数学归纳法教学设计

《数学归纳法》教案
【教材分析】
数学归纳法是人教A版数学教材选修2-2第二章第3节的内容。

这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。

在之前接触了不完全归纳法的基础上，介绍数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。

本节将通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。

【教学目标】
1.理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤, 会证明简单的与正整数有关的命题。

2.让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。

3.使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的能力和合作交流的能力。

【重点难点】
教学重点：了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

【教学难点】
数学归纳法的思想实质教学，运用数学归纳法在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

【教学方法】
类比启发、合作探究
【教学过程】 （一）问题情境一
问题 1:盒子里装了8个小球，如何证明它们都是红色的？ 问题2：数列{}()
,1,1,*11N n a a a a a n
n
n n ∈+=
=+已知通过对4,3,2,1=n 前4项归纳，猜想n
a n 1=——可以让学生通过数列的知识加以验证——“不完全归纳有时是正确的”。

为了寻求一种能够证明与正整数有关的数学问题的方法，从而引入本节课的新课内容一数学归纳法。

（二）问题情境二
法
国数
学家
费马观察到：
6553712,25712,1712,5124
23
221
2=+=+=+=+
归纳猜想：任何形如122+n
（n ∈*N ）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。

半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数
6700417641125
25⨯=+=F 不是质数,从而推翻了费马的猜想。

——“不
完全归纳有时是错误的”
（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）
（三）问题情境三
问题 1:当有无数小球时又如何证明它们是红色的？
问题2：我们前面已经猜想出的
1
n a n =
只肯定对前三项成立，那
么它的后续项是否也肯定成立呢？ （四）问题情境四
“多米诺骨牌”游戏动画演示：
如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？
引导学生思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件；
①第一块骨牌倒下；
②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

强调条件②的作用：是一种递推关系（第k 块倒下，使第k+1块倒下）。

“多米诺骨牌”原理
①第一块骨牌倒下； ②若第k 块倒下，则使得第k+1块倒下
验证猜想 ↓ ↓
①1=n 验证猜想成立 ②如果k n =时，猜想成立。

即k
a k 1
=，则
当1+=k n 时，1
1
1111
1+=
+=+=
+k k
k a a a k k
k 即1+=k n 时猜想成立 （五）学生概括, 形成方法
证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下： (1) 证明当n 取第一个值0n 时结论正确；（归纳奠基）
(2) 假设当n ＝k (k ∈*N ，k ≥0n ) 时结论正确, 证明当n ＝k ＋1时结论也正确．（归纳递推）
完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确．这种证明方法叫做数学归纳法． （六）方法应用
例.用数学归纳法证明6
)
12)(1(3212222++=
++++n n n n 证明：（1）当n=1时，左边112==，右边6
)
112()11(1+⋅⋅+⋅=，等式成立。

（2）假设当n=k 时，等式成立，即6
)
12)(1(3212222++=++++k k k k
则当n=k+1时，左边=()223221321++++++k k
[][][]1)1(21)1()1(61
)672)(1(61)1(6)12()1(6
1
)1(6)12)(1(22+++++=+++=++++=++++=
k k k k k k k k k k k k k k
=右边
由（1）、（2）可知，n ∈*N 时，等式成立。

师生共同总结：
1、数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题。

2、两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立；
3、在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，进行恒等变换。

即当n=k+1时等式也成立。

4、完成第1)、2）步骤的证明后，要对命题成立进行总结。

练习：1.用数学归纳法证明等式 1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时， 当n ＝1时，左边所得项是 ； 当n ＝2时，左边所得项是 ；
()
2
2111,11n n a
a a a a
n ++∈≠-+++=-=2.用数学归纳法证明n N,a 1在验证
成立时，左边是（ ）
3.用数学归纳法证明：如果{a n }是一个等差数列，则a n =a 1+(n-1)d 对于一切n ∈N*都成立。

4.用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n -1)=n 2 研究性问题:已知数列
,)
13)(23(1
,,1071,741,411+-⨯⨯⨯n n 设S n 为数列前n 项和，计算S 1, S 2 ,S 3 ,S 4,根据计算结果， 猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明。

解:
可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致， 分母可用项数n 表示为3n+1,可以猜想1
3+=n n
S n 证明过程由学生自主完成。

【课堂小结】
13
413101103103107172727414141
4114321=
⨯+==
⨯+==
⨯+==⨯=S S S S
（1）数学归纳法只适用于证明与正整数有关的命题。

（2）用数学归纳法证明命题的一般步骤：
1°验证n=n 0（n 0为命题允许的最小正整数）时，命题成立 2°假设n=k （k ≥n 0）时命题成立，证明n=k+1时命题成立， 由1°和2°对任意的n ≥n 0, n ∈N* 命题成立。

【作业】
1. 习题
2.3 A 组 1.2.3
2. 思考：平面内有n 条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共
点，设f(n)为n 条直线的交点个数，求证：
()
12
1
)(-=n n n f。