架空线悬链方程的积分普遍形式

在高压架空线路的设计中，不同气象条件下架空线的弧垂、应力、和线长占有十分重要的位置，是输电线路力学研究的主要内容。

这是因为架空线的弧垂和应力直接影响着线路的正常安全运行，而架空线线长微小的变化和误差都会引起弧垂和应力相当大的改变。

设计弧垂小，架空线的拉应力就大，振动现象加剧，安全系数减少，同时杆塔荷载增大因而要求强度提高。

设计弧垂过大，满足对地距离所需杆塔高度增加，线路投资增大，而且架空线的风摆、舞动和跳跃会造成线路停电事故，若加大塔头尺寸，必然会使投资再度提高。

因此设计合适的弧垂是十分重要的。

架空线悬链方程的积分普遍形式
假设一：架空线是没有刚度的柔性索链，只承受拉力而不承受弯矩。

假设二：作用在架空线上的荷载沿其线长均布；悬挂在两基杆塔间的架空线呈悬链线形状。

由力的平衡原理可得到一下结论：
1、架空线上任意一点C 处的轴向应力σx 的水平分量等于弧垂最低点处的轴向应力σ0，即架空线上轴向应力的水平分量处处相等。

σx cos θ=σ0
2、架空线上任意一点轴向应力的垂直分量等于该点到弧垂最低点间线长L oc 与比载γ之积。

σx sin θ=γL oc
推导出： 0
tg Loc γ
θσ=
dy Loc dx γ
σ= 即 0'y Loc γσ= （4-3） 由（4-3）推导出
10
()dy sh x C dx γ
σ=+ (4-4) 结论：当比值γ/σ0一定时，架空线上任一点处的斜率于该点至弧垂最低点之间的线长成正比。

最
后推到得到架空线悬链方程的普遍积分形式。

C1、C2为积分常数，其值取决于坐标系的原点位置。

0(1)20
y ch x C C σγ
γσ=
++ （4-5）
等高悬点架空线的弧垂、线长和应力
等高悬点架空线的悬链方程
等高悬点是指架空线的两个挂点高度相同。

由于对称性，等高悬点架空线的弧垂最低点位于档距中央，将坐标原点取在该点，如图：
0(1)0
y ch x σγγσ=
- （4-6） 由上式可以看出，架空线的悬链线具体形状完全由比值σ0 /γ决定，即无论何种架空线、
何种气象条件。

只要σ0 /γ相同，架空线的悬挂曲线形状就相同。

在比载γ一定的情况下，架空线的水
平应力是决定悬链线形状的唯一因素，所以平时架空线的水平张力对架空线的空间形状有着决定性的影响。

等高悬点架空线的弧垂
架空线上任意一点的弧垂是指该点距两悬点连线的垂直距离。

在设计中需要计算架空线任意一点x 处的弧垂f x ，以验算架空线对地的安全距离。

参照图4-2
20000
2(1)24B l l f y ch sh σσγγγσγσ==
-= 0(1)20
B l
y ch σγγσ=
- 可得到式： 0
1100
2()
22x x l x f sh
sh σγγγ
σσ-=
（4-8） 在档距中央，弧垂有最大值，此时x=0或x 1=L/2,所以有
20000
2(1)24B l l
f y ch sh σσγγγσγσ==
-= （4-9） 架空线的弧垂一般指的是最大弧垂。

最大弧垂在线路的设计、施工中占有重要的位置。

等高悬点架空线的线长
L oc 弧垂最低点O 与任意一点C 之间的架空线的线长。

参考图4-1由式4-3、4-4，解得：(考虑到C 1=0)
00Loc sh σγγσ=
或记为00
x L sh σγγσ=
将x=L/2代入上式得：
/20
222x l L L sh
σγ
γ
σ===
（4-10） 上式表明.在档距一定时，架空线的长度是关于架空线比载和应力的函数。

应该指出上式计算的结果是俺家空闲的悬挂曲线几何形状计算长度，与架空线的制造长度不尽相同。

等高悬点架空线的应力 等高悬挂点处：
00
2A B l
ch
γσσσσ== 用弧垂表示： 0A B f σσσγ==+
必须指出，悬挂点处的应力除式中计算的应力外，还有还有线夹的横向挤压力，考虑刚度时的附加弯曲应力和振动时产生的附加动应力等。

不等高悬点架空线的弧垂、线长及应力
不等高悬点架空线的悬链线方程
地形的起伏不平或杆塔高度的不同，将造成导线悬挂点高度的不相等，其高度差称为高差，与水平面的夹角称为高差角。

公式推到过程省略了，最后公式：
00
2()
22x l x y sh
sh σγγγ
σσ-=-
（4-17）
0()m
h h h h f arcsh arcsh
l l L σ
γ
=⎡=-+⎢⎣
这里的公式和第二版设计手册上的公式明显不同，最明显是这里是一个与高差角无关的
函数。

不等高悬点架空线的弧垂
根据弧垂的定义，不等高悬点架空线任意一点的弧垂为：
000
2(2)
22x h h x x a f x y x sh sh l l σγγγσσ-=
-=-
000000022()()2222h h h x l x x l x x sh ch sh sh l L σσγγγγγσσγ
σσ=⎡⎤⎤
--=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎦ （4-18）
等高悬点h=0时，有
(0)00
2()
22x h x l x f sh
sh σγγγ
σσ=-=
（与4-8一致） 架空输电线路最常用的档距中央弧垂、最低点弧垂和最大弧垂（斜切点弧垂）。

在档距中央
x=L/2，代入4-18得到化简后的档距中央弧垂的计算公式：
02
1)2l l
f ch γσ=- （4-19） 最低点弧垂出现在x=a 处，代入公式得：
000012h l h h
f arcsh l L σγγσ=⎤
⎥=--⎥⎦
（4-20）
0002
1l h h h
f f arcsh l L σγ=⎡
⎢=-+-⎢⎣
弧垂最大出现在
0x
df dx
=处，得 000
1()2m h h h h x a arcsh arcsh arcsh l l L σσγγ==+
=+- （4-21） 从上式可以看处，不等高悬挂点架空线的最大弧垂不在档距中央。

将4-21代入4-18得到：
00()2m h h h h l f arcsh arcsh l
l L σγγ
σ=⎡=
-+⎢
⎣ （4-22）
02
()m
l h h h h f f arcsh arcsh
l l L σ
γ=⎡=+-+⎢⎣
不等高悬点架空线的线长
不等高悬点架空线线长可通过弧长微分公式求得。

根据式4-4有
1100
()()dy sh x C sh x a dx γγ
σσ=+=- （4-23） 架空线任意一点至左悬点的线长为
00
2(2)
22x x x a L sh
ch σγγγ
σσ-=
（4-24） 当x l =时，得到整档线长
00
2(2)22l l a L sh
ch σγγγ
σσ-=
（4-25） 将x l =代入4-13，有
00
2(2)22l l a h sh
sh σγγγ
σσ-=
（4-26） 最后得：
L =
（4-27）
由上式可以看出，高差h 的存在，使得不等高悬点架空线的线长大于等高悬点时的线长。

如果视高差h 、等高悬点时的线长0h L =为直角三角形的两条直角边，那么不等高悬点时的线长就是直角三角形的斜边。

不等高悬点架空线的应力 1、架空线上任意一点的应力
在已知架空线的水平应力0σ时，任意一点的应力可以表示为：
0000(2)cos 2x h l x h ch arcsh L σγσσσθσ=⎡⎤
-=
==-⎢⎥⎣
⎦ （4-28） 在档距中央/2x l =，则
2
l σσ=（4-29） 2、架空线上任意两点应力之间的关系
00()x y y σσγ=+- （4-30）
上式表示了架空线上任意一点的应力与最低点的应力和两点的高差之间的关系。

2120()y y σσγ-=- （4-31）
上式表明，档内架空线上任意两点的应力差等于该两点间的高度差与比载之积。

显然，档内相对高度越高，该点的架空线的应力就越大。

在同一档内，最大应力发生在较高悬挂点处。

3、架空线悬挂点处的应力
00
02A h l h ch arcsh L γσσσ=⎡⎤
=-⎢
⎥⎣⎦ （4-32）
00
02B h l h ch arcsh L γσσσ=⎡⎤
=+⎢
⎥⎣⎦
4、悬挂点架空线的倾斜角和垂向应力
悬挂点处架空线的倾斜角是指该点架空线的切线与X 轴的夹角，如图4-3中的A B θθ、。

倾斜角的正切值即为该点架空线的斜率。

悬挂点处的倾斜角是设计线夹、检验悬挂点附近电
气间隙、考虑飞车爬坡等的重要参考数据。

00
02A h a l h tg sh
sh arcsh L γγθσσ=⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦
00
02B h a l h tg sh
sh arcsh L γγθσσ=⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦ (4-33) 由上式可知，低悬挂点处的倾斜角A θ可正可负，为正值表示该点架空线向上倾斜（上扬），为负值表示向下倾斜。

高悬挂点处的倾斜角B θ始终为正值。

悬挂点应力的垂直分量：
000
02A A h l h tg sh arcsh L γγσσθσσ=⎡⎤
=-=-⎢
⎥⎣⎦ 000
02B B h l h tg sh arcsh L γγσσθσσ=⎡⎤
=-=+⎢
⎥⎣⎦ （4-34）
式（4-34）中第一式的负号，是为了保证悬挂点的垂向应力向上时为正值而加的。

悬挂点的垂向应力为正值时，说明该悬挂点承受架空线的拉力。

低悬挂点的垂向应力A γσ为正值时说明架空线的弧垂最低点在档内。

低悬挂点的垂向应力A γσ为负值时说明架空线的弧垂最低点在档外，悬挂点受上拔力。

当A γσ取零值时，说明悬挂点正好是架空线的最低点，架空线不承受垂向应力。

悬挂点受到架空线的总垂向应力，是该悬挂点两侧架空线垂向力的代数
和。

架空线弧垂、线长、应力计算公式的简化
当前精确的计算式是悬链方程及其导出公式，在大跨越等要求计算精度较高的情况下，首先使用这些公式，对一般情况，使用有关简化公式具有足够的精度。

斜抛物线法
1、斜抛物线悬挂曲线方程
2200(2)(2)cos 8cos 2
x l x l x tg σγγσββσβ--≈+- （4-37）
上式是假定比载沿斜档距均布的条件下推出的，且为x 的二次函数，图像呈抛物线形状，
工程上顾名思义称为斜抛物线方程。

2、斜抛物线弧垂公式 任意一点处的弧垂为
0()2cos x h x l x f x y l γσβ
-=
-= (4-38) 令式（4-38）对x 的导数等于零，可得到最大弧垂发生在/2x l =处即中央档距，其最
大弧垂与档距中央弧垂重合，即
2
02
8cos m l l f f γσβ
==
（4-39‘）
当已知档距中央的最大弧垂后，架空线任意一点的弧垂可表示为
24()x m x x f f l
l ⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦ （4-40）
结论：斜抛物线弧垂是关于档距中央对称的。

任意一点的弧垂与高差没有直接关系。

因
此对于同样大小的档距，在档距中央弧垂相等的情况下，等高悬点和不等高悬点架空线对应的弧垂相等。

(1)24m l h a f =
- （4-42） (1)24m
l h b f =
+ （4-43） 低悬挂点与O 点之间的高差为
2
0(1)4AO A m m
h h y y f f =-=-
（4-46） 高悬挂点与O 点之间的高差为
2
0(1)4BO B m m
h h y y f f =-=+
（4-47） 利用4-46、4-47观测弧垂时，必须保证最低点落在档内，即要求4m h f ≤当4m h f ＞时，
a ＜0，最低点落在档外的一个虚点。

3、斜抛物线应力公式 （1）任一点处的垂向应力
0(2)
2cos x l x tg γγσσββ
-=-
（4-48）
低挂点A 处垂向应力
cos A a
γγσβ
=
（4-49） 高挂点B 处垂向应力
cos B b
γγσβ
=
（4-50） （2）任一点处的轴向应力
2200(2)(2)cos 8cos 2
x l x l x tg σγγσββσβ--≈+- （4-51）
架空线档距中央的轴向应力
2
cos l σσβ
=
（4-52） 注意：在档距中央，架空线的倾斜角等于高差角，即0cos 3
m cp f
σγσβ=
+θβ=。

这说明档距中央架空线的切线与斜档距平行，该点称为斜切点，档距中央弧垂也称为斜切点弧垂。

2
2
()x l l y y σσγ=+- （4-53）
上式表明，架空线任一点的应力由两部分组成：一部分是档距中央应力2
l σ，一部分是该点
与档距中央的高度差引起的应力2
()l y y γ-。

那么架空线上任意两点间应力的关系为：
()y y σσγ-２１２１－＝
悬挂点处的轴向应力为：
0()2
m h
f σσγβ+-Ａ＝
cos （4-54） 0()2
m h
f σσγβ++B ＝
cos （4-55） 工程上还有采用另一种悬挂点应力简化计算公式。

222000()22h
l h l
σγγσσβσβ-++A ＝cos 8cos (4-56)
22
2000()22h
l h l
σγγσσβσβ+++B ＝cos 8cos (4-57)
在高差很大的档距或者有高差的特大跨越档中，悬点应力会比最低点应力大很多，这时应按高悬挂点处的应力验算架空线的强度。

若控制悬挂点应力σB 为允许值则需要求出最低点的应力。

最低点应力0σ为
0()22B h βγσσ=-cos （4-58） 对于悬点等高，0h =，最低点应力为：
02B
σσ=（4-59） 4、斜抛物线的线长公式
222322
2
00
1cos cos cos 83cos 24l l l l l γβγβ
β
σβσ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦≈
（4-60） 平抛物线法
精度偏大！适用于小应力的跳线计算。

三类公式的精度分析 1、线长公式的精度分析
悬链方程最精确，斜抛物线公式的误差在十万分之几，精度很高。

一般认为/h l ＞0.15时，不宜采用平抛物线公式。

2、弧垂公式的精度分析
在一般情况下，小高差/h l ≤0.10档距可以采用平抛物线公式，大高差0.1/h l ＜≤0.25档距可以采用斜抛物线公式，其他情况下采用悬链线公式。

架空线的平均高度与平均应力
为了确定架空线路所受风荷载时需要知道架空线的平均高度，计算架空线的弹性伸长时则要用到平均应力。

1、架空线的平均高度
架空线的平均高度是指架空线上个点相对弧垂最低点的高度差对于档距的平均值，其大小等于架空线上各点与最低点间的高差沿档距的积分被档距除得的商。

0(1)cp L h l l
σγ=- (4-63) 平均高度与弧垂的关系
02
1()3cp m l h f y y =+- （4-64） 上式（02l y y -）一项为档距中央架空线高出弧垂最低点的距离。

从式中可以看出架空线的
平均高度位于档距中央架空线以上/3m f 处。

需要指出的是，架空线的平均高度是相对弧垂最低点而言的，与与架空线对地面的平均高度不同。

当档距所在地面为水平面时，架空线对地面的平均高度为其最低点对地面的高度与cp h 之和或档距中央架空线对地高度与/3m f 之和。

当档距所在地面的断面呈不规则曲线时，架空线的对地高度可采用作图法，量得架空线数点对地面的高度后取其平均值得到。

2、架空线的平均应力
用悬链线表示的架空线的平均应力的精确计算公式：
22
0022cp l l L σγσσ⎡
⎤=⎢⎥⎣⎦ （4-65） 斜抛物线形式 0cos 3
m cp f σγσβ=+ （4-66） 架空线的平均应力就是架空线平均高度处的应力。

除特大弧垂外，一般以档距中央应力近似代替平均应力以便于计算。