，
解得：x≥2018，
故答案为：≥2018．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12．（4分）命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等，
故答案为：菱形的四条边相等．
【点评】本题考查的是命题和定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其
中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13．（4分）如图所示，已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件AD ＝BC（或AB∥CD）．（只需填一个你认为正确的条件即可）
【分析】在已知一组对边平行的基础上，要判定是平行四边形，则需要增加另一组对边平行，或平行的这组对边相等，或一组对角相等均可．
【解答】解：根据平行四边形的判定方法，知
需要增加的条件是AD＝BC或AB∥CD或∠A＝∠C或∠B＝∠D．
故答案为AD＝BC（或AB∥CD）．
【点评】此题考查了平行四边形的判定，为开放性试题，答案不唯一，要掌握平行四边形的判定方法．
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
14．（4分）已知直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（2，0），则点D的坐标是（0，4）
【分析】根据菱形的性质，画出图形即可解决问题；
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（2，0），∴OA＝OC＝2，OB＝OD＝4，
∴D（0，4）．
故答案为（0，4）．
【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是正确画出图形，属于中考基础题．15．（4分）如图△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10，则BC的长为16．
【分析】过A作AD⊥BC于D，解直角三角形求出CD和AD，根据勾股定理求出BD，即可得出答案．
【解答】解：
过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴CD＝AC＝＝5，
由勾股定理得：AD＝＝＝5，BD＝＝＝11，
∴BC＝BD+CD＝11+5＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、含30°角的直角三角形性质等知识点，能够正确作出辅助线并求出CD和BD的长度是解此题的关键．
16．（4分）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（10，6），点P为BC边上的动点，当△POA为等腰三角形时，点P的坐标为（2，6），（5，6），（8，6）
【分析】当PA＝PO时，根据P在OA的垂直平分线上，得到P的坐标；当OP＝OA＝10时，由勾股定理求出CP即可；当AP＝AO＝10时，同理求出BP、CP，即可得出P 的坐标．
【解答】解：当PA＝PO时，P在OA的垂直平分线上，
P的坐标是（5，6）；
当OP＝OA＝10时，由勾股定理得：CP＝＝8，
P的坐标是（8，6）；
当AP＝AO＝10时，同理BP＝8，CP＝10﹣8＝2，
P的坐标是（2，6）．
故答案为：（2，6），（5，6），（8，6）．
【点评】本题主要考查对矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质等知识点的理解和掌握，能求出所有符合条件的P的坐标是解此题的关键．
三.解答题（共9题，满分86分，请在答题卡的相应位置作答）
17．（8分）计算：
（1）﹣+
（2）（﹣2）（+2）
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+
＝；
（2）原式＝3﹣4
＝﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．（8分）如图，受台风影响，一棵大树在高于地面3米的A处折断，顶部B落在距离大树底部C处4米的地面上，问这棵大树原来有多高？
【分析】首先根据勾股定理求得折断的树高，继而即可求出折断前的树高．
【解答】解：在Rt△ABC中∠ACB＝90°，
∴由勾股定理可得：，
∴AC+AB＝3+5＝8，
∴大树原来高8米．
【点评】考查了利用勾股定理解应用题，关键在于把折断部分、大树原来部分和地面看作一个直角三角形，利用勾股定理列出方程求解．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF，连接EF．请你只用无刻度的直尺画出线段EF的中点O，并说明这样画的理由．
【分析】连接AC交EF与点O，连接AF，CE．根据AE＝CF，AE∥CF可知四边形AECF 是平行四边形，据此可得出结论．
【解答】解：如图：连接AC交EF与点O，点O即为所求．
理由：连接AF，CE，AC．
∵ABCD为平行四边形，
∴AE∥FC．
又∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴OE＝OF，
∴点O是线段EF的中点．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知平行四边形的性质是解答此题的关键．20．（8分）已知AD是△ABC的中线，且满足AD＝BC，探究AB2+AC2和BC2的数量关系，并说明理由．（要求根据已知画出图形并证明）
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠DCA＝∠A，根据三角形的内角和得到∠CAB＝90°，推出△ABC是直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，AB2+AC2＝BC2；
理由：∵AD是△ABC的中线，且AD＝BC，
∴DA＝DB＝DC，
∴∠DAB＝∠B，∠DCA＝∠DAC，
∵∠DAB+∠B+∠DCA+∠A＝180°，
∴∠DAB+∠DCA＝180°×＝90°，
即∠CAB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴AB2+AC2＝BC2．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
21．（10分）如图，在▱ABCD中，AD＞AB，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点E作EF ∥AB交AD于点F．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若菱形ABEF的周长为16，∠EBA＝120°，求AE的大小．
【分析】（1）由题意可得四边形ABEF是平行四边形，由AE平分∠BAD，可得AB＝BE，则结论可得
（2）：连接BF交AE于点O；则BF⊥AE于点O．由题意可得AB＝4，∠AOB＝90°，∠BAE＝30°，可得AO的长即可求AE的长．
【解答】（1）证明：∵▱ABCD
∴BC∥AD，即BE∥AF
∵EF∥AB
∴四边形ABEF为平行四边形
∵AE平分∠BAF
∴∠EAB＝∠EAF
∵BC∥AD
∴∠BEA＝∠EAF
∴∠BEA＝∠BAE
∴AB＝BE
∴四边形ABEF是菱形
（2）解：连接BF交AE于点O；则BF⊥AE于点O
∵BA＝BE，∠EBA＝120°
∴∠BEA＝∠BAE＝30°
∵菱形ABEF的周长为16
∴AB＝4
在Rt△ABO中∠BAO＝30°
∴
由勾股定理可得：AO＝
∴AE＝
【点评】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的性质和判定，关键是利用这些性质和判定解决问题．
22．（10分）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：
如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．【分析】（1）由矩形的性质得出AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，证出AH＝CF，在Rt△AEH和Rt△CFG中，由勾股定理求出EH＝FG，同理：EF＝HG，即可得出四边形EFGH为平行四边形；
（2）在正方形ABCD中，AB＝AD＝1，设AE＝x，则BE＝x+1，在Rt△BEF中，∠BEF ＝45°，得出BE＝BF，求出DH＝BE＝x+1，得出AH＝AD+DH＝x+2，在Rt△AEH中，由三角函数得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∵BF＝DH，
∴AH＝CF，
在Rt△AEH中，EH＝，
在Rt△CFG中，FG＝，
∵AE＝CG，
∴EH＝FG，
同理：EF＝HG，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝1，
设AE＝x，则BE＝x+1，
在Rt△BEF中，∠BEF＝45°，
∴BE＝BF，
∵BF＝DH，
∴DH＝BE＝x+1，
∴AH＝AD+DH＝x+2，
在Rtt△AEH中，
tan∠AEH＝2，
∴AH＝2AE，
∴2+x＝2x，
解得：x＝2，
∴AE＝2．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、平行四边形的判定、正方形的性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解决问题的关键．
23．（10分）如图平面直角坐标系中，已知三点A（0，7），B（8，1），C（x，0）．（1）求线段AB的长；
（2）请用含x的代数式表示AC+BC的值；
（3）根据（2）中得出的规律和结论，直接写出代数式﹣的最大值．
【分析】（1）根据两点间的距离公式可求线段AB的长；
（2）根据两点间的距离公式可求线段AC，BC的值，再相加即可求解；
（3）由代数式可得﹣的最大值即为点（0，4）和点（4，1）间的距离，根据两点间的距离公式即可求解．
【解答】解：（1）
； （2）AC +BC
＝
+ ＝
＝+；
（3）代数式可得
﹣的最大值即为点（0，4）和点（4，1）间的距离，
最大值为＝5．
【点评】本题主要考查最短路线问题，利用了数形结合的思想，构造出符合题意的直角三角形是解题的关键．
24．（12分）如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 都是边长为4的正方形，
（1）如图1，当点A 、E 重合、且∠DAH 为锐角时，求证：MB ＝MH ；
（2）如图2，在（1）的条件下，当∠DAH ＝30°时，求出图中阴影部分面积；
（3）如图3，当点E 为线段AC 中点时，设CM ＝x ，△MEN 的面积为y ，试用含x 的代数式表示y ．
【分析】（1）根据HL 证明Rt △AMH ≌Rt △AMB ，可得结论；
（2）如图2，先根据Rt △AMH ≌Rt △AMB ，得∠HAM ＝∠MAB ＝30°，计算
，
根据面积差可得结论；
（3）如图3，连接EB 先证明△ECM ≌△EBN ，得NB ＝CM ＝x ，MB ＝4﹣x ，可得四边形ENBM 面积＝S △EBC ＝S 正方形ABCD ，根据面积差可得y 与x 的关系式．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 与四边形EFGH 都是边长为4的正方形，
∴AB＝AH，∠H＝∠B＝90°，
在Rt△AMH和Rt△AMB中，
∵，
∴Rt△AMH≌Rt△AMB（HL），…………………（3分）
∴MB＝MH；……………………………………（4分）
（2）解：由（1）得：Rt△AMH≌Rt△AMB，
∴∠HAM＝∠MAB，………………………………………（5分）
又∠DAB＝90°，
当∠DAH＝30°时，
∴∠HAM＝∠MAB＝30°，
∴Rt△AMH中，AM＝2HM，
∵AB＝AH＝4，………………………………（6分）
由勾股定理得：HM2+AH2＝AM2，
∴HM2+42＝4HM2，
解得，，………（7分）
∴阴影部分面积S＝＝；……………………（8分）
（3）解：如图3，连接EB，
∵E是AC的中点，∠ABC＝90°，
∴EC＝EB，∠CEB＝90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝90°，
∴∠CEM＝∠BEN，
在△ECM和△EBN中，
∵，
∴△ECM≌△EBN，…………………………（9分）
∴NB＝CM＝x，MB＝4﹣x，
∴四边形ENBM 面积＝S △EBC ＝S 正方形ABCD ＝4，
∴S △MNB ＝
， ∴．…………………………（12分）
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，注意第（3）根据三角形全等，从而利用割补法将四边形面积转化为三角形面积，从而解决问题．
25．（12分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，E 为对角线BD 的中点． （1）如图1，连接AE ，求AE 的长；
（2）如图2，点F 在BC 边上，且CF ＝1，连接EF ，求证∠BFE ＝45°；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C 作CM ∥EF 交BD 于点M 点，G 为CM 上的动点，过点G 作GH ⊥BC ，垂足为H ，连接GE ，求GE +GH 的最小值．
【分析】（1）先根据勾股定理计算BD 的长，最后利用直角三角形斜边中线的性质得AE 的长；
（2）如图2，取BC 中点Q ，连接EQ ，则EQ 为Rt △BCD 的中位线，证明△FQE 是等腰直角三角形，可得∠BFE ＝45°；
（3）如图3，过点E 作EN ⊥DC 于N ，交CM 于点G ，此时EG +GH 的值最小，就是EN 的长，根据三角形中位线定理可得结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAD ＝90°，
∵AB＝2，AD＝4，
∴BD＝＝2，…………………………（2分）
∵AE为斜边BD边上中线
∴…………………………（4分）
（2）证明：如图2，取BC中点Q，连接EQ，则EQ为Rt△BCD的中位线，
∴EQ∥DC，且，…………………………（5分）
∴∠FQE+∠C＝180°，
又∠C＝90°，
∴∠FQE＝90°，
∵，且FC＝1，
∴QF＝QE＝1，
∴△FQE是等腰直角三角形，……………………………………（7分）
∴∠BFE＝45°；…………………………………………………（8分）
（3）解：如图3，过点E作EN⊥DC于N，交CM于点G，……………………（9分）∵E是BD的中点，EN∥BC，
∴DN＝CN，
∴EN＝BC＝2，…………………………………（10分）
∵CM∥EF，
∴∠MCB＝∠EFB＝45°，
又∠BCD＝90°，
∴CM平分∠BCD，
∴GN＝GH，………………………………………………………（11分）
∴EG+GH最小值＝EG+GN＝EN＝2．……………………………（12分）
【点评】此题是四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定、勾股定理，角平分线的性质，难度适中，第（3）确定GE+GH的最小值时点G的位置是难点：根据角平分线的性质和垂线段最短．
八年级（下）期中考试数学试题【含答案】
一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是（）
3.若△ABC的三边分别为5、12、13，则△ABC的面积是（）
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
4.下列各数中，与的积为有理数的是（）
A. B. C. D.
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°．如果BC＝3，AC＝5，那么AB＝（）
A. B. 4 C. 4或 D. 以上都不对
6.如图，下列哪组条件不能判定四边形ABCD是平行四边形（）
A. AB∥CD，AB＝CD
B. AB∥CD，AD∥BC
C. OA＝OC，OB＝OD
D. AB∥CD，AD＝BC
7.如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（）cm
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
8.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是（）
A. 32
B. 24
C. 20
D. 40
9.矩形的对角线一定具有的性质是（）
A. 互相垂直
B. 互相垂直且相等
C. 相等
D. 互相垂直平分
10.如图，把一张正方形纸对折两次后，沿虚线剪下一角，展开后所得图形一定是（）
A. 三角形
B. 菱形
C. 矩形
D. 正方形
二、填空题（共6个小题，每小题4分，满分24分）
11.二次根式中字母x的取值范围是________
12.定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的逆命题是________
13.如图，△ABC中，若∠ACB＝90°，∠B＝56°，D是AB的中点，则∠ACD＝________°．。