八年级上册数学第十二章全等三角形解答题 专题训练 9916含解析.docx

第十二章《全等三角形》解答题专题训练⑼
一、解答题
1.如图，已知:AB丄BD,ED丄BD,AB=CD,BC=DE,那么AC与CE有什么位置关系？
解:因为AB丄BD,ED丄BD(己知)，
所以ZABC=Z CDE=90°( _________________ ).
在AABC与ACDE中，
AB = CD (已知)，
< ZABC = ZCDE( ________ ),
BC = DE (已知)，
所以△ABC^A CDE( ___________ ),
所以ZA=Z ECD( ____________________ ).
因为ZA+ZACB=90°( _________________ ),
所以Z ECD+ZACB=90°( _____________ ),
所以ZACE=90°,
故AC±CE.
2.女口图，点E、C 在BF 上,BE=CF, AB^DE, ZB=ZDEF.求证：AC=DF, AC//DF.
B E
C F
3.在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED = EC.
（1）（观察猜想）当点E在AB的中点时，如图1,过点E作EF〃BC,交AC于点F,观察猜想得到线段AE与DB的大小关系是____________ ；
⑵（探究证明）当点E不是AB的中点时，如图2,上述结论是否成立，如果成立，请写出解答过程，如果不成立，请说明理由；
⑶（拓展延伸）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED = EC,若AABC的边长为2, AE = 1,求CD的长（请直接写出结果）.
4.如图，△ABC 和ADBE 均为等腰直角三角形，且点B
为直角顶点.求证：AD = EC. 5.已知：正方形ABCD,上财F = 45°, AH 丄EF.求证：AD = AH.
6.如图，ZACB = 90°, AC=BC, AD 丄CE 于 D, BE 丄CE 于 E, AD = 25m, DE=17m.求 BE 的长.
7.如图，点E 、点F 在BD 上，且= BF = DE> AE = CF,求证:
AB//CD.
D
E,
图
2 R
C
8.如图，已矢□ DA±AC, EC±AC,点 B 在AC 上，且DB丄EB, AD=CB.求证：EB=BD.
9.如图，在等腰直角三角形ABC中，ZABC=90° , D为AC边中点，过D点作DEXDF, 交AB于E,交BC于F,连接BD.
⑴求证：△CDF9ZXBED
10.如图所示，D、E分别为AABC的边AB、AC上点，回BE与CD相交于点O.现有四个条件：
①AB=AC；②OB=OC；③ZABE=ZACD；④BE=CD.
（1）请你选出两个条件作为题设，余下作结论，写一个正确的命题：命题的条件是
______ 和______ ,命题的结论是_______ 和_________ （均填序号）
（2）证明你写的命题.
11.已知：如图，AC 平分ZBAD, CE丄AB 于E, CFXAD 于F,且BC = DC.
（1）BE与DF是否相等？请说明理由；
12.如图，点A、D、C、F 在同一直线上，AB〃EE, AB=EF, AD=CF.
求证：AABC竺AFED
13.如图，已知Zl, Z2,用圆规和直尺画Z3,使Z3 = 2Z1-Z2（不写作法，保留作图痕迹）.
14. 如图，是AABC中ZS4C的平分线，DE丄AB交AB于点E, DF丄AC^AC 于点 F.若S MBC = 7 , DE = 2, AB = 4,求AC的长.
R2<kc
D
15. 如图，已知AC 平分ZBAD, CF±AD 于F, CE±AB 于E, DC = BC.求证：
16.已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G, AB±BE,垂足为B,
DE±BE,垂足为E,且AC=DF, BF=CE.求证：ZA=ZD.
17.证明命题"全等三角形对应边上的高相等” •（请根据命题画出正确的图形，写出已知条件与结论并进行证明）
18.如图，AD为ZkABC中ZBAC的平分线，且BD=DC,求证:AB=AC.
⑴试说明CD是ACBE的角平分线;
（2）和ZB相等的角是_____
20.（问题探索）如图1,在RtAABC中，ZACB=90°, AC=BC,点D、E分别在AC、BC边上，DC=EC,连接DE、AE、BD,点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN.探索BE与MN
的数量关系.聪明的小华推理发现PM与PN的关系为
__________________________________ 最后推理得到BE与MN的数量关系为（深入探究）将ADEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的BE与MN的数量关系是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（解决问题）若CB=8, CE=2,在将图1中的ADEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当
【答案与解析】
一、解答题
1. 垂直的定义；已证;SAS;全等三角形对应角相等;直角三角形中两锐角互余;等量代换.
【分析】根据SAS证AABC^ACDE,推出ZA=ZECD,推出ZACB+ZECD=90°,求出ZACE=90°即可.【详解】因为ABXBD, ED丄BD（已知），
所以ZABC=ZCDE=90。

（垂直的定义）,
在AABC与ACDE中，
'= （已知），
< ZABC = ZCDE（已证）
BC = DE（已知），
所以△ ABC 竺△CDE（SAS）,
所以ZA=ZECD （全等三角形对应角相等），
因为ZA+ZACB=90°（直角三角形两锐角互余），
所以ZECD+ZACB=90°（等量代换），
所以ZACE=90°,
故AC丄CE,
故答案为：垂直的定义；己证；SAS；全等三角形对应角相等；直角三角形中两锐角互余; 等量代换.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，求出ZA=ZECD是解题的关键.
2. 见解析.
根据题意可以证得△ABC竺△DEF,从而可以解答本题.
证明:TBEhCF,
:.BE+EC=CF+EC,
:.BC=EF,
在厶ABC和中，
AB = DE
<ZB=ZDEF
BC = EF
.'.△ABC竺ADEF (SAS),
:.AC^DF, ZACB=/DFE,
:.AC//DF.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的性质解答.
3 .⑴AE = DB； (2)AE = DB,理由见解析；(3)CD线段的长度是3或1.
(1) 根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出ZD=ZECB = 30。

,求出ZDEB = 30。

, 求出BD=BE即可；
(2) 过E作EF〃BC交AC于F,求出等边三角形AEF,证ADEB和AECF全等，求出BD=EF 即可；
(3) 根据(2)的结论计算即可.
⑴如图1, •.'△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，
.•.CE 平分ZACB, CE丄AB,
.•.ZACB = 60°, ZBEC = 90°, AE = BE,
又VED = EC,
/.ZD = ZECB = 30°,
A Z DEC = 120°,
A Z DE
B = 120° - 90° = 30°,
.•.ZD=ZDEB = 30°,
.・.BD = BE=AE,即AE=DB.
故答案为：AE = DB.
(2)如图2,当点E为AB上任意一点时，AE = DB.理由如下：
如图2,过E作EF〃BC交AC于F,
「△ABC是等边三角形，
.•.ZABC=ZACB=ZA=60°, AB = AC=BC,
.・.ZAEF=ZABC = 60°, ZAFE= ZACB = 60°,即ZAEF= ZAFE= ZA=60°,
AAEF是等边三角形，
.•.AE = EF=AF,
ZABC= ZACB=ZAFE = 60°,
.•.ZDBE=ZEFC = 120°, ZD+ZBED= ZFCE+ZECD = 60°,
VDE = EC, /.ZD=ZECD,
.•.ZBED=ZECF,
在ADEB和AECF中，
ZDEB = ZECF
< ZDBE = ZEFC
DE = CE,
A ADEB^AECF(AAS),
.・.BD = EF=AE,即AE = BD,
(3)如图2,当点 E 在线段AB 上时，CD = BC+BD = BC+AE = 2+1 = 3. 当点E不在线段AB±时，CD = BC - AE = 2 - 1 = 1.
【点睛】
本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，解（2）小题的关键是构造全等的三角形后求出BD=EF,解（3）题是利用（2）的结论.
4.见解析.
证明△ ABD^ACBE即可得出AD = CE.
证明：•.'△ABC和ADBE均为等腰直角三角形
.'.AB=BC, BD = BE, ZABC= ZDBE = 90°
A ZABC - ZDBC=ZDBE - ZDBC
即ZABD=ZCBE
在AABD与ACBE中，
BD = BE
< ZABD = ZCBE
AB = BC
/. AABD^ACBE (SAS) /.AD = CE.
【点睛】
本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于基础题
型.
5.见解析.
延长CD 到M,使DM = BE,连接AM,证4ABE^AADM,推出ZDAM = ZBAE, AE =
AM,求出ZFAM = ZEAF,证AEAF竺ZiMAF,推出EF = MF, S A EAF =S A MAF,根据三角形面积公式求出即可.
证明：延长CD到M,使DM = BE,连接AM,
•••四边形ABCD是正方形，
.•.AB = AD, ZB=ZADF=ZADM = ZBAD = 90°,
•.•ZEAF=45°,
.•.ZBAE+ZDAF = 45°,
AB=AD
在AABE 和AADM 中，’上B = ,
BE=DM
.•.△ABE 今△ADM,
AZDAM = ZBAE, AE=AM,
.\ZFAM = ZDAF+ZDAM = ZDAF+ZBAE = 45°=ZEAF,
AE=AM
在AEAF 和AMAF45, ^EAF = ^MAF } AF=AF
.•.AEAF^AMAF,
EF = MF, S AEAF =S AMAF,
1 1
.e.yEFxAH = -MFxAD,
【点睛】
本题考查了对全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解题的关键是证明AABE^AADM 和4EAF^AMAF,主要考查学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度.
6 . BE=8m.
先证明△ ACD^ACBE,再求出EC的长，解决问题.
VBEXCE 于E, ADXCE 于D,
.•.ZE=ZADC=90°,
Z BCE+ZACE = Z DAC+ZACE = 90°,
.\ZBCE=ZDAC,
VAC = BC,
.•.△ACD 竺△CBE(AAS)
.•.CE = AD = 25m, BE = CD
.・.BE = CE - DE = 25 - 17 = &m).
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质是本题的关键.
7 •证明见解析
通过证明今△CDF即可得出ZB = ZD,即可证明AB//CD.
•: BF = DE
BF—EF = DE—EF
即 =
在厶ABE和厶CDF中
AB = CD
< BE = DF
AE = CF
:.AABE处CDF
:.ZB = ZD
:.AB//CD.
【点睛】
本题考查了平行线的判定问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、平行线的性质以及判定定理是解题的关键.
&见解析.
由"AAS"可证△ ABD^ACEB,可得EB=BD.
证明：\'DA±AC, EC丄4C,
Z4=ZC=90°
:.ZD+ZABD=90°,
VDBIEB
ZABD+ZEBC=90°
；.ZD=ZEBC,且ZA=ZC=90°, AD=CB
A ABD^/\CE
B (AAS)
:.EB=BD
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.
9. (1)证明见解析；(2) 7.
(1)由"ZABC=90°, DE丄DF”可以求出ZBDE=ZFDC,由等腰直角三角形，D为AC边的中点，可得ZABD=ZC, BD=DC,从而证得全等；(2)由厶CDF^ABED,可知BE=FC,从而求出AB的长
(1) 证明：•.•三角形ABC是等腰直角三角形，D为AC边的中点，
.・.BD=DC, ZABD=ZC=45° , BDXAC,
.•.ZBDF+ZFDC=90° ,
又VDEXDF
.•.ZBDF+ZBDE=90° ,
.•.ZFDC=ZBDE,
/.ABED^ACFD
(2) •.'△BED竺△CFD.°.BE=FC=3,又AE=4,所以AB=AE+BE=7
【点睛】
本题的关键是利用等腰直角三角形的性质求出对应角相等，从而证得全等
10. (1)条件①、③结论②、④，(2)证明见解析
试题分析：
(1) 选①③作为题设时，可证明②④正确；
(2) 用ASA 证明△ ABE^AACD 可得BE=CD,在厶OBC,证ZOBC=ZOCB 可得0B=0C. 试题解析：(1) VZA=ZA, AB=AC, ZABE=ZACD,
/.AABE^AACD, /.BE=CD.故④正确.
VAB=AC, A ZABC=ZACB.
VZABE=ZACD, A Z0BC=Z0CB,
.•.0B=0C,故②正确.
11. (1) BE = DF,理由见解析；(2) 4.
(1) 由角平分线的性质可得CF = CE,然后可用HL判定RtACDF^RtACBE,所以BE =
DF；
(2) 先证明RtAACE^RtAACF得到AF = AE,然后由线段关系可求出DF.
证明：(1) BE = DF,
理由如下：
VAC 平分ZBAD,
且CE±AB 于E, CFXAD 于F,
.・.CF = CE, ZCFD=ZCEB = 90°,
在RtACDF 和RtACBE 中，
CF = CE
CD = BC
ARtACDF^RtACBE (HL)
.・.BE = DF
(2) VCE = CF, AC=AC,
RtAACE^RtAACF (HL)
/.AF = AE,
TAB = AE+BE = AF+DF = 14①，AD = AF - DF = 6②，
.•.①-②可得DF = 4.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，根据角平分线的性质的到全等条件是解决本题的关键. 12. 证明见解析.
由平行线的性质可得ZA=ZF,根据AD=CF可得AD+CD=CF+CD进而可得AC=DF,利用SAS 即可得到答案.
VAB//EE,
.・.ZA=ZF,
VAD=CF,
.・.AD+CD=CF+CD,即AC=DF,
又VAB=EF,
.'.AABC^AFED.
【点睛】
本题考查平行线的性质及三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS> ASA、AAS、HL.注意：AAA> SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.
13. 见解析
先作ZAOC=Z1,再以0C为一边，在ZAOC的外部作ZCOD=Z1,再以0D为一边，在
ZAOD的内部作ZD0B=Z2,则ZAOB即为所求.
解：如图，ZAOB即为所求.
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.
14 . 3
首先由角平分线的性质可知DF=DE=2,然后由S AABC-S AABD+S AACD及三角形的面积公式即可得出结果.
解：•/ AD是AABC中ZBAC的平分线，
B
于点E, DF丄4C交4C于点F,
DF = DE = 2.
又• 'AABC =^AABD + 'AACD 'AB = 4 >
7 = — x4x2 — x AC x2 ,
2 2
AC = 3.
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，利用三角形的面积求线段的大小是一种很好的方法，要注意掌握应用.
15.见解析
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=CF,利用"HL"即可证明ABCE和ADCF 全等. 解：TAC 平分ZBAD, CEXAB, CF丄AD,
.•.CE=CF （角平分线上的点到角的两边的距离相等）；
在RtABCE 和RtADCF 中，
BC = CD
• CE = CF'
:.RtABCE^RtADCF (HL).
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定.掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)是解题的关键.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.
16. 见解析
试题分析：由条件BF=CE得到BC=EF,再ZB=ZE=90°,然后利用HL证明RtAABC^RtA DEF即可得出结论.
试题解析：TBF=CE
.\BF+FC=CE+FC
.\BC=EF
TAB丄BE, DE丄BE
/.ZB和ZE都是直角
在RtAABC 和RtADEF 中
AC = DF
BC = EF
ARtAABC^RtADEF
ZA=ZD
考点：全等三角形的判定与性质.
17. 见解析.
根据题意写出已知和求证，根据全等三角形的性质可得AB=EF, ZB=ZF,根据高线的定义求出ZADB=ZEHF,证明△ ABD^AEF H 即可.
解：已知：如图，AABC竺ZiEFG, AD、EH分别是AABC和AEFG的对应边BC、FG上的高. 求证：AD=EH.
证明：V AABC^AEFG,
.・.AB=EF, ZB=ZF,
TAD、EH分别是AABC和AEFG的对应边BC、FG ±的高，.•.ZADB=ZEHF=90°,
ZADB = ZEHF
在AABD 和AEFH 中，｛ ZB = ZF
AB = EF
.•.AABD^AEFH (AAS),
.•.AD=EH,
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用判定定理是解题关键.
18.见解析
试题分析：
本题直接证△ ABD^AACD的条件不够，结合已知条件我们过点D作DE丄AB于点E, DF丄AC 于点F,由角平分线的性质可得DE=DF；而由D为BC的中点可得S A ABD=S A ACD,从而可由“面积相等的两个三角形，若高相等，则对应的底相等”得到AB=AC.
试题解析：
过点D分别作DE丄AB于E , DF丄AC于F
VAD是AABC的角平分线，
•.* DE=DF,
•:点D是BC边的中点，
S AABD=S AACD,即一AB' DE= — AC' DF；
2 2
/.AB=AC.
点睛：本题解法很多，可以在本题辅助线的作法下证“两次全等”后“再由等角对等边” 来证明；也可延长中线一倍，构造全等三角形来证明；但这里通过“角平分线的性质”得到DE=DF 后，借助于三角形的中线分三角形成两个面积相等的三角形这一特征来完成证明过程更简单，值得我们借鉴.
19. (1)证明见解析；(2) ZCEB、ZCDF.
（1）根据ZA=30°, ZB=70°,得ZACB=80。

，由角平分线的定义得ZBCE=40，根据三角形的内角和定理得ZBCD=20°,从而得出CD是ABCE的角平分线.
（2）由直角三角形两个锐角互余，得ZB=ZCEB.根据等角的余角相等，得ZB=ZCDF.
解：（1） VZA=30°, ZB=70°,
.：ZACB=80°.
VCE 平分ZACB,
.\ZBCE=40.
VZB=70°, ZCDB=90°,
.•.ZBCD=20°,
.•.ZECD=ZBCD=20°.
.'.CD是ABCE的角平分线.
（2） VZECD=20°, ZCDE=90°,
.•.ZCEB=70°.
.・.ZB=ZCEB.
•.•ZCFD=90°, ZFCD=20°,
.•.ZCDF=70°.
.・.ZCDF=ZB.
.•.与ZB相等的角是：ZCEB、ZCDF.
2O.PM = PN, PM丄PN； BE=J^MN；成立，答案见解析；MN的值为^31-1或顾 + 1 试题分析：⑴问题探索：M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，所以MP、NP分别是AAEB、AADB的中位线，PN AC, PM BC可得AD=EB，所以可得PM = PN, PM丄
PN.BE=2PM, MN=J^PM,从而得到BE与MN的关系.（2）深入探究：通过连AD,延长BE 交AD于点G,将PM、PN放在两个全等的三角形即△ ADC^ABEC来证明PM = PN,再证ZAGB = 90°（3）解决问题：
【问题探索】
M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，
•••PM, PN分别是AAEB、AADB的中位线,
... 1 (1)
•••PM BC 且PM=— BE, PN AC 且PN= — AD
2 2
ZACB=90°,
又AC=BC, DC=EC .-.AD=BE
•••PM = PN
•••PM = PN, PM 丄PN,
BE与MN的数量关系为BE= 0 MN,
PM = PN, PMXPN
MPMN为等腰直角三角形,
.•.MW ^2 PM
BE=2PM
.-.BE= 5/2 MN
【深入探究】
成立，理由：如图连接AD,延长BE交AD与G.
已矢DZACB=ZACE+ ZECB=90°, ZDCE=ZACE+ZDCA=90°.'.ZECB=ZDCA
CA=CB,CD=CE
.'.AADC^ABEC
.-.AD=BE
M、N、P仍是AE、BD、AB的中点，
.-.PM BE 且PM=— BE, PN AD J!L PN= —AD 2 2 •••PM=PN
又ZkADC 竺ZXBEC
••.ZDAC=ZEBC
ZEBC+ZABE+ZCBA=90°
.■•ZDAC+ZCBA+ZABE=90°
:.BG丄AD
因此MN= V2 PM,
1
PM=— BE
2
.-.BE= ^2 MN
【解决问题】
由上题已知BE=J^MN,①当ADEC绕点C逆时针旋转到如图3的位置时，AADC竺ABEC, BD丄AD, •••AD=EB, AD'+BD^AB',设AD=EB=x, CB=8, CE=2, •••（X+2A/2） 2+x2=（8 迈）2，解得X=±V62-A/2, X= -V62-V2 （舍去），所以BE=V62-V2 所以，MN=J^T-I
图3
②当ZkDEC绕点C逆时针旋转到如图4的位置时，ZSADC竺ABEC, BD丄AD, .-.AD=BE
设BE=x, 因为BE丄AD, .-.AADB 是直角三角形，.•.ADtBD'AB',（x-2迈）'+#=128 x=±V62+V2 ,x= -V62+V2 （舍去），・汨£=辰 + 血，•••MN=V§T + 1
图4
所以MN的值为V31-1或姐+ 1。