高一数学下学期期末考试试题文含解析试题_1

舒城县2021-2021学年高一数学下学期期末考试试题 文〔含解析〕
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上 1.以下平面图形中，通过围绕定直线l 旋转可得到如下图几何体的是( )
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】
A.是一个圆锥以及一个圆柱; C.是两个圆锥; D. 一个圆锥以及一个圆柱;所以选
B.
{}n a 中，11n
n n
a a a +=
+，11a =，那么4a =( )． A.
13 B.
14
C.
15
D.
16
【答案】B 【解析】
【分析】
通过取倒数的方式可知数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，利用等差数列通项公式求得4
1a ，进而得到结果.
【详解】由11n n n a a a +=
+得：111
11n n n n a a a a ++==+，即
111
1n n
a a
∴数列1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
是以111a 为首项，1为公差的等差数列
()4114114a ∴
=+-⨯= 414
a ∴= 此题正确选项：B
【点睛】此题考察利用递推关系式求解数列中的项的问题，关键是可以根据递推关系式的形式，确定采用倒数法得到等差数列.
ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，假设1,45a b B ===︒，那么角A =〔 〕
A. 30︒
B. 60︒
C. 30150︒︒或
D. 60120︒︒或
【答案】A 【解析】 【分析】
由正弦定理可解得sin 1
sin 2
a B A
b ==，利用大边对大角可得范围()0,45A ∈︒，从而解得A 的值．
【详解】
1,45a b B ===︒，
∴
由正弦定理可得：
1sin 1sin 2a B
A b
=
==，
1a b =<=045A ︒<<︒，
∴解得：30A =︒．
应选：A ．
【点睛】此题主要考察了正弦定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质等知识的应用，解题时要注意分析角的范围．
4.a ，b ，c ，d ∈R ，那么以下不等式中恒成立的是〔 〕 A. 假设a ＞b ，c ＞d ，那么ac ＞bd B. 假设a ＞b ，那么22ac bc > C. 假设a ＞b ＞0，那么〔a ﹣b 〕c ＞0
D. 假设a ＞b ，那么a ﹣c ＞b ﹣c
【答案】D 【解析】 【分析】
根据不等式的性质判断．
【详解】当0,0c b <>时，A 不成立；当0c 时，B 不成立；当0c ≤时，C 不成立；由不等式的性质
知D 成立． 应选D ．
【点睛】此题考察不等式的性质，不等式的性质中，不等式两边乘以同一个正数，不等式号方向不变，两边乘以同一个负数，不等式号方向改变，这个性质容易出现错误：一是不区分所乘数的正负，二是不区分是否为0．
5.S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2+a 4+a 6＝12，那么S 7＝〔 〕 A. 20 B. 28
C. 36
D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】
由等差数列的性质计算．
【详解】由题意2464312a a a a ++==，44a =，∴74728S a ==． 应选B ．
【点睛】此题考察等差数列的性质，灵敏运用等差数列的性质可以很快速地求解等差数列的问题． 在等差数列{}n a 中，正整数,,,m n l k 满足m n k l +=+，那么m n k l a a a a +=+，特别地假设2m n k +=，那么2m n k a a a +=；21(21)n n S n a -=-．
,x y 满足约束条件10
60x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩
，那么2z x y =+的最大值为〔 〕 A. 9 B. 7
C. 6
D. 3
【答案】A 【解析】
由约束条件10
060
x x y x y -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
作出可行域如图，联立060x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得()3,3A ，化目的函数2z x y
=+为2y x z =-+，由图可知，当直线2y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为9，应选A.
【方法点晴】此题主要考察线性规划中利用可行域求目的函数的最值，属简单题.求目的函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔1〕作出可行域〔一定要注意是实线还是虚线〕；〔2〕找到目的函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目的函数，最先通过或者最后通过的顶点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目的函数求出最值.
7.在△ABC 中，假设a sin A +b sin B ＜c sin C ，那么△ABC 是〔 〕 A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 都有可能
【答案】A 【解析】 【分析】
由正弦定理化条件为边的关系，然后由余弦定理可判断角的大小．
【详解】∵a sin A +b sin B ＜c sin C ，∴2
2
2
a b c +<，∴222
cos 02a b c C ab
+-=<，∴C 为钝角．
应选A ．
【点睛】此题考察正弦定理与余弦定理，考察三角形形状的判断，属于根底题．
8.等比数列{a n }中，a 3•a 13＝20，a 6＝4，那么a 10的值是〔 〕 A. 16 B. 14 C. 6 D. 5
【答案】D 【解析】 【分析】
用等比数列的性质求解．
【详解】∵{}n a 是等比数列，∴31361020a a a a ==， ∴1020
54
a ==． 应选D ．
【点睛】此题考察等比数列的性质，灵敏运用等比数列的性质可以很快速地求解等比数列的问题． 在等比数列{}n a 中，正整数,,,m n l k 满足m n k l +=+，那么m n k l a a a a =，特别地假设2m n k +=，
那么2
m n k a a a =．
9.在△ABC 中，三个顶点分别为A 〔2，4〕，B 〔﹣1，2〕，C 〔1，0〕，点P 〔x ，y 〕在△ABC 的内部及其边界上运动，那么y ﹣x 的最小值是〔 〕 A. ﹣3 B. ﹣1
C. 1
D. 3
【答案】B 【解析】 【分析】
根据线性规划的知识求解．
【详解】根据线性规划知识，y x -的最小值一定在ABC ∆的三顶点中的某一个处获得，分别代入,,A B C 的坐标可得y x -的最小值是011-=-． 应选B ．
【点睛】此题考察简单的线性规划问题，属于根底题．
10.设a ＞0，b ＞03a 和3b 的等比中项，那么
14
a b
+的最小值为〔 〕
A. 6
B.
C. 8
D. 9
【答案】A 【解析】
试题分析： 由题意a ＞0，b ＞0，3a 和3b
的等比中项，即
2
33331a b a b a b +=⋅⇒=⇒=+，
那么141441(+b)=1+126b a a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫
+⋅=+⋅++≥+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当且仅当4b a a b =时，即2b a =时取等号．
考点：重要不等式，等比中项
{}n a 的前n 项和为n S ，满足2=31n n S a -，那么通项公式n a 等于( )．
A. 12n n
a
B. 2n
n a =
C. 13-=n n a
D. 3n
n a =
【答案】C 【解析】 【分析】
代入1n =求得1a ；根据1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而利用等比数列通项公式求得结果.
【详解】当1n =时，11231S a =- 11a ∴= 当2n ≥且*n N ∈时，11231n n S a --=-
那么111222313133n n n n n n n S S a a a a a ----==--+=-，即13n n a a -=
∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列 13n n a -∴=
此题正确选项：C
【点睛】此题考察数列通项公式的求解，关键是可以利用1n n n a S S -=-得到数列{}n a 为等比数列，属于常规题型.
x 2+ax +4＞0对任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围为〔 〕
A. 〔﹣4，4〕
B. 〔﹣∞，﹣4〕∪〔4，+∞〕
C. 〔﹣∞，+∞〕
D. ∅
【答案】A 【解析】 【分析】
根据二次函数的性质求解．
【详解】不等式x 2
+ax +4＞0对任意实数x 恒成立，那么2160a ∆=-<，∴44a -<<．
应选A ．
【点睛】此题考察一元二次不等式恒成立问题，解题时可借助二次函数的图象求解．
13.一个几何体的三视图如下图〔单位:m 〕,那么该几何体的体积为 3m .
【答案】
8π3
【解析】
该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为
318π2π1π2(m )33
⨯⨯⨯+⨯=.
考点：此题主要考察三视图及几何体体积的计算.
14.在明朝程大位?算术统宗?中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，一共灯三百八十一，请问尖头几盏灯〞.这首古诗描绘的这个宝塔古称浮屠，此题说“宝塔一一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，一共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？〞根据上述条件，从上往下数第二层有___________盏灯． 【答案】6. 【解析】
【分析】
根据题意可将问题转化为等比数列中，7S 和q ，求解2a 的问题；利用等比数列前n 项和公式可求得1a ，利用21a a q =求得结果.
【详解】由题意可知，每层悬挂的红灯数成等比数列，设为{}n a 设第7层悬挂红灯数为1a ，向下依次为237,,,a a a ⋅⋅⋅ 7381S ∴=且2q
()7171238112
a S -∴=
=- 13a ∴= 21326a a q ∴==⨯=
即从上往下数第二层有6盏灯 此题正确结果；6
【点睛】此题考察利用等比数列前n 项和求解根本量的问题，属于根底题.
15.在锐角△ABC 中，BC ＝2，sin B +sin C ＝2sin A ，那么AB +AC ＝_____ 【答案】4 【解析】 【分析】
由正弦定理化等式为边的关系，可得结论．
【详解】∵sin B +sin C ＝2sin A ，由正弦定理得2b c a +=，即24AC AB BC +==． 故答案为4．
【点睛】此题考察正弦定理，解题时利用正弦定理进展边角关系的转化即可．
16.给出以下语句： ①假设,a b 为正实数，a
b ，那么3322a b a b ab +>+；
②假设,a m 为正实数，a b <，那么a m a
b m b
+<+； ③假设
22
a b c c >，那么a b >；
④当(0,
)2
x π
∈时，2
sin sin x x
+
的最小值为___________． 【答案】①③.
【解析】 【分析】
利用作差法可判断出①正确；通过反例可排除②；根据不等式的性质可知③正确；根据x 的范围可求得
sin x 的范围，根据对号函数图象可知④错误.
【详解】①()()()()()()2
3
3
2
2
2
222a b a b ab a
a b b b a a b a b a b a b +--=-+-=--=-+
a b ≠，,a b 为正实数 ()2
0a b ∴->，0a b +>
33220a b a b ab ∴+-->，即3322a b a b ab +>+，可知①正确；
②假设1a =，2b =，1m =，那么2132a m a
b m b +=>=+，可知②错误； ③假设22a b
c c
>，可知20c >，那么2222a b c c c c ⋅>⋅，即a b >，可知③正确；
④当0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()sin 0,1x ∈，由对号函数图象可知：()2
sin 3,sin x x
+
∈+∞，可知④错误. 此题正确结果：①③
【点睛】此题考察不等式性质的应用、作差法比拟大小问题、利用对号函数求解最值的问题，属于常规题型.
17.某几何体的俯视图是如下图的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S . 【答案】〔1〕64；〔2〕88242+
【解析】
此题考察由三视图求几何体的外表积和体积，考察由三视图复原几何图形的直观图，考察线面垂直的应用，此题是一个简单的综合题目．
〔I 〕根据正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形得到该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为1的正方形，高为3，做出体积
〔Ⅱ〕由第一问看出的几何体，知道该四棱锥中，A 1D⊥面ABCD ，CD⊥面BCC 1B 1，得到侧棱长，表示出几何体的侧面积，得到结果．
解：〔1〕
3分 〔2〕3分
注：假设写出次几何体的特征但体积、外表积求错给2分
18.设递增等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝1，a 4是a 3和a 7的等比中项，
〔1〕求数列{a n }的通项公式；
〔2〕求数列{a n }的前n 项和S n ．
【答案】〔1〕a n ＝2n ﹣5；〔2〕24n S n n =-.
【解析】
【分析】
〔1〕用首项1a 和公差d 表示出关系，求出1,a d ，可得通项公式；
〔2〕由等差数列前n 项和公式得结论．
【详解】〔1〕在递增等差数列{a n }中，设公差为d ＞0，
∵24373
1a a a a ⎧=⨯⎨=⎩， ∴()()211131621
a d a d a d ⎧+=⨯+⎪⎨+=⎪⎩，
解得132
a d =-⎧⎨=⎩． ∴a n ＝﹣3+〔n ﹣1〕×2＝2n ﹣5．
〔2〕由〔1〕知，()232542
n n n S n n -+-==-． 【点睛】此题考察等差数列的通项公式和前n 项和公式，解题方法是根本量法．
ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c .ABC ∆面积120,ABC S A ∆==︒
〔1〕假设2,c =求b 的值；
〔2〕假设b c +=a 的值.
【答案】〔1〕2b =；〔2〕a =
【解析】
【分析】
〔1〕利用三角形面积公式可构造关于b 的方程，解方程求得结果；〔2〕利用三角形面积公式求得bc ；利用余弦定理可求解出结果.
【详解】〔1〕由三角形面积公式可知：1sin 2ABC S bc A ∆===2b ∴=
〔2〕113sin sin120224
ABC S bc A bc ∆==== 4bc ∴= 由余弦定理得：()22222cos 22cos12018414a b c bc A b c bc bc =+-=+--=-=
a ∴=【点睛】此题考察余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用问题，考察学生对于公式的掌握情况，属于根底题.
2()28f x x x =--
〔1〕解不等式()0f x ≥；
〔2〕假设对一切0x >，不等式()9f x mx ≥-恒成立，务实数m 的取值范围．
【答案】〔1〕(][),24,-∞-⋃+∞；〔2〕(],0-∞
【解析】
【分析】
〔1〕根据一元二次不等式的求解方法直接求解即可；〔2〕将问题转化为12m x x
≤+-恒成立的问题，通过根本不等式求得12x x +-的最小值，那么min
12m x x ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭. 【详解】〔1〕()()()2
28240f x x x x x =--=+-≥ 2x ∴≤-或者4x ≥ ∴所求不等式解集为：(][),24,-∞-⋃+∞
〔2〕当0x >时，()9f x mx ≥-可化为：22112x x m x x x
-+≤=+-
又12x x +≥=〔当且仅当1x x =，即1x =时取等号〕 min
12220x x ⎛⎫∴+-=-= ⎪⎝⎭ 0m ∴≤ 即m 的取值范围为：(],0-∞
【点睛】此题考察一元二次不等式的求解、恒成立问题的求解问题.解决恒成立问题的关键是通过别离变量的方式，将问题转化为所求参数与函数最值之间的比拟问题.
21.据说伟大的阿基米德逝世后，敌HY 将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如下图的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．
〔1〕试计算出图案中球与圆柱的体积比；
〔2〕假设球半径10r cm =．试计算出图案中圆锥的体积和外表积.
【答案】〔1〕
23；〔2〕圆锥体积320003V cm π=，外表积(210015S cm π= 【解析】
【分析】
〔1〕由球的半径可知圆柱底面半径和高，代入球和圆柱的体积公式求得体积，作比得到结果；〔2〕由球的半径可得圆锥底面半径和高，从而可求解出圆锥母线长，代入圆锥体积和外表积公式可求得结果.
【详解】〔1〕设球的半径为r ，那么圆柱底面半径为r ，高为2r ∴球的体积3143
V r π=；圆柱的体积23222V r r r ππ=⋅= ∴球与圆柱的体积比为：313242323
r V V r ππ== 〔2〕由题意可知：圆锥底面半径为10r cm =，高为220r cm =
∴圆锥的母线长：()2225105l r r r cm =+==
∴圆锥体积：233122*********
V r r cm πππ=⋅=⨯= 圆锥外表积：(22
100100510015S r rl cm πππππ=+=+=+ 【点睛】此题考察空间几何体的外表积和体积求解问题，考察学生对于体积和外表积公式的掌握，属于根底题.
{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，*n N ∈.
〔1〕求证数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
〔2〕设()221log 1n n b a +=+，数列11n n b b +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证：11156n T ≤< 【答案】〔1〕证明见解析，()*21n n a n N
=-∈；
〔2〕见解析. 【解析】
【分析】 〔1〕根据递推关系式可整理出1121
n n a a ++=+，从而可证得结论；利用等比数列通项公式首先求解出1n a +，再整理出n a ；〔2〕根据n a 可求得n b ，从而得到11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的通项公式，利用裂项相消法求得n T ，从而使问题得证.
【详解】〔1〕由121n n a a +=+得：()1121n n a a ++=+ 即1121
n n a a ++=+，且112a += ∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列
11222n n n a -∴+=⨯=
∴数列{}n a 的通项公式为：()*21n n a n N =-∈
〔2〕由〔1〕得：()()212212log 1log 21121n n n b a n ++=+=-+=+
()()111111212322123n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++++⎝⎭ ()*1111111235572111646
23n n n T n N n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎣-+⎭∴=∈⎦ 又1104610n <
≤+ 1101046n ∴-≤-<+ 1111156466
n ∴≤-<+ 即：11156n T ≤< 【点睛】此题考察利用递推关系式证明等比数列、求解等比数列通项公式、裂项相消法求解数列前n 项和的问题，属于常规题型.
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。