金版学案2016秋数学人教A版必修5课件：第一章1.1第2课时余弦定理

归纳升华 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需 要从“统一”入手，即使用转化的思想解决这类问题，一 般有两条思考路线：①化边为角，再进行三角恒等变换， 求出角的大小或角的正、余弦值；②化角为边，再进行代 数恒等交换，求出三角边之间的关系式．
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(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论： ①△ABC 为直角三角形⇔a2＝b2＋c2 或 b2＝a2＋c2 或 c2＝a2＋b2； ②△ABC 为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2 或 b2＋c2＞a2 或 c2＋a2＞b2； ③△ABC 为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2 或 b2＋c2＜a2 或 c2＋a2＜b2.
[变式训练] 在△ABC 中，已知 BC＝7，AC＝8，AB
＝9，试求 AC 边上的中线长．
AB2＋AC2－BC2
解：由余弦定理和条件，得 cos A＝
＝
2·AB·AC
922＋×892×－872＝23，
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设中线长为 x，由余弦定理，得 x2＝A2C2＋AB2－2·A2C·ABcos A＝42＋92－2×4×9 ×23＝49， 所以 x＝7.所以所求 AC 边上的中线长为 7.
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解得：b＝2 或 b＝4，因为 b＜c，所以 b＝2. 答案：B
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5．如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它 的顶角的余弦值为( )
53
37
A.18 B.4 C. 2 D.8
解析：设底边长为 a，腰长为 x 则 2x＋a＝5a，2x＝
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解：(1)由余弦定理得：
b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc ＝
（2
2）2＋（ 6＋ 2×2 2×（
2）2－（2 6＋ 2）
3）2＝12，
所以 A＝60°.
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a2＋c2－b2 cos B＝ 2ac ＝
（2
3）2＋（ 6＋ 2×2 3×（
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类型 2 利用正、余弦定理判断三角形形状 [典例 2] 在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝ 3bc，且 sin A＝2sin Bcos C，试判断△ABC 的形状． 解：由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， 得 b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即 a2＝b2＋c2－bc， 所以 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12.
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整理得 sin(A＋30°)＝1，所以 A＝60°，C＝60°， 所以△ABC 是等边三角形．
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类型 3 已知三边或三边关系解三角形 [典例 3] (1)已知△ABC 的三边长为 a＝2 3，b＝ 2 2， c＝ 6＋ 2，求△ABC 的各角度数． (2)已知三角形 ABC 的三边长为 a＝3，b＝4，c＝ 37， 求△ABC 的最大内角．
(2) 用 余 弦 定 理 列 出 关 于 第 三 边 的 等 量 关 系 建 立 方 程，运用解方程的方法求出此边长．
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[变式训练] 在△ABC 中，A＝30°，AB＝2，BC＝1， 求 AC.
解：由余弦定理得： BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 30°， 所以 AC2－2 3AC＋3＝0， 所以 AC＝ 3.
2．在△ABC 中，已知 A＝30°，且 3a＝ 3b＝12，则 c 的值为( )
A．4 B．8 C．4 或 8 D．无解 解析：由 3a＝ 3b＝12，得 a＝4，b＝4 3，利用余 弦定理可得 a2＝b2＋c2－2bccos A，即 16＝48＋c2－12c， 解得 c＝4 或 c＝8. 答案：C
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2．△ABC 中，用三边 a、b、c 表示 cos A＝b2＋2cb2c－a2； cos B＝c2＋2ac2a－b2；cos C＝a2＋2ba2b－c2. 3．运用余弦定理可以解决两类解三角形的问题． (1)已知三边，求三角． (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
第一章 解三角形
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第 2 课时 余弦定理
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[学习目标] 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明 余弦定理的向量方法． 2.会运用余弦定理解决两类基本 的三角形问题．
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[知识提炼·梳理] 1．余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两 边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两 倍，即 a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝c2＋a2－2cacos B；c2 ＝a2＋b2－2abcos C. 特别：在△ABC 中，已知 C＝90°，三边 a、b、c 的 关系为： c2＝a2＋b2.(勾股定理)
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又因为 2b＝a＋c，所以 2b＝2c，即 b＝c. 所以△ABC 是等边三角形． 法二：根据正弦定理，2b＝a＋c 可转化为 2sin B＝sin A＋sin C. 又因为 B＝60°，所以 A＋C＝120°.所以 C＝120°－A， 所以 2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)，
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3．△ABC 中，a2－c2＋b2＝ab，则角 C 大小为( )
A．60°
B．45°或 135°
C．120° D．30°
解析：由余弦定理 cos C＝b2＋2ab2a－c2＝12.
所以 cos C＝12，所以 C＝60°
答案：A
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归纳升华 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求
角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边 的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．
(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性 质引入 k，从而转化为已知三边解三角形．
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所以 a2－9a＋18＝0，得 a＝3 或 6. 当 a＝3 时，A＝30°，所以 C＝120°. 当 a＝6 时，由正弦定理 sin A＝asibn B＝6×3 12＝1. 所以 A＝90°，所以 C＝60°.
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法二：由 b＜c，B＝30°； 由 b＞csin 30°＝3 3×12＝323知本题有两解． 由正弦定理 sin C＝csibn B＝3 33×12＝ 23， 所以 C＝60°或 120°.
4. (2015·广东卷)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分 别为 a，b，c.若 a＝2，c＝2 3，cos A＝ 23，且 b＜c，则 b＝( )
A. 3 B．2 C．2 2 D．3 解析：由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos A，所以 22＝b2＋(2 3)2－2×b×2 3× 23，即 b2－6b＋ x，则 cos x＝42a×2＋24aa×2－2aa2＝78.
答案：D
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类型 1 已知两边及其一角解三角形 [典例 1] △ABC 中，已知 b＝3，c＝3 3，B＝30°， 解此三角形． 解：法一：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B. 得 32＝a2＋(3 3)2－2a×3 3×cos 30°，
4．注意数形结合数学思想的运用．
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[变式训练] 在△ABC 中，若 B＝60°，2b＝a＋c， 试判断△ABC 的形状．
解：法一：根据余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B. 因为 B＝60°，2b＝a＋c， 所以a＋2 c2＝a2＋c2－2accos 60°， 整理得(a－c)2＝0，所以 a＝c.
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温馨提示 勾股定理实际上是余弦定理的特殊情形．
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[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，若 a2＋b2＝c2，则△ABC 为直角三 角形．( ) (2)在△ABC 中，若 cos A＝b2＋2cb2c－a2＞0，则△ABC 为锐角三角形．( )
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(3)当已知两边及夹角时，可由余弦定理求出另一边， 从而可知三角形已确定了，故正确．(4)由 b2＋c2－a2＜0， 知 cos A＜0，故 A 为钝角，显然三角形 ABC 为钝角三角 形成立，故正确．
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
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1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾 股定理是余弦定理的特殊情形．
2．余弦定理的应用范围是： (1)已知三边求三角； (2)已知两边及一个内角，求第三边．
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3．已知两边及其中一边所对角，用余弦定理时可能 有两个解，注意用三边长度关系特点进行取舍．
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当 C＝60°时，A＝90°，由勾股定理得：a＝ b2＋c2＝ 32＋（3 3）2＝6，
当 C＝120°时，A＝30°，△ABC 为等腰三角形，所以 a＝3.
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归纳升华 已知两边及其中一边的对角解三角形的方法
(1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形 的内角和定理求出第三角，再用正弦定理求出第三边，要 注意判断解的情况．
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(3) 已 知 三 角 形 两 边 及 夹 角 ， 则 此 三 角 完 全 确 定．( )
(4)在△ABC 中，若 b2＋c2－a2＜0，则△ABC 中为钝 角三角形．( )
解析：(1)因为 a2＋b2＝c2，所以 C＝90°，故△ABC 为直角三角形，正确．(2)由 cos A＞0 可知 A 必为锐角， 但还有 B、C 不能确定，故不正确．
2）2－（2 6＋ 2）
2）2 ＝
22，
所以 B＝45°，所以 C＝180°－A－B＝75°.
(2)因为 c＞a，c＞b，所以角 C 最大．
由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C，
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即 37＝9＋16－24cos C， 所以 cos C＝－12， 因为 0°＜C＜180°，所以 C＝120°. 所以△ABC 的最大内角为 120°.
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π 因为 0＜A＜π，所以 A＝3. 又 sin A＝2sin Bcos C. 所以由正、余弦定理得
a2＋b2－c2 a2＋b2－c2 a＝2b· 2ab ＝ a ， 所以 b2＝c2，b＝c， 所以△ABC 为等边三角形．
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