2020年江苏专版艺考生高考数学二轮复习学案：第十二课时 函数模型及其应用

第十二课时函数模型及其应用
知识记忆
1.几类函数模型
2.三种函数模型的性质
【知识拓展】
1.解函数应用题的步骤
2.“对勾”函数
形如()()0a f x x a x
>＝＋的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(,∞-和)∞上单调递增，在)0⎡⎣
和(
0上单调递减.
(2)当0x >时，x 时取最小值0x <时，x ＝-
课前预习
1.某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚270元，那么每台彩电原价是________元.
2.某汽车油箱中存油22千克，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩油量y (千克)与流出时间x (分钟)之间的函数关系式为________.
3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________________.
4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________.
课堂讲解
题型一 用函数图象刻画变化过程
例1 某民营企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①所示；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图①所示(单位：万元).分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式.
为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式.其中
所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (min)与通话费y (元)的关系如图所示.
(1)分别求出通话费1y 、2y 与通话时间x 之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.
题型二 已知函数模型的实际问题
(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.
(2)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税.已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率x %)，则每年销售量将减少10x 万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x 的最小值为________.
题型三 构造函数模型的实际问题
例3 将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定________元.
例4(2017·盐城质检)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)
一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过________小时才能开车.(精确到1小时)
课后练习
1.某商品定价为每件60元，不加收附加税时年销售量约80万件，若征收附加税，税率为p ，且年销售量将减少
20
3
p 万件.则每年征收的税金y 关于税率p 的函数关系为________. 2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是________.
3.(改编)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.
4.某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为_____ m 3.
5.设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数).公司决定从原有员工中分流x (0<x <100，x ①N *)人去进行新开发的产品B 的生产.分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是________.
6.(2017·南通模拟)某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为2
1 4.10.1y x x ＝－，在B 地的销售利润(单位：万元)为22y x ＝，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元.
7.在平面直角坐标系xOy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1
(0)y x x
=
>图象上一动点. 若点
P ，A 之间的最短距离为a 的所有值为 .
8.(2017·苏州模拟)某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为kt
y e ＝(其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k =__________，经过5小时，
1个病毒能繁殖为_____个.
9.(2017·淮安模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.
10.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价()b b a >以及实数()01x x <<确定实际销售价格()c a x b a =+-.这里，x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得()c a －是()b c －和()b a －的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________.
11.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：/m s )与其耗氧量Q 之间的关系为3
log 10
Q
v a b =＋(其中a b 、是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 /m s . (1)求出a b 、的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 /m s ，则其耗氧量至少要多少个单位？
12.经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量
近似地满足()(2200150)f t t t t N =≤≤∈－＋，.前30天价格为
1
()(302
0)13g t t t t ≤≤∈N ＝＋，，后20天价格为()(453)150g t t t ≤≤∈N ＝，.
(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值.
13. (2017·常州模拟)某旅游景点2017年1月份起前x 个月的旅游人数的和()p x (单位：万人)与x 的关系近似地满足1391
()()()2
2p x x x x ＝+-(*x ∈N ，且12x ≤).已知第x 个月的人均消费额()q x (单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
35－2x x ①N *，且1≤x ≤6，160x x ①N *，且7≤x ≤12. (1)写出2017年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：人)与x 的函数关系式； (2)试问2017年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少万元？
14.某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30 km(忽略内、外环线长度差异).
(1)当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10 min，求内环线列车的最小平均速度；
(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25 km/h，外环线列车平均速度为30 km/h.现内、外环线共有18列列车投入运行，问：要使内、外环线乘客的最长候车时间之差最短，则内、外环线应各投入几列列车运行？
15.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度
为y km．
（1）按下列要求建立函数关系式：
∠=（rad），将y表示成θ的函数；
（i）设BAOθ
=（km），将y表示成x的函数；
（ii）设OP x
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。

第十二课时函数模型及其应用参考答案
课前预习
1.答案 2 250
2.答案y＝22－11
100x(0≤x≤200)
3.答案(p＋1)(q＋1)－1
4.答案 3
题型一 用函数图象刻画变化过程 例1
解 设投资为x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元. 由题意设f (x )＝k 1x (x ≥0)，g (x )＝k 2x (x ≥0). 由图①知f (1)＝14，∴k 1＝1
4. 由图②知g (4)＝52，∴k 2＝5
4. ∴f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝5
4x (x ≥0).
解 (1)设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (300,35)，C (300，15)分别代入得k 1＝150，k 2＝1
20. ∴y 1＝150x ＋29，y 2＝1
20x .
(2)令y 1＝y 2，即150x ＋29＝120x ，得x ＝9662
3. 当x ＝9662
3时，两种卡收费一致；
当x ＜9662
3时，y 1＞y 2，即“如意卡”便宜； 当x ＞9662
3时，y 1＜y 2，即“便民卡”便宜. 题型二 已知函数模型的实际问题 答案 (1)19 (2)2
解析 (1)由图象可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19. (2)由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104
·(100－10x )·70·x
100，令104
·
(100－10x )·70·x
100≥112×104
，解得2≤x ≤8.故x 的最小值为2. 题型三 构造函数模型的实际问题 例3 答案 95
解析 设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225]. ∴当x ＝95时，y 最大.
题型三 构造函数模型的实际问题 例4
解 (1)由题意可知当0≤x <20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )
＝ax ＋b 在[20,200]上是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，
解得⎩⎨⎧
a ＝－1
3，
b ＝200
3，
故函数v (x )的表达式为
v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
60， 0≤x <20，13(200－x )， 20≤x ≤200.
(2)依题意并由(1)可得
f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
60x ， 0≤x <20，13x (200－x )， 20≤x ≤200，
当0≤x <20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13[x ＋(200－x )2]2
＝10 000
3，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 000
3. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 000
3≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时.
思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.
答案 5
解析 设经过x 小时才能开车. 由题意得0.3(1－25%)x ≤0.09，
∴0.75x ≤0.3，x ≥log 0.750.3≈4.19.∴x 最小为5.
课后练习
1.答案 y ＝60(80－203p )p
2.答案 ①
3.答案 9
4.答案 13
5.答案 16
6.答案 43
7.1a =-或a = 8答案 2ln 2 1 024
解析 当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝1
2e k ， ∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2， 当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024. 9. 答案 20
解析 设内接矩形另一边长为y ， 则由相似三角形性质可得x 40＝40－y
40， 解得y ＝40－x ，
所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0<x <40)， 当x ＝20时，S max ＝400. 10.
答案
5－12
解析 依题意得x ＝c －a
b －a ，(
c －a )2＝(b －c )(b －a )， ∵b －c ＝(b －a )－(c －a )， ∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )， 两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0， 解得x ＝－1±5
2.
∵0<x <1，∴x ＝5－1
2. 11.
解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 330
10＝0，
即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 390
10＝1，整理得a ＋2b ＝1.
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝1.
(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q
10≥2，即log 3Q
10≥3，解得Q ≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位. 12.
解 (1)依题意得
S ＝⎩⎪⎨⎪⎧
(－2t ＋200)⎝⎛⎭⎫12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，
45(－2t ＋200)(31≤t ≤50，t ∈N )，
即S ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－t 2＋40t ＋6 000(1≤t ≤30，t ∈N )，
－90t ＋9 000(31≤t ≤50，t ∈N ). (2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400， ∴当t ＝20时，S 取得最大值为6 400. ②当31≤t ≤50，t ∈N 时， S ＝－90t ＋9 000为递减函数， ∴当t ＝31时，S 取得最大值为6 210.
综上知，当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.
13.
解 (1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37， 当2≤x ≤12，且x ∈N *时， f (x )＝p (x )－p (x －1)
＝12x (x ＋1)(39－2x )－1
2(x －1)x (41－2x ) ＝－3x 2＋40x ， 验证x ＝1也满足此式，
所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12). (2)第x 个月旅游消费总额为
g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
(
－3x 2
＋40x )(35－2x )(x ∈N *
，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x (x ∈N *，且7≤x ≤12)， 即g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，
－480x ＋6 400(x ∈N *，且7≤x ≤12). ①当1≤x ≤6，且x ∈N *时，
g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0， 解得x ＝5或x ＝140
9(舍去). 当1≤x <5时，g ′(x )>0， 当5<x ≤6时，g ′(x )<0，
∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125(万元).
②当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数， ∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040(万元).
综上，2016年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元. 14.
解 (1)设内环线列车运行的平均速度为v km/h ，由题意可知30
9v ×60≤10⇒v ≥20.所以，要使内环线乘客最长候车时间为10 min ，列车的最小平均速度是20 km/h.
(2)设内环线投入x 列列车运行，则外环线投入(18－x )列列车运行，设内、外环线乘客最长候车时间分别为t 1 min 、t 2 min ，则t 1＝3025x ×60＝72x ，t 2＝3030(18－x )×60＝60
18－x .设内、外环线乘客的候车时间之差为t min ， 于是有t ＝|t 1－t 2|＝⎪⎪⎪⎪72
x －6018－x
＝⎩⎨⎧
72x ＋60
x －18，1≤x ≤9，x ∈N *
，－(72x ＋60
x －18)，10≤x ≤17，x ∈N *
，
该函数在(1,9)上递减，在(10,17)上递增.
又t (9)>t (10)，所以当内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差最短.
15.【解析】：本小题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力。

（1）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad )，则10
cos cos AQ OA BAO θ
=
=∠，
故10
cos OB θ
=
又1010OP tan θ=-，所以1010
1010cos cos y OA OB OP tan θθθ
=++=
++- 所求函数关系式为2010sin 10
(0)cos 4
y θ
π
θθ
-=
+≤≤
②若OP=x (km )，则OQ=10-x ，所以OA OB ===
所求函数关系式为(010)y x x =+≤≤
（2）选择函数模型①，2210cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)
'cos cos y θθθθθθθ
-----=
=
令'0y =得1sin 2θ=
046
ππθθ≤≤∴=Q 当(0,
)6π
θ∈时'0y <，y 是θ的减函数；当(,)64
ππ
θ∈时'0y >，y 是θ的增函数；
所以当6
π
θ=
时，min 1
20101010
y -⨯
=
+=
此时点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB
km 处。