(京津专用)高考数学总复习 优编增分练：压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)文

(二)直线与圆锥曲线(2)
1．(2018·威海模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且|QF |＝2|PQ |.
(1)求p 的值；
(2)已知点T (t ，－2)为C 上一点，M ，N 是C 上异于点T 的两点，且满足直线TM 和直线TN
的斜率之和为－83
，证明直线MN 恒过定点，并求出定点的坐标． 解 (1)设Q (x 0,4)，由抛物线定义知|QF |＝x 0＋p 2
， 又|QF |＝2|PQ |，即2x 0＝x 0＋p 2，解得x 0＝p 2， 将点Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，4代入抛物线方程，解得p ＝4. (2)由(1)知，C 的方程为y 2＝8x ， 所以点T 坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－2， 设直线MN 的方程为x ＝my ＋n ，
点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 218，y 1，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 228，y 2， 由⎩⎪⎨⎪
⎧ x ＝my ＋n ，y 2＝8x ，
得y 2－8my －8n ＝0，Δ＝64m 2＋32n >0.
所以y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8n ，
所以k MT ＋k NT ＝y 1＋2y 218－12＋y 2＋2y 228－12
＝
8y 1－2＋8y 2－2 ＝8(y 1＋y 2)－32y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4
＝64m －32－8n －16m ＋4＝－83
， 解得n ＝m －1，
所以直线MN 的方程为x ＋1＝m (y ＋1)，恒过定点(－1，－1)． 2．(2018·南昌模拟)已知动圆C 过点F (1,0)，且与直线x ＝－1相切．
(1)求动圆圆心C 的轨迹方程E ；
(2)已知点P (4，－4)，Q (8,4)，过点Q 的直线l 交曲线E 于点A ，B ，设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值，并求出此定值．
解 (1)设C (x ，y )，由(x －1)2＋y 2
＝||x ＋1， 得动圆圆心C 的轨迹方程E 为y 2＝4x ，
(2)依题意知直线AB 的斜率不为0，
设AB 方程为x －8＝m (y －4)，即x ＝my －4m ＋8，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，x ＝my －4m ＋8， 得y 2－4my ＋16m －32＝0，且Δ>0恒成立，
∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝16m －32，
∴k PA ·k PB ＝
y 1＋4x 1－4·y 2＋4x 2－4 ＝y 1＋4y 214－4·y 2＋4y 224－4
＝16(y 1－4)(y 2－4)
＝16y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋16
＝
1616m －32－16m ＋16＝－1(定值)． 3．(2018·四省名校大联考)如图，在平面直角坐标系中，已知点F (1,0)，过直线l ：x ＝4左侧的动点P 作PH ⊥l 于点H ，∠HPF 的角平分线交x 轴于点M ，且|PH |＝2|MF |，记动点P 的轨迹为曲线C .
(1)求曲线C 的方程；
(2)过点F 作直线l ′交曲线C 于A ，B 两点，设AF →＝λFB →，若λ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2，求|AB |的取值范围．
解 (1)设P (x ，y )，由题意可知|MF |＝|PF |，
所以|PF ||PH |＝|MF ||PH |＝12
， 即(x －1)2＋y 2|x －4|＝12，化简整理得x 24＋y 23
＝1， 即曲线C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1. (2)由题意，得直线l ′的斜率k ≠0，
设直线l ′的方程为x ＝my ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1，x 24＋y 23
＝1， 得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
所以Δ＝(6m )2＋36(3m 2＋4)＝144(m 2
＋1)>0恒成立，
且y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4
，① 又因为AF →＝λFB →，所以－y 1＝λy 2，②
联立①②，消去y 1，y 2，得4m 23m 2＋4＝(λ－1)2λ
， 因为(λ－1)2λ＝λ＋1λ－2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12， 所以0≤4m 2
3m 2＋4≤12
， 解得0≤m 2≤45
. 又|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|
＝m 2＋1(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋123m 2＋4 ＝4－43m 2＋4
， 因为4≤3m 2＋4≤325
， 所以|AB |＝4－43m 2＋4∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤3，278. 所以|AB |的取值范围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤3，278.
4．(2018·合肥模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a
2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的离心率为22
，短轴长为4 2.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，点N
在y 轴上，且MF →·FN →＝0，设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 面积的最大值．
解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22
，2b ＝42，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝22，c ＝22，
所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1. (2)由题意可设直线PA 的方程为y ＝k (x ＋4)，k >0，
则M (0,4k )，
又F (22，0)，且MF →·FN →＝0，
所以MF ⊥FN ，
所以直线FN 的方程为y ＝224k
(x －22)， 则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2k ，联立⎩
⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋4)，x 2＋2y 2＝16， 消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋16k 2x ＋32k 2－16＝0，
解得x 1＝－4，x 2＝4－8k 2
1＋2k 2， 则P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－8k
2
1＋2k 2，8k
1＋2k 2， 直线AN 的方程为y ＝－12k
(x ＋4)， 同理可得Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫8k 2－41＋2k 2，－8k 1＋2k 2， 所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点，
所以△APQ 的面积S ＝12OA ·|y P －y Q | ＝2·16k 1＋2k 2＝322k ＋1k
≤82， 当且仅当2k ＝1k ，即k ＝22
时，等号成立， 所以△APQ 面积的最大值为8 2.
5．(2018·峨眉山模拟)如图，圆C 与x 轴相切于点T (2,0)，与y 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的下方)，且|MN |＝3.
(1)求圆C 的方程；
(2)过点M 任作一条直线与椭圆x 28＋y 2
4
＝1相交于两点A ，B ，连接AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM . (1)解 由题意可知圆心的坐标为()2，r .
∵|MN |＝3，∴r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝254，r ＝52， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254
. (2)证明 由圆C 方程可得M (0,1)，N (0,4)，
①当AB 斜率不存在时，∠ANM ＝∠BNM ＝0°；
②当AB 斜率存在时，
设直线AB 方程为y ＝kx ＋1.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 28＋y 24＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0， x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k
2， ∴k AN ＋k BN ＝
y 1－4x 1＋y 2－4x 2 ＝2kx 1x 2－3(x 1＋x 2)x 1x 2
＝2k⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
6
1＋2k2
－3
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
4k
1＋2k2
－
6
1＋2k2
＝0，
∴k AN＋k BN＝0，
综上所述，∠ANM＝∠BNM.。