盛金定理

一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，
总判别式：Δ=B^2－4AC。

当A=B=0时，盛金公式①：
X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。

当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：
X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；
X2，X3=(－2b+(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3))/(6a)±3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))i/(6a)，
其中Y1，Y2=Ab+3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。

当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：
X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，
其中K=B/A，(A≠0)。

当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：
X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；
X2，X3=(－b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，
其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)。

盛金判别法
盛金判别法（Shengjin's Distinguishing Means）
① 当A=B=0时，方程有一个三重实根；
② 当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
③ 当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
④当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

盛金定理
盛金定理（Shengjin's Theorems）
当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T<-1或T>1时，盛金公式④无意义。

当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值？盛金定理给出如下回答：
盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。

盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。

盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。

盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。

盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。

盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。

盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。

盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。

（此时，适用盛金公式④解题）。

盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1<T<1。

显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。

注意：盛金定理逆之不一定成立。

如：当Δ>0时，不一定有A<0。

盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。

任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。

当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。

与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。

重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。

以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。

国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。

范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。

（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, China. Vol. 2, No. 2；Dec，1989）, A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation.，Fan Shengjin. PP·91—98 .。