山东省济宁市英才学校高三数学理下学期期末试题含解析

山东省济宁市英才学校高三数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合A=｛1，2｝，B=｛，｝，若A∩B=｛｝，则A∪B为（）
A．｛-1，，1｝ B. ｛-1，｝
C．｛1，｝ D. ｛，1，｝
参考答案：
A
2. 设，则
A．0 B．1 C．D．3
参考答案：
B
3. 若函数满足：存在非零常数，则称为“准奇函数”，下列函数中是“准奇函数”的是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
4. 某几何体的三视图如右图,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积为（）
A.12
B.
C.
D.
参考答案：D
5. 已知的值（）
A．B．﹣C．﹣D．
参考答案：
D
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】利用诱导公式化简已知条件，结合同角三角函数基本关系式，求解即可．
【解答】解：由cos（α﹣9π）=﹣cosα=﹣，∴cosα=，∵α∈（π，2π），∴sinα=﹣=
cos（）=﹣sinα=．
故选：D．
6. 已知不等式的解集为，点在直线上，其中，则的最小值为
(A) (B)8 (C)9 (D) 12
参考答案：
D
略
7. 数列满足，，记数列前n项的和为S n，若对任意的
恒成立，则正整数的最小值为（）
A．10 B．9 C．8 D．7
参考答案：
A
8. 已知函数
的最小正周期为，为了得到函数
的图象，只要将
的图象 ( )
A ．向左平移个单位长度
B ．向右平移个单位长度
C ．向左平移
个单位长度 D ．向右平移
个单位长度
参考答案：
A
9. 已知函数，
.若关于的方程
有两个不相等的实根，则实数
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
参考答案：
A 略
10. 不等式所表示的平面区域的面积等于 （ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
参考答案： C 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若命题“
”是真命题，则实数的取值范围是。

参考答案：
12. △ABC 中，∠C=90°，且CA=3，点M 满足
=2
，则
?
= ．
参考答案：
6
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】先画出图形，结合条件及图形即可得出
，然后进行数量积的运算即可求出
的值．
【解答】解：如图，
=
= =
；
∴
=
=6．
故答案为：6．
13. .对于三次函数
，定义是函数的导函数。

若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”。

有同学发现：任何一个
三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心。

根据这一发现，对于函数
，则
…的值为 .
参考答案：
3018略
14. 若x，y满足条件，且，则z的最大值为
．
参考答案：
7
由题,画出可行域为如图区域，
，当在处时，,故答案为7.
15. 函数的单调递减区间是__________.
参考答案：
（0，+∞）
略
16. 若点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x ＋5)2＋y2＝1上，则 | PQ |－| PR | 的最大值是．
参考答案：
10
17. 在中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知
，则__________.
参考答案：
4
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18.
已知数列的前n项和满足，且
（1）求；
（2）求的通项公式；
（3）令，问数列的前多少项的和最大？
参考答案：
解析：（1），（4分）
（2）当时，
=
由此得，公差为2的等差数列，故（8分）
（3）由于，故当n=10时，最大（12分）
19. 已知函数（其中为常量，且）的图象经过点A（1，6）、B （3，24）。

（1）试确定的解析式；
（2）若不等式时恒成立，求实数的取值范围。

参考答案：
20. 设函数f（x）=x﹣a（x+1）ln（x+1），（x＞﹣1，a≥0）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=t在上有两个实数解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m．
参考答案：
【考点】不等式的证明；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求导数，再利用导数大于0，求函数的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在
上单调递增，在[0，1]上单调递减可得解（Ⅲ）根据要证明的结论，利用分析法来证明本题，从结论入手，要证结论只要证明后面这个式子成立，两边取对数，构造函数，问题转化为只要证明函数在一个范围上成立，利用导数证明函数的性质．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=1﹣aln（x+1）﹣a
①a=0时，f′（x）＞0∴f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数…
②当a＞0时，f（x）在上递增，在单调递减．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，在[0，1]上单调递减
又∴
∴当时，方程f（x）=t有两解…
（Ⅲ）要证：（1+m）n＜（1+n）m只需证nln（1+m）＜mln（1+n），
只需证：
设，则…
由（Ⅰ）知x﹣（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）单调递减…
∴x﹣（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，而m＞n
∴g（m）＜g（n），故原不等式成立．…
21. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为（1，0），离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（0，3）的直线m与C交于A、B两点，若A是PB的中点，求直线m的方程．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意可知：c=1，由椭圆的离心率e==，则a=2，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）由设其方程为y=kx+3，A是PB的中点，x1=，①y1=，②代入椭圆方程，即可求得B点
坐标，求得直线m的斜率为﹣或，求得直线m的方程，直线m的斜率不存在，则可得A点的坐标为（0，），B点的坐标为（0，﹣），显然不存在．
【解答】解：（1）椭圆C： +=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，右焦点为（1，0），则c=1，
由椭圆的离心率e==，则a=2，b 2=a 2﹣c 2=3，
∴椭圆C 的标准方程为；…（4分）
（2）若直线m 的斜率存在，设其方程为y=kx+3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
∵A 是PB 的中点，x 1=，①y 1=，②
又，③
，④…（7分）
联立①，②，③，④解得或，
即点B 的坐标为（2，0）或（﹣2，0）， ∴直线m 的斜率为﹣或，
则直线m 的方程为y=﹣x+3或y=x+3．…（10分） 若直线m 的斜率不存在，则可得A 点的坐标为（0，），B 点的坐标为（0，﹣
），
显然不满足条件，故此时方程不存在．…（12分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，考查韦达定理，中点坐标公式的应用，属于中档题． 22. （本小题满分13分）如图，在锐角三角形
中，
，点
在
边上，且
，
．
求角的大小；
若
，求边
的长．
参考答案：。