物理学刚体力学

[例题4]如图(a)表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图中左方质点 转动，总质量为m,质心在距转轴32 R处，闸门及钢架对质点的总 转动惯量为I 7 m R2,可用钢丝绳将弧形闸门提起放水，近似认
9 为在开始提升时钢架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为
a=0.1g，g为重力加速度,不计摩擦,不计水浮力.
y
平面上A点相对于Oxyz系的位置矢量
r rB r
y rB
r是A点
相v对Bd点r
的位矢
drB
dt dt
dr dt
vB
O
v
r A
B
x
x
刚体绕过基点的角速度
v
r
v vB r
基点通常选择质心
17
3.无滑滚动(纯滚动)条件 (1)有滑动滚动和无滑动滚动 有滑滚动——接触面之间有相对滑动的滚动(摩擦力不够大). 无滑滚动——接触面之间无相对滑动的滚动(摩擦力足够
dL 0,
dt L 恒矢量
Mz
r1F1 sin
Mz
r1F1 sin
L Li ri mivi
i
i
Mi
M
i内
M i外
M i外
Lz rimivi sin i
M iz
M
iz内
M iz外
M iz外
Mz
dLz dt
M i外
dLi dL dt dt
d M i外z dt
vc
2 3
3gh
22
大) 也称纯滚动.
无滑滚动条件: vcy zr
v
vc
y
r
vc
v
C
vc
P
A
r
r
x O
18
刚体平面运动的动力学
刚体平面运动的基本动力学方程 平面运动 = 平动+定轴转动
1.求质心的运动 2. 刚体绕质心的转动 刚体平面运动的基本动力学方程
Fi mac
M外i' Izcz'
运动定质律点的F平 动ma
刚体的定轴转动
转动定律 M J
动量t定理
t0 Fdt mv mv0
角动量t定理
t0 Mdt L L0
力动的量功F守i 恒W0定, 律mibviF恒dr量
角M动 量守0,恒定律Jii 恒量
力矩的功
W
Md
a
0
动能 Ek mv2 / 2 转动动能 Ek J 2 / 2
dvt dt
r
法向加速度
an
vt2 r
r 2
y et
O r s x
7
质点运动与刚体定轴转动描述的对照
速加度 速质度点的av平动dddrvt
dt
力
F
刚体的定轴转动
角速度 d
角加速度 ddt dt
力矩 M r F
质量
m
动量
P
mv
转动惯量 J r2dm
角动量
L
J
8
质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照
的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体质心的
加速度ac 及斜面作用于柱体的摩擦力F .
[解] 根据质心运动定理
FN W F mac
y 轴上投影
W sin F mac
y´
y
对质心轴的转动定理 FR I 1 mR2
2
无滑滚动 ac R
ac
2 3
g sin
F 1 mgsin
3
x´ x
不计绳的质量及伸长.
R
[解] 方法1. 利用质点和刚体转
m1
动的动能定理求解.
由质点动能定理
m2 gh
FTh
1 2
m2v 2
由刚体动能定理
FT R
1 2
I 2
1 4
m1
R2
2
m2
h
14
约束关系 R h v R
联立得
v 2 m2 gh m1 2m2
方法2. 利用质点系动能定理求解
将转动柱体、下落物体视作质点系
(rimivi sin i )
d dt Lz
M z 0时
M i外 0时
Lz守恒
Li守恒
M iz外 0时 Liz守恒
3
[例题1]求作用于圆锥摆质点m上的重力,拉力及合
力对O 点和对O点的力矩.
o
FT
m
O
mg
4
[解]质点
m
相对圆锥摆悬点O´
的矢径
rO'
质点m 相设对r圆O 锥运r动中心O矢径 rO
M重 mgr
o
FT
m
O
MT
rO
FT
sin（
π 2
)
mg
rO
cos
mg
cos
mgr
M合 rO F
M合 rOF sinπ 0
M合 M重 MT
6
角量与线量的关系
线量——质点做圆周运动的线位移、线速度、线加速度
角量——描述刚体转动整体转动的 ，，
弧长
s r
线速度
vt r
切向加速度 at
刚体力学
1
主要内容
基本概念
角动量 力矩 角速度矢量 转动惯量 刚体定轴转动动能、势能
定理、定律 刚体的运动
平动、定轴转动、平面运动
2
一、基本概念
质点对定点 质点对定轴 质点系对定点
质点系对定轴
角动 量
Lrp
力矩
M rF
角动 量定 理
M
dL
dt
角动 量守 恒定 律
当M 0时
+
绕基点的转动
rB (t) xB (t)i yB (t ) j (t)
选质心为基点最为合适，因为质心的运动定律是已知
的，如质心运动定律、质心的动量定理、动能定理、角
动量定理等；同时绕质心的转动同刚体的定轴转动具有
相同的规律，如转动定理、角动量定理、动能定理等。
16
2. 平面运动的刚体上任意一点的速度
o
FT
对O´ 点
mg /cos M重
rO'
F
m
mg
g
tan
M重 mgr
FT
m
O
mg
MT
rO
FT
0
M合 rO' F
M合 mgtan rO cos mgr
对质点，合力对某一参考点的力矩等于各分力
对同一参考点力矩的矢量和.
5
对O点
M 重 rO m g
MT rO FT
（1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对 弧形闸门的拉力和质点对闸门钢架的支 承力. （2）若以同样加速度提升同样重量的 平板闸门[图(b)]需拉力是多少？
图(a) FT
W
图(b)
11
[解]（1）以弧形闸门及钢架 y 为隔离体，受力如图(a)所示. FN
建立直角坐标系Oxy，
O
根据质心运动定理
图(a) W
19
刚体平面运动的能量
动能 势能 动能定理
Ek
1 2
mv
2 c
1 2
Ic 2
Ep mghc
A外
Δ( 1 2
mv
2 c
1 2
Ic
2
)
如果刚体不太大，若刚体在运动中只有保守力 作功，则系统的机械能也守恒.
E机 械
mghc
1 2
mv
2 c
1 2
Ic
2
20
[例题]如图，固定斜面倾角为 ，质量为 m 半径为 R
9
质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照
质点的平动
刚体的定轴转动
动能定理
动能定理
W
1 2
mv2
1 2
mv02
W
1 2
J 2
1 2
J02
重力势能 Ep mgh 重力势能 Ep mghC
机械能守恒
机械能守恒
只有保守内力作功时 只有保守内力作功时
Ek Ep 恒量
Ek Ep 恒量
10
§7.3.5 转动定理及质心运动定理的应用（定轴转动）
FT FN W mac
向x及y轴投影得
FNx macx
FT mg FNy macy
根据转动定理
FT R
mg
2 3
R
7 9
m R2 z
起动时 acx 0
ac y
2 3
z
R
z
a R
FT
x
12
FT
67 90
mg
FNx 0
FNy
29 90
mg
即起动瞬时绳对闸板的拉力为 67 m g，质点O 对闸门钢
由质点系动能定理
m2 gh
1 2
m2v 2
1 2
I
2
1 2
m2v 2
1 2
(1 2
m1R2 )
2
约束关系 R h v R
联立得
v 2 m2 gh m1 2m2
15
刚体的平面运动
刚体的平面运动——刚体上各点均在平面内运动，且这些 平面均与一固定平面平行. 如车轮滚动等.
1.刚体平面运动
=
随基点平动
FN
C O F
W
21
在例题中，设圆柱体自静止开始滚下，求质心下落高
度 h 时，圆柱体质心的速率. [解] 因为是无滑滚动，静摩
x´
x
FN
擦力F 不做功，只有重力W 做功，机械能守恒.
mgh
1 2
m vc2
1 2
(1 2
m R2 ) 2
C O
y´
F
y
W
1 2
m vc2
1 4
m R2 2
无滑滚动条件 vc R
90
架的支承力竖直向上，大小等于29mg/90.
(2) 用FT 表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应
用牛顿第二定律，得：
FT
FT mg ma
ห้องสมุดไป่ตู้
FT
11 10
mg
比较上面结果，可见提升弧形闸门
所用的拉力较小.
W
图(b)
13
[例题1]装置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半径为R， 重锤质量为m2 ，最初静止，后将重锤释放下落并带动 柱体旋转，求重锤下落 h 高度时的速率v，不计阻力，