甘肃省天水市第一中学高三高考信息卷(一)数学(理)试题

1. 若集合{0}A x x =≥，且A
B B
=，则集合B 可能是（ ）
（A ）{}1,2 （B ）{1}x x ≤ （C ）{1,0,1}- （D ） R 【答案】A 【解析】
试题分析：由A B B =知B A ⊆,故选A . 考点：集合的关系.
2. 已知命题:p R x ∃∈，2lg x x ->，命题:q R x ∀∈，1x e >，则（ ） （A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题 （C ）命题()p q ∧⌝是真命题 （D ）命题()p q ∨⌝是假命题 【答案】C
考点：1
全程命题,特称命题;2复合命题的真假判断.
3. 已知112
2
log log a b <，则下列不等式一定成立的是（ ）
（A ）11()()4
3
a b < （B ）11a
b
> （C ）ln()0a b -> （D ）31a b -<
【答案】A 【解析】
试题分析：由112
2
log log a b <得，0a b >>，所以111()()()443
a b b <<.故选A.
考点：指数函数,对数函数的单调性.
4. 已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”
的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】
试题分析：函数21x y m =+-有零点时，10,1m m -<<，不满足01m <<，所以“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”不成立；反之，如果“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”，则有01m <<，10,m -<所以，“函数21x y m =+-有零点”成立，故选
B .
考点：1指数函数,对数函数的单调性;2充分必要条件.
5. 某工厂对一批新产品的长度（单位：mm ）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（ ）
（A ）20 （B ）25 （C ）22.5 （D ）22.75 【答案】C
考点：中
位数. 6. 2321
(2)x x
+
-展开式中的常数项为（ ） （A ）-8 （B ）-12 （C ）-20 （D ）20
【解析】 试题分析：∵2362
11(2)()x x x x
+
-=-，∴6621661()(1)r r r r
r r r T C x C x x --+=-=-， 令620r -=，即3r =，∴常数项为3
36(1)20C -=-.故选C 。

考点：二项式定理。

7. 已知{}n a 是首项为32的等比数列，n S 是其前n 项和，且
64
65
36=
S S ,则数列|}log {|2n a 前10项和为（ ）
（A ）58 （B ）56 （C ）50 （D ）45 【答案】A 【解析】
试题分析：根据题意
3633164S S q S -==，所以14q =，从而有721
1
3224
n n n a --=?，所以
2log 72n a n =-，所以有2log 27n a n =-，所以数列的前10项和等于
()()51311375+3+1+1+3+5+7+9+11+13=
58
2
2
+++=.故选A.
考点：1等比数列的通项公式;2等差数列求和.
8.
已知不等式组0,x y x y ⎧+-≥⎪
⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω,过区域Ω中的任意一个点P ,作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ,当APB ∠最大时, PA PB ⋅的值为（ ）
（A ）2 （B ）32 （C ）52
（D ）3 【答案】B
试题分析：
1
如图所示，画出平面区域Ω，当APB ∠最大时，APO ∠最大，故1
sin AO APO OP OP
∠=
=最大，故OP 最小即可，其最小值为点O 到直线0x y +-=的距离2d =，故
1sin 2
APO ∠=
，此时0
260A P B A P
O ∠=∠=，且13P A
==，故
3
c o s 2
P A P B
P
A P
B A P B
⋅=⋅∠=．故选B. 考点：1
线性规划;2平面向量数量积.
9. 平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===,BD =BD CD ⊥,将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-,使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 （ ） （A （B ）3π （C （D ）2π 【答案】A 【解析】
试题分析：根据题意，如图
，
可知Rt A BD '∆
中，1,AB AD BD ===，在R t B C D ∆
中，1,BD CD BC ===又因为平面A BD '⊥平面BCD ，所以球心就是BC
的中点，半径为r =
积为：343V r π=
=．故选A. 考点：外接球问题.
10.在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且222a b c bc =++
，a ，
S 为ABC ∆
的面积，则cos S B C +的最大值为( )
（A ) 1 （B ）
1 （C
（D ）3 【答案】C 【解析】
试题分析：∵2
2
2
a b c bc =++，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，∴23
A π
=， 设ABC ∆外接圆的半径为R
，则222sin sin 3
a R A π=
==，∴1R =，
∴1cos sin cos cos 2
S B C bc A B C B C +==
+
sin cos )B C B C B C =+=-
，故cos S B C
故选
C.
考点：1正弦定理;2三角函数求最值.
11. 设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两条渐近线分别交
于点B A ,,若点)0,(m P 满足PB PA =，则该双曲线的离心率是( ) （A ）
2
5
（B ） 32 （C ）52 （D
1
【答案】A 【解析】
试题分析：由双曲线的方程可知，渐近线为x a
b
y ±=，分别于)0(03≠=+-m m y x 联立，解得)3,3(),3,3(
b
a bm
b a am B b a bm b a am A ++-----，由PB PA =得，设AB 的中点为Q ，则)233,233(b a bm
b a bm b a am b a am Q ++--+-+--，PQ 与已知直线垂直，故3Q p Q p
y y x x -=--,则25=
=a c e .故选A.
考点：双曲线简单几何性质.
12. 设函数()f x 的定义域为D ，如果x
D y D ,∀∈∃∈，使得()()f x f
y =-成立，
则称函数()f x 为“Ω函数” 给出下列四个函数：①y
x =sin ；②2x
y =；③
1
1
y x =
-；④()ln f x x =, 则其中 “Ω函数”共有（ ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 【答案】C 【解析】 试题分析：x
D y D ,∀∈∃∈，使得()
()f
x f
y =-，等价于x D y D ,∀∈∃∈，使得
()()0f x f y +=成立
①因为sin y x =是奇函数，所以()()f x f x =--，即当y x =-时，()()f x f y =-成立，故sin y x =是“Ω函数”；
②因为20x y =>，故()()0f x f y +=不成立，所以2x y =不是“Ω函数”； ③1
1
y x =
-时，若()()0f x f y +=成立，则
11011x y +=--，整理可得()2,1y x x =-≠即当()2,1y x x =-≠时，()()0f x f y +=成立，故1
1
y x =
-是“Ω函数”； ④()ln f x x =时，若()()0f x f y +=成立，则ln ln 0x y +=，解得1y x =即1
y x
=时，
()()0f x f y +=成立，故()ln f x x =是“Ω函数”.
综上可知选C. 考点：新概念.
13. 向面积为S 的ABC ∆内任投一点P ,则PBC ∆的面积大于3
S 的概率为________ 【答案】9
4
【解析】 试题分析：
事件=A “PBC ∆的面积大于3
S
”，由图可知，E D ,分别是三角形的边上的三等分点，事件A 构成的区域是图中阴影部分，因为ADE ∆与ABC ∆相似，相似比3
2，
9
4322
=⎪⎭⎫
⎝⎛=∴∆∆ABC ADE S S ，由几何概型的概率计算公式得()=A P 94=∆∆ABC ADE S S .
考点：几何概型概率. 14. 函数)12
lg()(x
a x f ++
=为奇函数，则实数=a .
【答案】1- 【解析】
试题分析：因为函数)12
lg()(x
a x f ++
=为奇函数，所以()()x f x f -=-， 即2221
lg()lg()21111a a a x x x a x
+=-+⇒+=
-+-++ 2222211(2)11(1)2
x a x a a x a x a x +⇒+
=⇒-=+-⇒=--++. 考点：函数的奇偶性.
15. 如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，
3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}n a （n *∈N ）的前12项，如下表所示：
按如此规律下去，则201320142015a a a ++= ．
【答案】1007 【解析】
试题分析：11a =，21a =，31a =-，42a =，52a =，63a =，72a =-，84a =， ，这个数列的规律是奇数项为1,1,2,2,3,3,
---偶数项为1,2,3,
，故20132015
0a a
+=，
20141007a =，故2013201420151007a a a ++=．
考点：数列求和.
16. 我们把离心率21
5+=e 的双曲线()0,012222>>=-b a b
y a x 称为黄金双曲线．如图
是双曲线()
2222
22,0,01b a c b a b
y a x +=>>=-的图象，给出以下几个说法：
①双曲线11
522
2
=+-y x 是黄金双曲线；
②若ac b =2，则该双曲线是黄金双曲线；
③若21,F F 为左右焦点，21,A A 为左右顶点，1B （0，b ），2B （0，﹣b ）且021190=∠A B F ，
则该双曲线是黄金双曲线；
④若MN 经过右焦点2F 且21F F MN ⊥，090=∠MON ，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为 _________ ．
【答案】①②③④ 【解析】
试题分析：对于①，2
15,122+=
=b a ，则23
5222+=+=b a c ，
2
222
215235⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==a c e ，215+=∴e ，所以双曲线是黄金双曲线；对于②，ac a c b =-=222，整理得012=--e e
解得2
51+=
e ，所以双曲线是黄金双曲线；对于③
()2
2212222122
1
1,,2
c a A F a b A B b c B F +=+=+=，由勾股定理得()22222c a a b b c +=+++，整
理得ac b =2由②可知2
5
1+=
e 所以双曲线是黄金双曲线；对于④由于()0,2c F ，把c x =代入双曲线方程得12222=-b y a c ，解得a b y 2±=，a b NF 2
2=，由对称关系知2ONF ∆为
等腰直角三角形，a
b c 2=∴，即ac b =2，由①可知25
1+=e 所以双曲线是黄金双曲
线.
考点：新概念.
17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1231n n a a a a n a ++++++=，*n ∈N ．
（Ⅰ) 求证：数列{1}n a +是等比数列；
（Ⅱ) 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，11b =，点1(,)n n T T +在直线1
12
x y n n -=+上，若不等式
12129
11
122n n n
b b b
m a a a a +++
≥-++++对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值．
【答案】（Ⅰ)详见解析; （Ⅱ) 61
16
. 【解析】
试题分析：（Ⅰ)根据等比数列的定义证明1
n n
a a +为常数即可. （Ⅱ)由等差数列的定义可证得{}n T n
是以
111
T =为首项，1
2为公差的等差数列,从而可求得n T .根据
()()11,1,2n n n T n b T T n -=⎧⎪=⎨
-≥⎪⎩可求得
n
b .由错位相减法可求得
121211
1n n n b b b
R a a a =
++++++,12129
11
122n n n
b b b
m a a a a +++
≥-++++对于*n ∈N 恒成立,即
922n n R m a +
≥+对于*n ∈N 恒成立.只需求9
22n n
R a ++的最小值即可. 试题解析：（Ⅰ)由1231n n a a a a n a ++++
++=，得12311(2)n n a a a a n a n -+++
++-=≥ ，
两式相减得121n n a a +=+， 所以112(1)n n a a ++=+ （2n ≥)，
因为10a =，所以111a +=，21211a a =+=，2112(1)a a +=+ 所以{1}n a +是以1为首项，公比为2的等比数列 （Ⅱ)由（Ⅰ)得121n n a -=-，因为点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，
所以11
12
n n T T n n +-=+， 故{}n T n 是以
111
T =为首项，1
2为公差的等差数列，
则11(1)2n T n n =+-，所以(1)2
n n n T +=， 当2n ≥时，1(1)(1)
22
n n n n n n n b T T n -+-=-=-=，
因为11b =满足该式，所以n b n = 所以不等式12129
11
122n n n
b b b
m a a a a +++
≥-++++， 即为2
12
3
9
12
222
n n
n m -++
+
≥-， 令21231222n n n R -=+++，则23112322222
n n n
R =+++，
两式相减得231111112
(1)122222222n n n n n n R -+-=++++-=-，
所以1242n n n R -+=- 由92n n R m ≥-恒成立，即25
42
n n m --≥恒成立，
又11232527
(4)(4)222
n n n n n n ++------=，
故当3n ≤时，25
{4}2
n n --单调递减；当3n =时，3
23531428⨯--=； 当4n ≥时，25{4}2n n --单调递增；当4n =时，4
24561
4216
⨯--=； 则25
42
n n --的最小值为6116，所以实数m 的最大值是6116
考点：1等差数列的定义,等比数列的定义;2错位相减法求数列的和. 18. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成规定:至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23
,且每题正确完成与否互不影响
（1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望； （2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？
【答案】（1)详见解析; （2）从做对题数的数学期望考查,两人水平相当. 【解析】
试题分析：（1) 设甲正确完成面试的题数为ξ,根据古典概型概率公式求其概率即可. 设乙正确完成面试的题数为η,η服从二项分布. （2）分别求ξ和η的方差.根据期望值和方差值再进行判断.
试题解析：解:（1）设甲正确完成面试的题数为ξ, 则ξ的取值分别为1,2,3
1242361(1)5C C P C ξ===；2142363(2)5C C P C ξ===；30
423
61
(3)5
C C P C ξ===； 考生甲正确完成题数ξ的分布列为
131
1232555
E ξ=⨯+⨯+⨯=
设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0,1,2,3
(0)P η==03311()327C =； 112
3216(1)()()3327
P C η===
, 2232112(2)()()3327P C η===
, 33328(3)()327
P C η=== 考生乙正确完成题数η的分布列为
:
161280123227272727
E η=⨯
+⨯+⨯+⨯= （2）因为2221312
(12)(22)(32)5555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=,
2222161282(02)(12)(22)(32)272727273D η=-⨯
+-⨯+-⨯+-⨯= （或2
3D npq η==）
所以D D ξη<（10分）
(或：因为31(2)0.855
P ξ≥=+=,128(2)0.742727
P η≥=
+≈, 所以(2)(2)P P ξη≥>≥ ) 综上所述，从做对题数的数学期望考查,两人水平相当；但从方差来看甲发挥比较稳定，从至少完成两道题的概率考查，甲的胜算大点 考点：1二项分布;2分布列,期望,方差.
19. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，120BCD ∠=，2AB PC ==，
AP BP ==（Ⅰ）求证：AB PC ⊥；
（Ⅱ）求二面角B PC D --的余弦值.
【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）【解析】
试题分析：（Ⅰ）取AB 的中点O ，连接,PO CO AC ，.证PO AB ⊥,CO AB ⊥,根据面面垂直的判定定理可证得AB PCO ⊥平面.从而可证得AB PC ⊥.（Ⅱ）以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直坐标系O xyz -，可得各点的坐标,根据各点的坐标得向量的坐标.根据向量垂直数量积为0求面DCP 和面BCP 的法向量.求两法向量夹角的余弦值. 两法向量夹角与二面角相等或
互补,由图观察即可得出.从而可求得二面角的余弦值. 试题解析：（Ⅰ）
证明：取AB 的中点O ，连接,PO CO AC ，．∵AP BP =，∴PO AB ⊥
又四边形ABCD 是菱形，且120BCD ∠=︒，∴ACB ∆是等边三角形，∴CO AB ⊥ 又CO PO O =，∴AB PCO ⊥平面， 又PC PCO ⊂平面，∴AB PC ⊥ （Ⅱ）由2AB PC ==
，AP BP ==1PO =
，OC = ∴222OP OC PC +=，OP OC ⊥
以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，
z 轴建立空间直坐标系O xyz -， 则(0,1,0)B
，C ，(0,0,1)P
，2,0)D -， ∴(3,1,0)BC =-，(3,0,1)PC =-，(0,2,0)DC =
设平面DCP 的一个法向量为1(1,,)n y z =，则1n PC ⊥，1n DC ⊥，
∴113020
n PC
z n DC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=
=⎪⎩，∴z =0y =，∴1n = 设平面BCP 的一个法向量为2(1,,)n b c =，则2n PC ⊥，2n BC ⊥，
∴223030
n PC c n
BC b ⎧⋅=-=⎪
⎨⋅=-=⎪
⎩
，∴c =b =
2(1n = ∴121212cos ,7||||2n n n n
n n ⋅<>=
==⋅⨯，
∵二面角B PC D --为钝角，∴二面角B PC D --的余弦值为7
-
.
考点：1线面垂直,二面角;2用空间向量法解决立体几何问题.
20. 如图，1F 、2F 为椭圆22
22:1x y C a b
+=的左、右焦点，D 、 E 是椭圆的两个顶点，
椭圆的离心率2
e =
，21DEF S ∆=．若00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,)x y N a b 称为
点M 的一个“好点”．直线l 与椭圆交于A 、B 两点， A 、B 两点的“好点”分别为P 、Q ，已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）AOB ∆的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）2
214
x y +=;（Ⅱ）AOB ∆的面积为定值1.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据c
e a =,()2
12
DEF S a c b ∆=-和222a b c =+可求得,,a b c 得值,从而可
得椭圆方程. （Ⅱ）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则11(,)2x P y 、21(,)2
x Q y .设出直线l 方程,与椭圆方程联立消去y 整理可得x 的一元二次方程,由韦达定理可得两根之和两根之积. 因为以PQ 为直径的圆经过坐标原点,所以OP OQ ⊥,由向量数量积公式可得1212,,,x x y y 的关系式.根据弦长公式求AB ,再根据点到线的距离公式求O 到直线l 的距离.从而可得AOB ∆的面积.
试题解析：
（Ⅰ）由题意得2c
e a ==
，故2c a =，12
b a =．
22111()()(112224DEF a S a c b a a ∆=
-⨯=⨯==， 故2
4a =，即2a =，所以112
b a ==
，c =故椭圆的标准方程为：2
214x y +=．
（Ⅱ）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则11(,)2x
P y 、21(,)2
x Q y ． ①当直线AB 的斜率不存在时，即12x x =，12y y =-， 由以PQ 为直径的圆经过坐标原点可得OP OQ ⊥，
即2
21211210224x x x y y y ⨯+=-=，解得22114x y =， 又点11(,)A x y 在椭圆上，所以
2211414
y y +=
，解得11|||2y x == 所以1121
||||12
AOB S x y y ∆=⨯-=． ②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+．
由22
14
y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得，222(41)8440k x kmx m +++-= 由根与系数的关系可得122841
km
x x k -+=+，21224441m x x k -=+
由以PQ 为直径的圆经过坐标原点可得OP OQ ⊥，即12
12022
x x y y ⋅+⋅=， 即
12
1204
x x y y +=． 故2
21212121214()()()44x x k kx m kx m x x km x x m ++++=+++ 222
221444844141
k m km mk m k k +--=⨯+⨯+++2222
821041k m m k =--=+ 整理得2222(21)(41)80m k k m -+-=，即222410m k --=．所以22412k m +=．
而22
2
212121222844
||()4()44141
km m x x x x x x k k ---=+-=-⨯++
22
22
16(41)(41)
k m k =
+-+
故12|||AB x x =-=
而点O 到直线AB 的距离
d =，
所以
11||22AOB
S AB d ∆=⨯=
1=
==． 综合①②可知AOB ∆的面积为定值1． 考点：1椭圆的简单几何性质;2直线与椭圆的位置关系. 21. 设*
n ∈N ，函数
ln ()n x f x x
=，函数e ()x
n
g x x =，(0,)x ∈+∞.
（Ⅰ）当1n =时，写出函数()1y f x =-零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线1l y =：的两侧，求n 的所有可能取值.
【答案】（Ⅰ）函数()1y f x =-不存在零点; （Ⅱ）{1,2}. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求导,再令导数等于0求其根.讨论导数的正负得函数的单调区间,根据函数的单调性求其最值.根据最值判断函数零点. （Ⅱ）分别对()y f x =和()y g x =求导,讨论导数的正负,得函数()y f x =和()y g x =的单调区间.根据单调性分别求其最值.根据题意其最值应一个大于1一个小于1.
试题解析：（Ⅰ）证明：结论：函数()1y f x =-不存在零点.
当1n =时，ln ()x
f x x
=
，求导得21ln ()x f x x -'=，令()0f x '=，解得x e =.
当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：
所以函数()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，
则当x e =时，函数()f x 有最大值1()f e e
=.
所以函数()1y f x =-的最大值为1(e)110e f -=-<，所以函数()1y f x =-不存在零点.
（Ⅱ）解：由函数ln ()n x f x x =求导，得 11ln ()n n x
f x x
+-'=， 令()0f x '=，解得1
e n x =.
当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：
所以函数()f x 在1(0,)n
e 上单调递增，在1(,)n
e +∞上单调递减， 则当1
n
x e =时，函数()f x 有最大值11
()n
f e ne
=
； 由函数()x n e g x x =，(0,)x ∈+∞求导，得 1
e ()
()x n x n g x x
+-'=， 令 ()0g x '=，解得x n =. 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：
所以函数()g x 在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，
则当x n =时，函数()g x 有最小值()()n e g n n
=. 因为*
n ∀∈N ，函数()f x 有最大值11
(e )1e
n
f n =
<， 所以曲线ln n x
y x
=在直线1l y =：
的下方，而曲线x n e y x =在直线1l y =：的上方， 所以e
()1n n
>，解得e n <.所以n 的取值集合为{1,2}. 考点：用导数研究函数的性质.
22. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ,BD 是⊙O 的直径，
CD AE ⊥于点E ,DA 平分BDE ∠.
（Ⅰ）证明：AE 是⊙O 的切线 （Ⅱ）如果24==AE AB ，,求CD .
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）CD = 【解析】
试题分析：（Ⅰ）连结OA ,证ADE OAD ∠=∠得OA ∥CE ,即可证得OA AE ⊥.（Ⅱ）证得ADE ∆∽BDA ∆根据相似比可求得2BD AD =.因为BD 是⊙O 的直径,所以
90BAD ∠=,从而可求得DE ,根据切割线定理得2AE ED EC =⋅,从而可得CD .
试题解析：解：
（Ⅰ）连结OA ，则OA OD =，所以OAD ODA ∠=∠， 又ODA ADE ∠=∠，所以ADE OAD ∠=∠，所以OA ∥CE ． 因为AE CE ⊥，所以OA AE ⊥． 所以AE 是⊙O 的切线． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得ADE ∆∽BDA ∆， 所以
AE AB AD BD =，即24
AD BD
=
，则2BD AD =，所以30ABD ∠=，从而30DAE ∠=， 所以2tan 30DE AE ==．由切割线定理，得2AE ED EC =⋅，
所以433CD ⎛⎫=
+ ⎪ ⎪⎝⎭
，所以CD =．
考点：1圆的切线; 2切割线定理.
23. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

已知曲线C 1的极坐标方程为θ
ρ2
2s i n 12
+=
，直线l 的极坐标方程为
θ
θρcos sin 24+=。

（Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值。

【答案】（Ⅰ）221:22C x y +=，4l x +=;. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据公式cos ,sin x y ρθρθ==可将曲线1C 与直线l 的极坐标方程化
为直角坐标方程. （Ⅱ）将曲线1C 方程化为参数方程,根据参数方程设点Q 坐标,根据点到线的距离公式求Q 到直线l 的距离,再用化一公式将其化简求最值. 试题解析：解：（Ⅰ）221:22C x y +=
，4l x +=
（Ⅱ）设),sin Q θθ，则点Q 到直线l 的距离
d =
=≥ 当且仅当242k π
π
θπ+=+，即24
k πθπ=+（k Z ∈）时, Q 点到直线l。

考点：1极坐标方程与直角坐标方程间的互化;2三角函数求最值.
24. 设不等式0212<+--<-x x 的解集为M ,M b a ∈,. （Ⅰ）证明：416131<+b a ； （Ⅱ）比较ab 41-与b a -2的大小，并说明理由.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）b a ab ->-241
【解析】
试题分析：（Ⅰ）令()12f x x x =--+,用找零点法去绝对值将其转化为分段函数,再解()20f x -<<求其解集M .根据公式x y x y +≤+即可证得416131<+b a . （Ⅱ）由（Ⅰ）得41,4122<<b a ,比较大小用作差法,即判断2
214(2)ab a b ---的正负即可. 试题解析：（Ⅰ）记⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<----≤=+--=1,312,122,321)(x x x x x x x f ， ∴由0122<--<-x 解得2121<<-x ，即集合)2
1,21(-=M ．
∴412161213161316131=⨯+⨯<+≤+b a b a ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得41,4122<<b a ， ∵)2(4)1681()2(41222222
b ab a b a ab b a ab +--+-=--- 0)14)(14(22>--=b a ， ∴22)2(41b a ab ->-，即b a ab ->-241． 考点：绝对值不等式.。