高中数学 1.2集合的基本关系同步测试 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学试题

第一章§1.2集合的基本关系
一、选择题
1．下列表示正确的是( )
A．{0}∈N B．{0}⊆N＋
C．{0}N D．{0}⊆∅
[答案] C
[解析]{0}与N均表示集合，而且0∈N，故有{0}N.
2．若集合A＝{x|2013≤x≤2015，x∈N}，则集合A的真子集个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
[答案] B
[解析]由题意知A＝{2013,2014,2015}，元素个数为3，∴其真子集个数为23－1＝7.故选B.
3．已知A＝{x∈R|－2<x<4}，B＝{x|x－5<0}，则A与B之间的关系是( )
A．A B B．A B
C．A＝B D．不确定
[答案] A
[解析]用数轴把A，B表示出来如图所示，
∵x－5<0，∴x<5，因此B中元素不能都属于A，但A中元素都小于5(即都在B中)，由真子集定义知A是B的真子集．
4．设M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为( )
A．P N M Q B．Q M N P
C．P M N Q D．Q N M P
[答案] B
[解析]结合菱形、平行四边形、四边形及正方形的概念可知Q M N P.
5．集合A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{y|y＝(x－1)2，x∈R}，则下列关系正确的是( ) A．A＝B B．A B
C．A B D．A⃘B
[答案] A
[解析]∵A ＝{y |y ＝x 2
，x ∈R }＝{y |y ≥0}，
B ＝{y |y ＝(x －1)2，x ∈R }＝{y |y ≥0}，∴A ＝B .
6．设A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |x <m }，若A B ，则m 的取值X 围是( ) A ．m >3 B ．m ≥3 C ．m <3 D ．m ≤3
[答案] B
[解析]∵A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |x <m }，A B ， ∴将集合A 、B 表示在数轴上，如图所示，∴m ≥3.
二、填空题
7．设P ＝{x |x <4}，Q ＝{x |x 2
<4}，则P ________Q . [答案]
[解析] 由x 2
<4可得：－2<x <2.显然Q P . 8．已知A ＝{a,0，－1}，B ＝⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫c ＋b ，
1
a ＋
b ，1，且A ＝B ，则a ＝________，b ＝________，
c ＝________.
[答案] 1 －2 2
[解析]∵A ＝{a,0，－1}，B ＝⎩⎨⎧
⎭⎬⎫c ＋b ，
1a ＋b ，1，A ＝B ，∴a ＝1，b ＋c ＝0，1a ＋b
＝－1，∴b ＝－2，c ＝2.
三、解答题
9．已知集合A ＝{x |x 2
－5x ＋6＝0}，B ＝{x |x 2
＋ax ＋6＝0}，且B ⊆A ，某某数a 的取值X 围．
[解析] 由已知A ＝{2,3}， ①若B ≠∅，由B ⊆A ，
∴B ＝{2}或B ＝{3}或B ＝{2,3}，
当B ＝{2}时，方程x 2＋ax ＋6＝0有两个相等实根， 即x 1＝x 2＝2，x 1x 2＝4≠6， ∴不合题意．同理B ≠{3}． 当B ＝{2,3}时，a ＝－5，合题意． ②若B ＝∅，则Δ＝a 2－4×6<0， ∴－26<a <26，
综合上述，实数a 的取值X 围为{a |a ＝－5或－26<a <26}．
10．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，若B ⊆A ，且B ≠∅.某某数m 的取值X 围．
[解析]∵B ⊆A 且B ≠∅， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
－3≤2m －1m ＋1≤42m －1<m ＋1
，解得－1≤m <2.
一、选择题
1．已知集合A ＝{0,1}，B ＝{y |x 2
＋y 2
＝1，x ∈A }，则( ) A ．A ＝B B ．A B C ．B A D ．B ⊆A
[答案] B
[解析] 当x ＝0时，y ＝±1；当x ＝1时，y ＝0. ∴B ＝{0，－1,1}，∴A B .
2．定义集合A *B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{2,4,5}，则A *B 的子集个数为( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
[答案] D
[解析]∵A *B ＝{1,3}，
∴其子集为∅，{1}，{3}，{1,3}．共4个，故选D. 二、填空题
3．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}，且B ⊆A ，则实数x 的值是________． [答案] 0或± 3
[解析]∵B ⊆A ，∴x 2
＝3，或x 2＝x ， 解得x ＝±3，或x ＝0，或x ＝1， 当x ＝1时，集合B 不满足元素的互异性， ∴x ＝1舍去，故x ＝0或x ＝± 3.
4．设集合A ＝{x |－3≤x ≤2}，B ＝{x |2k －1≤x ≤2k ＋1}，且A ⊇B ，则实数k 的取值X 围是____________．
[答案] －1≤k ≤12
[解析]∵A ⊇B ，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
2k －1≥－3
2k ＋1≤2，∴－1≤k ≤1
2
.
三、解答题
5．已知三元素集合A ＝{x ，xy ，x －y }，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，求x 与y 的值． [解析]∵0∈B ，A ＝B ，∴0∈A ， ∵x ≠xy ，∴x ≠0. 又∵0∈B ，y ∈B ，∴y ≠0. 从而x －y ＝0，x ＝y .
这时A ＝{x ，x 2,
0}，B ＝{0，|x |，x }．
∴x 2
＝|x |，则x ＝0(舍去)或x ＝1(舍去)或x ＝－1. 经验证x ＝－1，y ＝－1满足题意． ∴x ＝－1，y ＝－1.
6．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝2x －a ，a ∈R ，x ∈A }，C ＝{z |z ＝x 2
，x ∈A }，是否存在实数a ，使C ⊆B ？若存在，求出实数a 的取值X 围；若不存在，说明理由．
[解析] 存在，A ＝{x |－1≤x ≤2}，当x ∈A 时， －2－a ≤2x －a ≤4－a,0≤x 2
≤4；
∴B ＝{y |－2－a ≤y ≤4－a ，a ∈R ，y ∈R }，
C ＝{z |0≤z ≤4，z ∈R }．
若C ⊆B ，则应有⎩⎪⎨
⎪
⎧
－2－a ≤04－a ≥4
⇔⎩⎪⎨
⎪⎧
a ≥－2a ≤0
⇔－2≤a ≤0.
所以存在实数a ∈{a |－2≤a ≤0}时，C ⊆B . 7．已知集合P ＝{x ∈R |x 2
＋ax ＋4＝0}． (1)若P ＝{2}，某某数a 的值； (2)若{1}P ，某某数a 的值．
[解析] (1)由于P ＝{2}，所以方程x 2
＋ax ＋4＝0只有一个根2， 因此22
＋2a ＋4＝0，解得a ＝－4，
这时P ＝{x ∈R |x 2
－4x ＋4＝0}＝{2}，符合题意． 故a ＝－4.
(2)由于{1}P ，因此集合P 中含有元素1， 即1是方程x 2
＋ax ＋4＝0的根， 所以12
＋a ×1＋4＝0，解得a ＝－5.
这时P ＝{x ∈R |x 2
－5x ＋4＝0}＝{1,4}，符合题意，故a ＝－5.。