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高三数学全国统一标准测试
命题范围：第九章 直线、平面、简单几何体 第十章 排列、组合与排率 一、选择题
1．若a 1(x －1)4+a 2(x －1)3+a 3(x －1)2+a 4(x －1)+a 5=x 4，则a 2+a 4等于 A.14 B.12 C.10 D.8 2．设正四棱锥底面边长为3，体积为
32
9
，则它的侧面与底面所成角的大小为 A.75° B.30° C.45° D.60° 3．在下列命题中，真命题是
A.若直线m ，n 都平行于平面α，则m ∥n
B.设α－l －β是直二面角，若直线m ⊥n , m ⊥β，则n ⊥α
C.若直线m ，n 在α内的射影依次是一个点和一条直线，且m ⊥n ，则n 在α内或n 与α平行
D.设m ，n 是异面直线，若m 平行于平面α，则n 必与α相交
4．已知圆锥的侧面展开图扇形圆心角为180°，则这个圆锥的轴截面顶角为 A.45° B.120° C.60° D.90° 5．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 A.12对 B.24对 C.36对 D.48对
6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为
棱A 1B 1上任一点，则直线OP 与直线AM 所成角为
A.
2π B.3π C. 6π
D.4
π 7．把英语单词“error ”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误种数是 A.20 B.19 C.10 D.9
8．中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自四个单位，分别在图中四个区域内坐定.有4种不同种颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同
的着色方法共有_________种
A.24
B.36
C.48
D.84
9．对于不共面的三个向量a ，b ，c ，下列命题正确的是
A.（a ·b ）2·c =（a 2·b 2）·c
B.总可以找到两个实数λ、μ，使c =λa +μb
C.这三个向量不能相加
D.对空间任意向量d ，存在有序实数组x 1、x 2、x 3、x 4，使x 1d =x 2a +x 3b +x 4c ，其中x 1 不等于零
10．在有太阳的时候，一个大球放在地面上，球的影子伸到距球与地面的接触点10米处，同一时刻，一根长1米，一端接触地面而垂直于地面的尺子的影子长度是2米，则球的半径是
A.2.5米
B.105－20米
C.6－15米
D.9－45米
11．某体育彩票规定：从01~36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01~10的10个号中选3个连续的号，从11~20中选2个连续的号，从21~30中选1个号，从31~36中选1个号组成一注，则此人要把满足这种要求的号买全，至少要花
A.3366元
B.6720元
C.4320元
D.8640元
12． 如图，在一个倒置的正三棱锥容器中，放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是
二、填空题（本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.） 13.某学生从六门学科A 、B 、C 、D 、E 、F 中选学两门，但A 与B ，C 与D 由于时间冲突不能同时选学，则学生可能有的选法有______种.
14．若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是______.(只要写出一个可能的值) 15.太阳光线照于地面，与地面成角α(0＜α＜2
),当长度是定值a 的木棍与地面所成角为______时，木棍在地面上的射影最长. 16．甲射击命中目标的概率是21，乙射击命中目标的概率是3
1
，丙射击命中目标的概率是
4
1
，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为______.
三、解答题(本大题共6小题；共74分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．（本小题满分12分）
已知整式函数f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m，n∈N*)的展开式为f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a m x m,已知a1=17.
(1)求f(x)中x2项系数的最小值；
(2)求a5；
(3)求f(x)中所有x的指数是奇数的项的系数和.
18．（本小题满分12分）
从三棱锥P－ABC（如图1）的顶点沿着三条侧棱P A,PB,PC剪开，成平面图形，得到△P1P2P3（如图2），且P1P2=P2P3；
图1 图2
（1）在棱锥P－ABC中，求证：P A⊥BC；
（2）P1P2=26，P1P3=20，求三棱锥的体积.
19.（本小题满分12分）
用1，2，3，4，5这五个数组成无重复数字的五位数，按由小到大的顺序排列.
（1）32154是第几个数？
（2）第20个数是几？ 20．（本小题满分12分）
有一问题，在半小时内，甲能解决它的概率是0.5，乙能解决它的概率是
3
1
，如果两人都试图独立地在半小时内解决它，计算：
（1）两人都未解决的概率； （2）问题得到解决的概率.
21.(本小题满分12分)
已知长方体AC 1中，棱AB ＝BC ＝3，棱BB 1＝4，连结B 1C ，过B 点作B 1C 的垂线交
CC 1于E ，交B 1C 于F .
(Ⅰ)求证A 1C ⊥平面EBD ；
(Ⅱ)求ED 与平面A 1B 1C 所成角的大小； (Ⅲ)求棱锥C －BDE 的体积.
参 考 答 案
一、1.D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.B 8.D 9.D 10.B 11.D 12.B
二、13.13 14.
611或1214或1211 15.2
π－α 16.43 三、17.解：（1）1
1C C n m +=17,∴m +n =17
2分
x 2的系数为：
)272342(2
1
)(212)1(2)1(C C 2222
2+-=--+=-+-=
+m m n m n m n n m m n m =m 2－17m +136=(m －2
17)2
+6343
∴m =8或m =9时，x 2项的系数最小，最小值为64.
6分 （2）当m =8时n =9;当m =9时n =8,∴a 5=5
958C C + =182
8分
（3）f (x )=(1+x )8+(1+x )9
∴所有项的系数和为f (1)=28+29=768; 10分
又f (－1)=0,∴f (x )中所有x 的指数是奇数的项的系数和为：
2
1
f (1)=384 12分
18.解：（1）由展开过程可知，图2中A 、B 、C 分别是边P 1P 3、P 1P 2、P 2P 3的中点，又P 1P 2=P 2P 3，故AB =A C. 2分
在图1中，取BC 中点H ，连AH 、PH ， ∵AH ⊥BC ，PH ⊥BC ， 5分 ∴BC ⊥面P AH ，即得P A ⊥B C. 7分 （2）由（1）知BC ⊥面P AH ，在图1中可知，PB =PC =AB =AC =13，BC =10，PH =HA =12，
S △P AH =5119，
10分 ∴V =
31S △P AH ·BC =1193
50
.
12分 19.解：(1)1或2排在万位的五位数比32154小，有24
4P =48个； 2分 3排在万位，1排在千位的五位数比32154小，共有3
3P =6个；
4分
3、2、1依次排在前三位的有两个32145，32154；故有55个比32154小，所以32154
是第56个. 6分
(2) 1排在万位的五位数有4
4P =24，故第20个数的万位必是1； 8分 1排在万位，2、3、4分别排在千位的五位数共有33
3P =18个； 10分 因此第19个数为15234，第20个数为15243.
12分
20.解：（1）设在半小时内甲能解决该问题是事件A ，乙能解决该问题是事件B ，那么两人都未解决该问题就是事件A ·B ，
3分
由于两人是相互独立的求解的，我们得到
P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=［1－P （A ）］［1－P （B ）］=（1－21）（1－3
1
） =
3
1
.
8分
(2)“问题得到解决”这一事件的概率为： 1－P （A ·B ）=1－
31=3
2. 12分
21.解：(Ⅰ)连结AC ，则AC ⊥BD ，又AC 是A 1C 在平面ABCD 内的射影 ∴A 1C ⊥BD ；
又∵A 1B 1⊥面B 1C 1CB ，且A 1C 在平面B 1C 1CB 内的射影B 1C ⊥BE ， ∴A 1C ⊥BE ，又∵BD ∩BE =B ∴A 1C ⊥面EB D. 4分
(Ⅱ)连结DF ，A 1D ，∵EF ⊥B 1C ，EF ⊥A 1C ， ∴EF ⊥面A 1B 1C ，
∴∠EDF 即为ED 与平面A 1B 1C 所成的角. 6分
由条件AB =BC =3，BB 1=4，可知B 1C =5，BF =
512，B 1F =516，CF =5
9
，EF =F B FC 1·BF
=
2027，EC =F B FC 1·BB 1=4
9
∴ED =4
15
2
2
=+CD EC ∴sin EDF =
25
9
=
ED EF ， ∴ED 与平面A 1B 1C 所成角为arcsin 25
9
9分 （Ⅲ）V 棱锥C －BDE =V 锥E －BCD =
31S △BCD ·EC =31×21×3×3×49=8
27.
12分
22.解：（1）以C 为原点CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z
轴，建立空间直角坐标系O －xyz . 2分
则B (0，1，0)，N (1,0,1)， 4分
可求得|BN |=3；
6分
（2）由A 1（1，0，2）、B (0，1，0)、C (0，0，0)、B 1(0，1，2)， 得1BA =（1，－1，2），1CB =（0，1，2），
8分
从而得cos<11,CB BA 10
30
5
631111=
⋅=
； 10分
（3）又C 1(0，0，2)、M (0.5，0.5，2),
得B A 1=（－1，1，－2），M C 1 =（0.5，0.5，0）
12分
所以A 1·C 1=－0.5+0.5+0=0, 所以A 1⊥C 1.
14分。