江苏省邗江中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题

邗江中学2019-2020学年度第二学期期中考试
高二数学试卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．函数f （x ）＝x 2﹣sin x 在[0，π]上的平均变化率为（ ）
A ．1
B ．2
C ．π
D ．π2
2．复数z 满足z =2i 1−i
，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．i D ．﹣i
3．已知随机变量X 服从正态分布N （1，4），若P （X ≥2）＝0.2，则P （0≤X ≤1）为（ ） A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.6
4．已知C n+17−C n 7=C n 8（n ∈N *），则n 等于（ ）
A ．14
B ．12
C ．13
D ．15
5．已知f （x ）＝x •sin2x ，则)2
(π
f '为（ ） A ．﹣π B ．−π2 C ．π2 D ．π
6．二项式（√x +
2x 2）10展开式中的常数项是（ ） A ．180 B ．90 C ．45 D ．360
7．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则P （B |A ）＝（ ）
A ．38
B ．1340
C ．1345
D ．34
8．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）
A．48种B．72种C．96种D．144种
9．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x＝﹣1处取得极大值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（）
A．B．
C．D．
10．已知（x﹣1）9（1﹣x）＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a8＝（）
A．﹣45B．27C．﹣27D．45
11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为A54C41
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(C53C21+C52C32)A33
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，
丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A33
12．已知函数f（x）＝ax﹣lnx，x∈[1，e]的最小值为3，若存在x1，x2，…，x n∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n
﹣1
）＝f（x n），则正整数n的最大值为（）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品的个数的数学期望值为．14．若（1﹣3x）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+a3+…+a10＝．
15．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率是_________
16．若存在a＞0，使得函数f（x）＝6a2lnx与g（x）＝x2﹣4ax﹣b的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为．
三、解答题（本题共6小题，其中第17题10分，其他每题12分，共70分；解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知z是复数，z+2i与
z
2−i
均为实数．
（1）求复数z；
（2）复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
18．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数(结果用数字作答)．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排4人，后排3人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻.
19．已知（√x+
1
2√x
4）
n的展开式中前三项的系数为等差数列．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．
20．有一块半圆形的空地，直径200
AB=米，政府计划在空地上建一个形状为等腰梯形的花圃ABCD，如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上，其余为绿化部分，设BOCθ
∠=.
（1）记花圃的面积为()f θ，求()f θ的最大值；
（2）若花圃的造价为10元/米²，在花圃的边AD 、BC 处铺设具有美化效果的灌溉管道，铺设费用为500元/米，两腰AD 、BC 不铺设，求θ满足什么条件时，会使总造价最大.
21．已知甲箱中装有3个红球，2个黑球乙箱中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，某商场举行有奖促销活动，规定顾客购物1000元以上，可以参与抽奖一次，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖，奖金300元；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖，奖金200元；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，奖金100元；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中．
（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；
（2）若3人各参与摸奖1次，求获奖人数X 的数学期望E （X ）；
（3）若商场同时还举行打9折促销活动，顾客只能在两项促销活动中任选一项参与假若你购买了价值1200元的商品，那么你选择参与哪一项活动对你有利？
22．已知函数f （x ）＝e x ﹣ax ﹣a （其中e 为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；
（Ⅱ）若对任意x ∈（0，2]，不等式f （x ）＞x ﹣a 恒成立，求实数a 的取值范围；
1 n ）n+（
2
n
）n+（
3
n
）n+…+（
n
n
）n＜
e
e−1．
（Ⅲ）设n∈N*，证明：（
高二年级期中考试试题参考答案2020.5.6
一．选择题（共12小题）
1．函数f （x ）＝x 2﹣sin x 在[0，π]上的平均变化率为（ ）
A ．1
B ．2
C ．π
D ．π2
【解答】解：根据题意，f （x ）＝x 2﹣sin x ，则f （0）＝0，f （π）＝π2﹣sin π＝π2，
则f （x ）在[0，π]上的平均变化率为△y △x =f(π)−f(0)π−0=π2
−0π−0=π；
故选：C ．
2．复数z 满足z =2i 1−i ，则复数z 的虚部为（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．i
D ．﹣i
【解答】解：∵z =2i 1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=2i(1+i)2=−1+i ，
则复数z 的虚部为1．
故选：B ．
3．已知随机变量X 服从正态分布N （1，4），若P （X ≥2）＝0.2，则P （0≤x ≤1）为（ ）
A ．0.2
B ．0.3
C ．0.4
D ．0.6
【解答】解：∵随机变量X 服从正态分布N （1，4），
∴μ＝1，σ＝2，
又P （X ≥2）＝0.2，
∴P （0≤X ≤1）＝P （1≤X ≤2）＝0.5﹣0.2＝0.3；
故选：B ．
4．已知C n+17−C n 7=C n 8（n ∈N *），则n 等于（ ）
A ．14
B ．12
C ．13
D ．15
【解答】解：∵C n+17−C n 7=C n 8（n ∈N *），
∴C n+17=C n 8+C n 7=C n+1
8， ∴n +1＝7+8，解得n ＝14．
故选：A ．
5．已知f （x ）＝x •sin2x ，则f '（π2
）为（ ） A ．﹣π B ．−π2 C ．π2 D ．π
【解答】解：f '（x ）＝sin2x +x •2cos2x ＝sin2x +2x cos2x ，
f '（π2）＝sin π+πcos π ＝0﹣π
＝﹣π，
故选：A ．
6．二项式（√x +
2x 2）10展开式中的常数项是（ ） A ．180 B ．90 C ．45 D ．360
【解答】解：二项式（√x +2x 2
）10展开式的通项公式为 T r +1=C 10r •2r •x 5−5r 2， 令5−5r 2
=0，求得 r ＝2，可得展开式中的常数项是 C 102•22＝180， 故选：A ．
7．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则P （B |A ）＝（ ）
A ．38
B ．1340
C ．1345
D ．34 【解答】解：由题意，n （AB ）=C 31C 31+C 21C 21=13，n （A ）=C 5
1C 81=40 ∴P （B |A ）=n(AB)n(A)=1340．
故选：B ．
8．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）
A ．48种
B ．72种
C ．96种
D ．144种
【解答】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为A 、B 、C 、D 、E ，分4步分析： ①，对于A 区域，有4种涂法，
②，对于B 区域，与A 相邻，有3种涂法，
③，对于C 区域，与A 、B 相邻，有2种涂法，
④，对于D 区域，若其与B 区域同色，则E 有2种涂法，
若D 区域与B 区域不同色，则E 有1种涂法，
则D 、E 区域有2+1＝3种涂色方法，
则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种；
故选：B ．
9．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x＝﹣1处取得极大值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），
且函数f（x）在x＝﹣1处取得极大值，
∴当x＞﹣1时，f′（x）＜0；
当x＝﹣1时，f′（x）＝0；
当x＜﹣1时，f′（x）＞0．
∴当0＞x＞﹣1时，xf′（x）＞0；x＞0时，xf′（x）＜0；
当x＝﹣1时，xf′（x）＝0；
当x＜﹣1时，xf′（x）＜0．
故选：D．
10．已知（x﹣1）9（1﹣x）＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a8＝（）
A．﹣45B．27C．﹣27D．45
【解答】解：（x﹣1）9（1﹣x）＝﹣（x﹣1）10，
设（x﹣1）10的通项公式为T k+1＝（﹣1）k∁10k x10﹣k．k＝0，1， (10)
令10﹣k＝8，解得k＝2．
∴a8＝﹣（﹣1）2∁102=−45．
故选：A．
11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为A54C41
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(C53C21+C52C32)A33
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A33
【解答】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为45，即选项A错误，
②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为C52A44，即选项B错误，
③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：
（C53C21
A22
+
C52C32
A22
）A33，即选项C错误，
④每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项
工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A33，即选项D正确，
故选：D．
12．已知函数f（x）＝ax﹣lnx，x∈[1，e]的最小值为3，若存在x1，x2…x n∈[1，e]，使得f（x1）+f （x2）+…+f（x n
﹣1
）＝f（x n），则正整数n的最大值为（）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：求导，f′(x)=a −
1x
=ax−1x ， 当a ≤0或0＜a ≤1e
时，f ′（x ）＜0在x ∈[1，e ]恒成立， 从而f （x ）在[1，e ]单调递减，f （x ）min ＝f （e ）＝ae ﹣1＝3， 解得a =
4e ∉(−∞，1
e
]，不合题意， 当1e
＜a ＜1时，易得f （x ）在(1，1
a )单调递减，在(1
a ，e)单调递增，
f(x)min =f(1a
)=1−ln 1a
=3，解得a =e 2∉(1e
，1)不合题意，
当a ＞1时，f （x ）在[1，e ]单调递增，所以f （x ）min ＝f （1）＝a ＝3＞1，满足题意， 所以a ＝3，
所以f （x ）＝3x ﹣lnx ，x ∈[1，e ]，所以f （x ）min ＝f （1）＝3，f （x ）max ＝f （e ）＝3e ﹣1， 依题意有（n ﹣1）f （x ）min ≤f （x ）max ，即（n ﹣1）3≤3e ﹣1，得n ≤e +2
3
，又因为n ∈N *， 所以n ≤3，所以n 的最大值为3， 故选：B ．
二．填空题（共4小题）
14．在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是 35
．
【解答】解：设抽到次品个数为ξ，则ξ～H （3，2，10）
∴E ξ=
nM N
=3×210=3
5 故答案为：35
15．若（1﹣3x ）10＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 10x 10，则a 1+a 2+a 3+…+a 10＝ 1023 ． 【解答】解：∵（1﹣3x ）10＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 10x 10，
令x ＝0得：1＝a 0；①
令x ＝1得：a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 10＝（1﹣3）10＝1024； ② 由①②可得：a 1+a 2+a 3+…+a 10＝1024﹣1＝1023； 故答案为：1023．
16．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上的概率是__
27
8
_______
【解答】解：设按照顺时针跳的概率为p ，则逆时针方向跳的概率为2p ，
则p +2p ＝3p ＝1，解得p =13
，即按照顺时针跳的概率为1
3
，则逆时针方向跳的概率为2
3
，
若青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上，
则满足四次跳跃中有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，
①若先按逆时针开始从A →B ，则剩余3次中有1次是按照逆时针，其余2次按顺时针跳，则对应的概率为2
3×C 31×
23
×(13
)2=
1281
=
4
27
，
②若先按顺时针开始从A →C ，则剩余3次中有1次是按照顺时针，其余2次按逆时针跳，则对应的概率为1
3×C 31×
13×(23
)2=
1281
=
4
27
，
则概率为
4
27
+427=
827
，
故答案为:
27
8
16．若存在a ＞0，使得函数f （x ）＝6a 2lnx 与g （x ）＝x 2﹣4ax ﹣b 的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为
13e 2
．
【解答】解：设曲线y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的公共点为H （x 0，y 0）， 因为f′(x)=6a 2
x
，g '（x ）＝2x ﹣4a ，
所以2x 0−4a =6a 2x 0
，化简得x 02
−2ax 0−3a 2=0，
解得x 0＝﹣a 或3a ，
又x 0＞0，且a ＞0，则x 0＝3a ． 因为f （x 0）＝g （x 0）．
所以x 02
−4ax 0−b =6a 2lnx 0，b ＝﹣3a 2﹣6a 2ln 3a （a ＞0）．
设h （a ）＝b ，所以h '（a ）＝﹣12a （1+ln 3a ），
令h '（a ）＝0，得a =
1
3e
， 所以当0＜a ＜1
3e 时，h '（a ）＞0；当a ＞1
3e 时，h '（a ）＜0．
即h （a ）在(0，
13e )上单调递增，在(1
3e
，+∞)上单调递减， 所以b 的最大值为ℎ(1
3e )=1
3e 2
． 故答案为：
1
3e ．
三．解答题（共6小题）
17．已知z 是复数，z +2i 与z 2−i
均为实数．
（1）求复数z ；
（2）复数（z +ai ）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）设z＝x+yi（x，y∈R），则z+2i＝x+（y+2）i为实数，
∴y＝﹣2．
∵
z
2−i
=
x−2i
2−i
=
(x−2i)(2+i)
(2−i)(2+i)
=
2x+2+(x−4)i
5
=
2x+2
5
+
x−4
5
i为实数，
∴x−4
5
=0，解得x＝4．
则z＝4﹣2i；
（2）∵（z+ai）2＝（4﹣2y+ai）2＝（12+4a﹣a2）+8（a﹣2）i在第一象限，
∴{12+4a−a2＞0 8(a−2)＞0
，
解得2＜a＜6．
18．已知（√x+
1
2√x
4）
n的展开式中前三项的系数为等差数列．
（1）求二项式系数最大项；（2）求展开式中系数最大的项．
【解答】解：（1）∵（√x+
1
2√x
4）
n的展开式中前三项的系数为C
n
0•(1
2
)0、C n1•
1
2
、C n2•(
1
2
)2，
∵他们成等差数列，∴2（C n1•1
2
）=C n0•(
1
2
)0+C n2•(12)2，求得n＝8，或n＝1（舍去），
故二项式系数最大的项为T5=C84•(12)4•x=352x．（2）第r+1项为T r+1=C8r•(12)r•x4−3r4，
要使第r+1项的系数C8r•(1
2
)r最大，r＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，
经检验，r＝2 或3 时，第r+1项的系数C8r•(1
2
)r最大，
故展开式中系数最大的项为 T 3=C 82
•1
4•x 52=7x 5
2，T 4=C 83•1
8
•x 74=7x 7
4．．
19．有一块半圆形的空地，直径200AB =米，政府计划在空地上建一个形状为等腰梯形的花圃
ABCD ，如图所示，其中O 为圆心，C ，D 在半圆上，其余为绿化部分，设BOC θ∠=.
（1）记花圃的面积为()f θ，求()f θ的最大值；
（2）若花圃的造价为10元/米²，在花圃的边AD 、BC 处铺设具有美化效果的灌溉管道，铺设费用为500元/米，两腰AD 、BC 不铺设，求θ满足什么条件时，会使总造价最大. 【解答】解: （1）设半径为r ，则100r =米，作CE AB ⊥，垂足为E ， 因为BOC θ∠=，所以sin sin ,cos CE OC R OE r θθθ=⋅==， 所以22cos CD OD r θ==， 所以()()()21
22cos sin sin cos sin 2
f
r r r r θθθθθθ=⨯+⨯=+
()410sin cos sin ,0,2πθθθθ⎛⎫
=+∈ ⎪⎝⎭
.
()()()()'42410cos 2cos 110cos 12cos 1f θθθθθ=+-=+-，
所以当π0
θ
3
时，()'0f θ>，()f θ递增；当32ππθ<<时，()'
0f θ<，()f θ递减.
所以当3
π
θ=
时()f
θ最大，最大值为4
103f π⎛⎫== ⎪
⎝⎭
（2）设花圃总造价为()()()()()51050022cos 10sin 11cos W f r r θθθθθ=++=++，
0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
.
()()'52210cos cos sin sin W θθθθθ=+--()()510cos sin cos sin 1θθθθ=-++.
令()'
0W
θ=，则cos sin 0θθ-=，由于0,2
πθ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，则4
π
θ=.
当04
π
θ<<
时，()'
0W
θ>，函数()W θ单调递增，
当
4
2
π
π
θ<<
时，()'
0W
θ<，函数()W θ单调递减，
所以当4
π
θ=时，函数()W θ有最大值，即总造价最大.
20．把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列．
（1）43251是这个数列的第几项？ （2）这个数列的第96项是多少？ （3）求这个数列的各项和．
【解答】解：（1）先考虑大于43251的数，分为以下三类 第一类：以5打头的有：A 44=24 第二类：以45打头的有：A 33=6
第三类：以435打头的有：A 22=2…（2分）
故不大于43251的五位数有：A 55−(A 44+A 33+A 22)=88（个）
即43251是第88项．…（4分）
（2）1开头的五位数有A 44=24；2开头的五位数有A 44=24；3开头的五位数有A 44=24；4开头的
五位数有A 44=24；
所以1、2、3、4开头的五位数共有96个
所以第96项是4开头最大的数，即45321．…（8分） （3）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有A 44个五位数， 所以万位上数字的和为：（1+2+3+4+5）•A 44•10000…（10分）
同理它们在千位、十位、个位上也都有A 44个五位数，所以这个数列各项和为： （1+2+3+4+5）•A 44•（1+10+100+1000+10000）＝15×24×11111＝3999960…（12分） 21．已知甲箱中装有3个红球，2个黑球乙箱中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，某商场举行有奖促销活动，规定顾客购物1000元以上，可以参与抽奖一次，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖，奖金300元；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖，奖金200元；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，奖金100元；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中． （1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；
（2）若3人各参与摸奖1次，求获奖人数X 的数学期望E （X ）；
（3）若商场同时还举行打9折促销活动，顾客只能在两项促销活动中任选一项参与假若你购买了价值1200元的商品，那么你选择参与哪一项活动对你有利？ 【解答】解：（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，
则在1次摸奖中，获得二等奖的概率P （A ）=
C 32C 21C 31
+C 31C 21C 2
2
C 52C 5
2
=
625
．
（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B ， 则获得一等奖的概率为P 1=
C 32C 22
C 52C 5
2=3
100， 获得三等奖的概率为P 3=
C 32C 32
+C 31C 21C 21C 31
+C 22C 2
2
C 52C 5
2
=23
50．
所以P（B）=
3
100
+625+2350=73
100．
由题意，3人参与摸奖，相当于独立重复实验3次，随机变量X～B（3，73
100
），
所以P（X＝i）=C3i(73
100)i(1−73
100
)3−i，i＝0，1，2，3．
获奖人数X的数学期望EX＝3×73
100
=219
100．
（3）参与有奖促销活动获得的奖金数Y的所有可能取值为300，200，100，0，
由（2）知，P（Y＝300）=
3
100，
P（Y＝200）=
6
25，
P（Y＝100）=
23
50，
P（Y＝0）=
27
100，
所以Y的分布列是
Y3002001000
P3
1006
25
23
50
27
100
所以参与有奖促销活动获得的奖金数的期望为：
EY=300×3
100+200×625+100×2350+0×27
100
=103，
参与打9折促销活动，获得的返还金额为1200×10
100
=120元＞103元；
所以应选择参与打9折促销活动有利．
22．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣a（其中e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞x﹣a恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N*，证明：（1
n ）n+（
2
n
）n+（
3
n
）n+…+（
n
n
）n＜
e
e−1．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝e x﹣ax﹣a，所以f′（x）＝e x﹣a；
①当a ≤0时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增； ②当a ＞0时，令f ′（x ）＞0，得e x ＞0，解得x ＞lna ， 令f ′（x ）＜0，得e x ＜0，解得x ＜lna ，
所以函数f （x ）在（﹣∞，lna ）上单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增； （Ⅱ）对任意x ∈（0，2]，不等式f （x ）＞x ﹣a 恒成立， 即（a +1）x ＜e x 恒成立，
即当x ∈（0，2]时，a ＜e
x
x
−1恒成立，
令g （x ）=
e x
x
−1，x ∈（0，2]， 则g ′（x ）=(x−1)e x
x
2
； 所以当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0， x ∈（1，2）]时，g ′（x ）＞0，
所以g （x ）在区间（0，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增； 所以x ＝1时，函数g （x ）取得最小值为e ﹣1， 所以实数a 的取值范围是（﹣∞，e ﹣1）；
（Ⅲ）证明：在（Ⅰ）中，令a ＝1可知对任意实数x ，都有e x ﹣x ﹣1≥0， 即x +1≤e x ，当且仅当x ＝0时“＝”成立；
令x +1=k
n ，k ＝1，2，3，…，n ∈N *，
则
k n
＜e k n −1，
即(k
n
)n ＜e k ﹣n =e k
e
n ，
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。

--培根
21 / 21 所以（1n ）n +（2n ）n +（3n ）n +…+（n n ）n ＜1e n （e 1+e 2+e 3+…+e n ）=e(e n −1)(e−1)e n ＜e e−1．。