北京丰台区第二中学八年级数学上册第四单元《整式的乘法与因式分解》检测(有答案解析)

一、选择题
1．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（ ）（用含有a 、b 的代数式表示）．
A ．a-b
B ．a+b
C ．ab
D ．2ab 2．多项式2425a ma ++是完全平方式，那么m 的值是（ ） A ．10±
B ．20±
C ．10
D ．20 3．下列因式分解正确的是（ ）
A ．m 2+n 2=(m+n)(m-n)
B ．a 3-a=a(a+1)(a-1)
C ．a 2-2a+1=a(a-2)+1
D ．x 2+2x-1=(x-1)2 4．已知代数式2366x x -+的值为9，则代数式226x x -+的值为（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．7
5．如果多项式()2y a +与多项式()5y -的乘积中不含y 的一次项，则a 的值为（ ） A ．52- B ．52 C ．5 D ．-5
6．下列因式分解正确的是（ ）
A ．24414(1)1m m m m -+=-+
B ．a 2+b 2=(a +b )2
C ．x 2-16y 2=(x +8y )(x -8y )
D ．-16x 2+1=(1+4x )(1-4x )
7．将11n n x x +--因式分解，结果正确的是（ ）
A ．()121n x
x -- B ．()11n x x -- C ．()1n x x x -- D ．()()111n x x x -+-
8．记A n ＝（1﹣
212）（1﹣213）（1﹣214）…（1﹣21n
），其中正整数n ≥2，下列说法正确的是（ ）
A ．A 5＜A 6
B ．A 52＞A 4A 6
C ．对任意正整数n ，恒有A n ＜34
D ．存在正整数m ，使得当n ＞m 时，A n ＜
10082015
9．已知552a =，443b =，334c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．a c b >>
10．下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A ．21x -+
B ．21x +
C ．21x --
D ．221x x -+ 11．已知x ＝7+1，y ＝7﹣1，则xy 的值为（ ）
A ．8
B ．48
C ．27
D ．6
12．a ，b ，c 在数轴上的位置如下图所示，则下列代数式中值为正的是（ ）
A ．()()1a c b --
B ．()11c a b c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
C ．()1a a c b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
D ．()1ac bc -
二、填空题
13．如图，是一个运算的流程图，输入正整数x 的值，按流程图进行操作并输出y 的
值．例如，若输入x ＝10，则第一次输出y ＝5．若输入某数x 后，第二次输出y ＝3，则输入的x 的值为_________．
14．已知x 2－3x －1＝0，则2x 3－3x 2－11x ＋1＝________．
15．数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(,)a b 放入其中时，会得到一个新的数：(1)(2)a b --．例如：将数对(2,1)放入其中时，最后得到的数是________；
（1）将数对(23,2)+放入其中，最后得到的数________；
（2）现将数对(,0)m 放入其中，得到数n ，再将数对(,)n m 放入其中后，最后得到的数是________．（结果要化简）
16．如图是一块长方形ABCD 的场地，长AB a 米，宽AD b 米，从A 、B 两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处的路宽是2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为________2m ．
17．计算：()()299990.045⎡⎤⨯-⎣⎦
的结果是______． 18．如果()()223232x x y ---=-，那么代数式()3()4(2)x y x y x y ++----的值是
___________．
19．要使()()
22524x x x mx -+--的展开式中不含2x 项，则m 的值是______． 20．计算：32(2)a b -＝________． 三、解答题
21．先化简，再求值：2
()(2)(2)()x y x y y x y ⎡⎤---+÷-⎣⎦，其中1x =-，2y =． 22．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a 2+6a +8，
解：原式=a 2+6a +8+1-1=a 2+6a +9-1
=(a +3)2－12=[(a +3)+1][(a +3)-1]=(a +4)(a +2)
②M =a 2-2a －1，利用配方法求M 的最小值．
解：a 2-2a -1=a 2-2a +1=(a -1)2-2
∵(a -b )2≥0，∴当a =1时，M 有最小值-2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法．．．
因式分解：x 2+2x -3． （2）若M=2x 2-8x ，求M 的最小值．
23．阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如22926a b a b --+，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： ()()2222926926a b a b a b a b --+=---
()()()3323a b a b a b =+---
()()332a b a b =-+-．
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：22222x xy y x y -+-+；
（2）已知ABC 的三边长a ，b ，c 满足220a bc b ac +--=，判断ABC 的形状并说明理由．
24．（1）232
35ab a b ab （2）2323
3x x x x 25．若一个三位或三位以上的整数A 分成左、中、右三个数后满足：①中间数=左边数2-右边数2，则称中间数是A 的“吉祥数”．如231的“吉祥数”是3，4122的“吉样数”是12；
②中间数=（左边数-右边数）2，则称中间数是A 的“如意数”．如143的“如意数”是4，5161和1165的“如意数”是16．
（1）若一个三位数的“吉祥数”是5，则这个数是_________，若一个四位数的“如意数”是81，则这个数是____，
（2）一个“吉祥数”与一个“如意数”的左边数均为m ，右边数均为n ，且这个“吉祥数”比这个“如意数”大12，求满足条件的“吉样数”．
26．把下列多项式因式分解：
（1）2()4a b ab -+；
（2）22()()a x y b y x -+-．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y ，列方程求解，用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可．
【详解】
解：设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y ，
则：22x y a y x b
+=⎧⎨-=⎩ ， 解得：42a b x a b y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
， ∴阴影面积=（2a b +）2﹣4×（4a b -）22222224444
a a
b b a ab b ab ++-+=-=＝ab ． 故选C ．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，求得大正方形的边长和小正方形的边长是解题的关键． 2．B
解析：B
【分析】
由4a 2+ma+25是完全平方式，可知此完全平方式可能为（2a±5）2，再求得完全平方式的结果，根据多项式相等，即可求得m 的值．
【详解】
解：∵4a2+ma+25是完全平方式，
∴4a2+ma+25=（2a±5）2=4a2±20a+25，
∴m=±20．
故选：B．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
3．B
解析：B
【分析】
根据因式分解的定义判断即可．
【详解】
解：A、等号左右两边不相等，故错误；
B、a3-a=a(a+1)(a-1)，故正确；
C、右边不是整式的积，故错误；
D、等号左右两边不相等，故错误．
故选：B．
【点睛】
因式分解与整式的乘法互为逆变形，并且因式分解是等式的恒等变形，变形前后一定相等．
4．D
解析：D
【分析】
将x2﹣2x当成一个整体，在第一个代数式中可求得x2﹣2x＝1，将其代入后面的代数式即能求得结果．
【详解】
解：∵3x2﹣6x+6＝9，即3（x2﹣2x）＝3，
∴x2﹣2x＝1，
∴x2﹣2x+6＝1+6＝7．
故选：D．
【点睛】
本题考查了代数式求值，解题的关键是将x2﹣2x当成一个整体来对待．
5．B
解析：B
【分析】
把多项式的乘积展开，合并同类项，令含y的一次项的系数为0，可求出a的值．
【详解】
()2y a +()5y -=5y-y 2+10a-2ay=-y 2+(5-2a)y+10a ，
∵多项式()2y a +与多项式()5y -的乘积中不含y 的一次项，
∴5-2a=0，
∴a=
52
． 故选B ．
【点睛】 本题考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于将多项式的乘积展开，令含y 的一次项的系数为0，得到关于a 的方程．
6．D
解析：D
【分析】
把各式分解得到结果，即可作出判断．
【详解】
解： A 、()224412-1-+=m m m ，原选项错误，不符合题意；
B 、a 2+b 2不能分解，不符合题意；
C 、x 2-16y 2=(x +4y )(x -4y )，原选项错误，不符合题意；
D 、-16x 2+1=(1+4x )(1-4x ) ，原选项正确，符合题意；
故选：D ．
【点睛】
此题考查了运用公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 7．D
解析：D
【分析】
先提公因式x n-1，再用平方差公式进行分解即可.
【详解】
x n+1−x n-1=x n-1(x 2-1)=x n−1(x+1)(x−1)，
故选：D
【点睛】
此题考查了提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键. 8．D
解析：D
【分析】
根据平方差公式因式分解然后约分，便可归纳出来即可．
【详解】
解：A 、A 5＝22221111631111==2345105
⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
A 6＝231715612
⎛
⎫⨯-= ⎪⎝⎭， 37512
> ∴A 5＞A 6，
此选项不符合题意；
B 、A 4＝2221115111=2348⎛⎫⎛⎫⎛⎫-
-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴A 52＝
925，A 4A 6＝5735=81290⨯， ∵9352590
<， ∴A 52＜A 4A 6，
此选项不符合题意；
C 、∵A 2＝2131=24-
， 且345674681012
<<<<<， ∴n ≥2时，恒有A n ≤34
， 此选项不符合题意；
D 、当m ＝2015时，A m ＝
2015+120161008==2201540302015⨯， 当n ＞m 时，A n ＜10082015
， ∴存在正整数m ，使得当n ＞m 时，A n ＜
10082015， 此选项符合题意；
故选择：D ．
【点睛】
本题考查数字的变化规律，平方差公式，关键是根据题目找出规律是关键．
9．B
解析：B
【分析】
由552a =，443b =，334c =，比较543
2,3,4的大小即可．
【详解】
解：∵555112=(2)a =，444113(3)b == ，333114(4)c == ，435342>> ， ∴411311511(3)(4)(2)>>，即b c a >>，
故选B ．
【点睛】
本题考查了幂的乘方的逆运算及数的大小的比较，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算法则．
10．A
解析：A
【分析】
根据平方差公式：两个数平方的差，等于这两个数的和与差的平方解答．
【详解】
A 、21x -+，能用平方差公式分解因式；
B 、21x +，不能用平方差公式分解因式；
C 、21x --，不能用平方差公式分解因式；
D 、221x x -+，不能用平方差公式分解因式；
故选：A ．
【点睛】
此题考查平方差公式：22
()()a b a b a b -=+-，掌握公式中多项式的特点是解题的关键． 11．D
解析：D
【分析】
利用平方差公式计算即可.
【详解】
当x +1，y 1时，
xy +11）
）2﹣12
＝7﹣1
＝6，
故选：D.
【点睛】
此题考查平方差计算公式，已知字母的值求代数式的值，熟记平方差公式是解题的关键. 12．C
解析：C
【分析】
现根据各数在数轴上的位置确定其取值范围，然后可确定答案．
【详解】
解：由图知：0＜a ＜1，b ＞1，c ＜0，
∴()100a a c b ⎛⎫+
>-> ⎪⎝⎭，， ()1a a c b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭值为正，C 正确； 而()110c a b c ⎛⎫--< ⎪⎝⎭
，()()10a c b --<，()10ac bc -<；A 、B 、D 错误. 故选：C.
【点睛】
此题主要考查由取值范围确定代数式正负问题，解题的关键是根据点在数轴上的位置判断其正负．
二、填空题
13．9或10或11或12【分析】由运算流程图先求出第一次输出的数分为偶数或者奇数；然后再分两种情况求出输入的x 的值即可【详解】解：根据题意∵第二次输出设第一次输出的数是奇数m 时则解得：；设第一次输出的数 解析：9或10或11或12．
【分析】
由运算流程图，先求出第一次输出的数，分为偶数或者奇数；然后再分两种情况求出输入的x 的值即可．
【详解】
解：根据题意，
∵第二次输出3y =，
设第一次输出的数是奇数m 时，则
132
m +=，解得：5m =； 设第一次输出的数是偶数n 时，则
32
n =，解得：6n =． 当第一次输出为5时，又可以分为两种情况：
当x 为奇数时，则
152x +=，解得：9x =； 当x 为偶数时，则52
=x ，解得：10x =； 当第一次输出为6时，又可以分为两种情况： 当x 为奇数时，则
162x +=，解得：11x =； 当x 为偶数时，则62
x =，解得：12x =； 故答案为：9或10或11或12．
【点睛】
本题考查有理数的运算，结合编程的流程图出题，题目新颖，并且运用到了分类讨论这一重要数学思想．熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．
14．4【分析】根据x2－3x －1＝0可得x2－3x ＝1再将所求代数式适当变形后分两次整体代入即可求得值【详解】解：∵x2－3x －1＝0∴x2－3x ＝1∴==将x2－3x ＝1代入原式==将x2－3x ＝1代
解析：4
【分析】
根据x 2－3x －1＝0可得x 2－3x ＝1，再将所求代数式适当变形后分两次整体代入即可求得值．
【详解】
解：∵x 2－3x －1＝0，
∴x 2－3x ＝1，
∴3223111x x x --+
=223132611x x x x -+-+
=()22
233111x x x x x -+-+
将x 2－3x ＝1代入
原式=221113x x x +-+
=23)13(x x -+
将x 2－3x ＝1代入
原式=314+=，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查代数式求值，因式分解法的应用．解决此题的关键是掌握“降次”思想和整体思想． 15．-1-2-2m2+5m-2【分析】根据题目中的新定义运算规则可分别计算出数对和放入其中后最后得到的数再由数对放入其中得到数计算出m 与n 的关系再计算数对即可得到结果【详解】解：由题意得：数对放入其中时
解析：-1 -2 -2m 2+5m-2
【分析】
根据题目中的新定义运算规则，可分别计算出数对(2,1)和放入其中后，最后得到的数，再由数对(,0)m 放入其中，得到数n ，计算出m 与n 的关系，再计算数对(,)n m ，即可得到结果．
【详解】
解：由题意得：数对(2,1)放入其中时，最后得到的数是：（2-1）×（1-2）＝-1； 故答案为：-1；
（1）将数对3-1-2）＝-2；
故答案为：-2；
（2）根据数对(,0)m 放入其中得到数n ，可得：（m−1）×（0−2）＝n ， 则-2m+2＝n ， ∴将数对（n ，m ）放入其中后，最后得到的数是：（n−1）（m−2）＝（-2m+2−1）（m−2）＝（-2m+1）（m−2）＝-2m 2+5m-2．
故答案为：-2m 2+5m-2．
【点睛】
此题主要考查了新定义下的实数运算，弄清题中的新定义运算规则、实数及多项式乘多项式的运算法则是解本题的关键．
16．【分析】可以将草坪拼成一块完整的长方形分别表示出它的长和宽即可求出面积【详解】解：可以将草坪拼成一块完整的长方形这个长方形的长是：米宽是：米∴草坪的面积是：（平方米）故答案是：【点睛】本题考查多项式 解析：22ab a b --+
【分析】
可以将草坪拼成一块完整的长方形，分别表示出它的长和宽即可求出面积．
【详解】
解：可以将草坪拼成一块完整的长方形，
这个长方形的长是：112a a --=-米，宽是：1b -米，
∴草坪的面积是：()()2122a b ab a b --=--+（平方米）．
故答案是：22ab a b --+．
【点睛】
本题考查多项式的乘法和图形的平移，解题的关键是通过平移的方法将不规则的图形拼成规则图形进行求解．
17．1【分析】根据积的乘方的逆运算和幂的乘方计算即可【详解】解：原式故答案为：1【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算和幂的乘方熟练掌握法则是解题的关键
解析：1
【分析】
根据积的乘方的逆运算和幂的乘方计算即可
【详解】
解：原式()
()()()99
992999999990.0450.04250.110425⎡⎤⨯-⨯⨯⎣===⎦== 故答案为：1
【点睛】
本题考查了积的乘方的逆运算和幂的乘方，熟练掌握法则是解题的关键 18．8【分析】先解求出将代入代数式即可得解【详解】∵∴式子展开得：化简得：∴将代入代数式故答案为：8【点睛】此题考查整式的化简求值掌握整式的去括号法则和合并同类项法则是解题的关键
【分析】
先解()()
223232x x y ---=-，求出0y =，将0y =代入代数式()3()4(2)x y x y x y ++---- 即可得解．
【详解】
∵()()
223232x x y ---=-，
∴式子展开得：223232x x y --+=-，
化简得：0y =，
∴将0y =代入代数式()3()4(2)x y x y x y ++---- 34(2)x x x =+--
448x x =-+
8=．
故答案为：8．
【点睛】
此题考查整式的化简求值，掌握整式的去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 19．-6【分析】结合题意根据整式乘法的性质计算即可得到答案【详解】∵的展开式中不含项∴∴∴故答案为：-6【点睛】本题考查了整式的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法的性质从而完成求解
解析：-6
【分析】
结合题意，根据整式乘法的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵()()
22524x x x mx -+--的展开式中不含2x 项
∴()224520x x mx x ⨯-+⨯+⨯= ∴4100m -++=
∴6m =-
故答案为：-6．
【点睛】
本题考查了整式的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法的性质，从而完成求解． 20．【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方再把所得的幂相乘根据法则计算即可【详解】=故答案为：【点睛】此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方再把所得的幂相乘
解析：624a b
【分析】
积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，根据法则计算即可．
32(2)a b -=624a b ，
故答案为：624a b ．
【点睛】
此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
三、解答题
21．25x y -；-12
【分析】
整式的混合运算，中括号内利用完全平方公式和平方差公式展开，合并，再计算多项式除以单项式，然后代入求值．
【详解】
解：2()(2)(2)()x y x y y x y ⎡⎤---+÷-⎣⎦
=2222
2(4)()x xy y x y y ⎡⎤-+--÷-⎣⎦
=2222(2+4)()x xy y x y y -+-÷-
=2(25)()xy y y -+÷-
=25x y -
当1x =-，2y =时，原式=2(1)5221012⨯--⨯=--=-
【点睛】
本题考查整式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．
22．（1）()(33)x x +-；（2）-8
【分析】
（1）应用配方法以及平方差公式，把x 2+2x -3因式分解即可．
（2）应用配方法，把2x 2-8x 化成22(2)8x --，再根据偶次方的非负性质，求出M 的最小值是多少即可．
【详解】
解：（1）原式=22344x x +-+-
=2214x x ++-
=22(1)2x +-
=()(33)x x +-
（2）228x x -
=22(4)x x -
=2（2444x x -+-）
=22(2)8x --
因为2
(2)x -0≥，
所以当x =2时，M 有最小值为-8
【点睛】
此题主要考查了利用平方差公式和完全平方式进行因式分解，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．
23．（1）()()2x y x y ---；（2）ABC 为等腰三角形，理由见解析
【分析】
（1）前三项符合完全平方公式，最后一项用提公因式法进行分解因式，最后再提公因式（x-y ）即可．
（2）通过因式分解22a bc b ac +--()()0a b a b c =-+-=，因为0a b c +->，所以得0a b -=，则a b =，那么ABC 为等腰三角形．
【详解】
解：（1）原式()()22222x xy y x y =-+--
()()2
2x y x y =--- ()()2x y x y =---．
（2）结论：ABC 为等腰三角形
理由：∵22a bc b ac +--
()()22a b ac bc =---
()()()a b a b c a b =+---
()()a b a b c =-+-
0=
又∵0a b c +->
∴0a b -=
∴a b =
∴ABC 为等腰三角形．
【点睛】 此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
24．（1）
10615a b ；（2）23221x x -- 【分析】
（1）先算乘方，再确定符号，把系数，相同字母分别相乘除即可；
（2）先利用多项式乘以多项式和平方差公式计算，然后去括号合并同类项．
【详解】
解：（1）232
35ab a b ab 24935a b a b ab
1175a b ab
10615
a b =； （2）23233x x
x x 23233x x
x x 2222369x x x x
2
222129x x x 23221x x ．
【点睛】
本题主要考查了整式的混合运算，熟悉相关计法是解题的关键．
25．（1）这个数是352，这个数是9810；（2）满足条件的“吉样数”是7481，5212，5163，7136．
【分析】
（1）设左边数为m ，右边数为n ，由题意22
5m n -=，分解为51m n m n +=⎧⎨-=⎩解方程组=32
m n ⎧⎨=⎩即可求出，设左边数为m ，右边数为n ，由题意()281m n -=，直接开平方得9m n -=，直接确定m=9，n=0，即可写出这个数；
（2）由题意得()2
2212m n m n -=-+化简得26mn n -=，因式分解()6n m n -=分别讨论n 与m-n 都是6的因式组成方程组，解之即可．
【详解】
（1）一个三位数的“吉祥数”是5，,设左边数为m ，右边数为n ，m 、n 均为正整数， 225m n -=，
51
m n m n +=⎧⎨-=⎩， =32
m n ⎧⎨=⎩， 则这个数是352，
一个四位数的“如意数”是81，
设左边数为m ，右边数为n ，
()281m n -=，
9m n -=，
m=9，n=0，
则这个数是9810，
故答案为：352；9810；
（2）由题意得()2
2212m n m n -=-+， 26mn n -=，
()6n m n -=，
1=6n m n =⎧⎨-⎩，2=3n m n =⎧⎨-⎩，3=2n m n =⎧⎨-⎩，6=1n m n =⎧⎨-⎩
， 17n m =⎧⎨=⎩，2=5n m =⎧⎨⎩，3=5n m =⎧⎨⎩，6=7n m =⎧⎨⎩
， 求满足条件的“吉样数”是7481，5212，5163，7136．
【点睛】
本题考查是三位或三位以上的整数A 的新定义问题，认真学习题中的定义，掌握如意数与吉祥数的约定，会根据题中的要求列出等式，会解不定方程或方程组是解题关键． 26．（1）2()a b +；（2）()()()a b a b x y +--
【分析】
（1）根据完全平方公式展开，合并，再根据完全平方公式即可分解；
（2）先提取公因式(x y -)，再根据平方差公式继续分解即可．
【详解】
解：（1）原式2224a ab b ab =-++
222a ab b =++
2()a b =+；
（2）原式22()()a x y b x y =---
()22()a b x y =--
()()()a b a b x y =+--．
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．。