高考数学二轮复习专题2三角函数三角变换解三角形平面向量课时卷试题

专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
创 作人：
历恰面 日 期： 2020年1月1日
第1讲 三角函数的图象与性质
1.(2021年高中质检)函数y ＝tan ωx 在(－π2，π
2)内是减函数，那么( )
A ．0<ω≤1
B ．－1≤ω<0
C ．ω≥1
D ．ω≤－1
2．假设动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，那么|MN |的最大值为( )
A ．1 B. 2 C. 3 D ．2
3．函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
kx ＋1，(－2≤x <0)2sin (ωx ＋φ)，(0≤x ≤8π3)的图象如图，那么( )
A ．k ＝12，ω＝12，φ＝π
6
B ．k ＝12，ω＝12，φ＝π
3
C ．k ＝12，ω＝2，φ＝π
6
D ．k ＝－2，ω＝12，φ＝π
3
4．(2021年调研)以下四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(π
2，π)上为减函数的
是( )
A ．y ＝cos 2x
B ．y ＝2|sin x |
C ．y ＝(13)cos x
D ．y ＝－1
tan x
5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象关于直线x ＝π
3对称，f (x )图象的一个对称中
心是( )
A ．(π3，1)
B ．(π
12，0)
C ．(5π12，0)
D ．(－π
12
，0)
6．(2021年高考卷)动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，时间是t ＝0时，点A 的坐标是(12，3
2)，那么当0≤t ≤12时，动点A 的纵
坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A ．[0,1]
B ．[1,7]
C ．[7,12]
D ．[0,1]和[7,12]
7．函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间[－π4，π
3]上的最小值为－2，那么ω的取值范围是
________．
8．(2021年高考卷)函数f (x )＝3sin(ωx －π
6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称
轴完全一样．假设x ∈[0，π
2
]，那么f (x )的取值范围是________．
9．函数f (x )＝cos2x ＋2sin x 的最小值和最大值之和为________．
10．(2021年高考卷)函数f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π
2＋φ)(0<φ<π)，其图象过点
(π6，1
2
)． (1)求φ的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )
的图象，求函数g (x )在[0，π
4
]上的最大值和最小值．
11．函数f (x )＝2sin(x －π3)cos(x －π3)＋23cos 2(x －π
3)－ 3.
(1)求函数f (x )的最大值及获得最大值时相应的x 的值；
(2)假设函数y ＝f (2x )－a 在区间[0，π
4]上恰有两个零点x 1，x 2，求tan(x 1＋x 2)的值．
12．函数f (x )＝sin 2x 2＋3sin x 2cos x 2－1
2.
(1)求f (x )的单调递增区间；
(2)将y ＝f (x )的图象向左平移π
6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．假设y ＝g (x )(x >0)的图
象与直线y ＝1
2
交点的横坐标由小到大依次是x 1，x 2，…，x n ，…，求数列{x n }的前2n 项的和．
第2讲 三角变换与解三角形
1.(2021年东北三校模拟)假设3sin α＋cos α＝0，那么1
cos 2α＋sin2α的值是( )
A.103
B.53
C.2
3
D ．－2 2．角2α顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(－12，3
2)，2α∈[0,2π)，
那么tan α＝( )
A ．－ 3 B. 3 C.
33 D ．±33
3．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝5，这个三角形的面积为103，那么△ABC 外接圆的直径是( )
A ．7 3 B.1433
C.733
D ．14 3 4．(2021年调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，那么角B 的值是( )
A.π6
B.π3
C.π6或者5π6
D.π3或者2π3 5．有四个关于三角函数的命题： p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12；
p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；
p 3：∀x ∈[0，π],
1－cos2x
2
＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π
2.
其中假命题的是( )
A ．p 1，p 4
B ．p 2，p 4
C ．p 1，p 3
D ．p 2，p 4
6．(2021年高三质检)cos (π－2α)sin (α－π4)
＝－2
2
，那么cos α＋sin α等于( )
A ．－
72 B.72
C.12 D ．－1
2
7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .假设c ＝2，b ＝6，B ＝120°，那么a ＝________.
8．设f (x )是以2为周期的奇函数，且f (－25)＝3，假设sin α＝5
5，那么f (4cos2α)的值等
于________．
9．sin40°(tan10°－3)的值是______．
10．(2021年六联考)在平面直角坐标系xOy 中，点P (1
2，cos 2θ)在角α的终边上，点Q (sin 2θ，
－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →
＝－12
.
(1)求cos2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值．
11．在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝1
3.
(1)求sin A 的值；
(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．
12．(2021年高考卷)(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)△ABC 的面积S ＝12，AB →·AC →＝3，且cos B ＝35，求cos C .
第3讲 平面向量
a ＝(1,2)，
b ＝(－2，m )，且a ∥b ，那么2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4) 2．(2021年一中质检)以下命题正确的选项是( ) A ．单位向量都相等
B ．假设a 与b 一共线，b 与c 一共线，那么a 与c 一共线
C ．假设|a ＋b |＝|a －b |，那么a ·b ＝0
D ．假设a 与b 都是单位向量，那么a ·b ＝1 3.
如图，AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a 、b 表示AD →，那么AD →
等于( ) A ．a ＋34b B.14a ＋3
4b
C.14a ＋14b
D.34a ＋1
4
b 4．向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．假设向量
c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，那么c ＝( ) A ．(79，73) B ．(－73，－79)
C ．(73，79)
D ．(－79，－73
)
5．(2021年调研)a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．假设m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，那么角A ，B 的大小分别为( )
A.π6，π3
B.2π3，π6
C.π3，π6
D.π3，π3
6．非零向量AB →与AC →
满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，那么△ABC 为( )
A ．三边均不相等的三角形
B ．直角三角形
C ．等腰非等边三角形
D ．等边三角形
7．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假设AB →·AC →＝BA →·BC →
＝1，那么c ＝________.
8．(2021年模拟)向量a ，b 满足(a －b )·(2a ＋b )＝－4，且|a |＝2，|b |＝4，那么a 与b 夹角的余弦值等于________．
9．设集合D ＝{平面向量}，定义在D 上的映射f ，满足对任意x ∈D ，均有f (x )＝λx (λ∈R 且λ≠0)．假设|a |＝|b |且a 、b 不一共线，那么(f (a )－f (b ))·(a ＋b )＝________；假设A (1,2)，B (3，6)，C (4,8)，且f (BC →)＝AB →
，那么λ＝________.
10．(2021年高考卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．
11．点A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)． (1)假设|AC →|＝|BC →
|，求tan θ的值；
(2)假设(OA →＋2OB →)·OC →
＝1，其中O 为坐标原点，求sin2θ的值．
12．点C (0,1)，A ，B 是抛物线y ＝x 2上不同于原点O 的相异的两动点，且OA →·OB →
＝0. (1)求证：AC →∥AB →；
(2)假设AM →＝λMB →(λ∈R )，且OM →·AB →
＝0，试求点M 的轨迹方程．
专题二
第1讲 三角函数的图象与性质
1．【解析】y ＝tan ωx 在(－π2，π
2)内递减知ω<0，且|ω|≤1，那么－1≤ω<0.
2．【解析】f (x )＝sin x 及g (x )＝cos x 在[0,2π]的图象，由图象知，当x ＝3π4，即a ＝3π
4时，
得f (x )＝
22，g (x )＝－2
2
， ∴|MN |max ＝|f (x )－g (x )|＝ 2.
3．【解析】，在区间[－2,0)上是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的
斜率k ＝12.在区间[0，8π
3]上是三角函数，三角函数解析式中的参量ω由三角函数的周期决
定．由图象可知函数的周期为T ＝4×(8π3－5π3)＝4π，故ω＝12.将点(5π3，0)代入解析式y ＝2sin(
1
2x ＋φ)，得12×5π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－5π
6
，k ∈Z ，结合各选项可知，选项A 正确．
4．【解析】
，y ＝cos 2x ＝1＋cos2x 2，T ＝π，但在(π2，π)上为增函数；对于B ，作如下图图象，可得：
T ＝π，且在区间(π2，π)上为减函数；对于C ，函数y ＝cos x 在区间(π
2，π)上为减函数；函数y
＝(13)x 为减函数，因此，y ＝(13)cos x 在(π2，π)上为增函数；对于D ，函数y ＝－1tan x 在区间(π
2，π)上为增函数．应选B.
5．【解析】选B.∵T ＝2πω＝π，∴ω＝x ＝π3对称，故2×π3＋φ＝k 1π＋π2，∴φ＝k 1π－π6，k 1
∈Z ；由sin(2x ＋k 1π－π6)＝0，得2x ＋k 1π－π6＝k 2π，k 1，k 2∈Z ，∴x ＝π12＋(k 2－k 1)·π
2，当k 1
＝k 2时，x ＝π12.故函数f (x )图象的一个对称中心为(π
12
，0)，选B.
6．【解析】选D.∵T ＝12，∴ω＝2π12＝π
6，
从而设y 关于t 的函数为y ＝sin(π
6t ＋φ)．
又∵t ＝0时，y ＝32，∴φ＝π
3
， ∴y ＝sin(π6t ＋π
3
)，
∴2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π
2，即12k －5≤t ≤12k ＋1，k ∈Z 时，y 递增．
∵0≤t ≤12，∴函数y 的单调递增区间为[0,1]和[7,12]．
7．【解析】函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间[－π4，π
3]上的最小值为－2，那么sin ωx 在区
间[－π4，π
3
]上的最小值为－1，所以T ≤π，ω≥2.
【答案】[2，＋∞)
8．【解析】由对称轴完全一样知两函数周期一样， ∴ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x －π6)．
由x ∈[0，π2]，得－π6≤2x －π6≤5
6π，
∴－3
2≤f (x )≤3.
【答案】[－3
2
，3]
9．【解析】f (x )＝cos2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1 ＝－2(sin x －12)2＋32
.
当sin x ＝12时，f (x )取最大值3
2；
当sin x ＝－1时，f (x )取最小值－3.
故函数的最大值和最小值之和为32－3＝－3
2.
【答案】－3
2
10．【解】(1)f (x )＝12sin2x sin φ＋cos2x ＋12cos φ－1
2cos φ
＝1
2(sin2x sin φ＋cos2x cos φ) ＝1
2cos(2x －φ)． 又∵f (x )过点(π6，1
2
)，
∴12＝12cos(π3－φ)，cos(π
3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3
.
(2)由(1)知f (x )＝12cos(2x －π
3
)．
将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，从而得到的函数为g (x )＝
1
2cos(4x －π
3
)．
∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )max ＝12；当4x －π3＝2π
3，
即x ＝π4时，g (x )min ＝－1
4
.
11．【解】(1)f (x )＝sin(2x －2π3)＋3[1＋cos(2x －2π3)]－3＝sin(2x －2π3)＋3cos(2x －2π3
)＝2sin(2x －π3
)，
∴函数f (x )的最大值为2，此时2x －π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝5π
12＋k π，k ∈Z .
(2)f (2x )＝2sin(4x －π
3)，
令t ＝4x －π3，∵x ∈[0，π
4]，
∴t ∈[－π3，2π
3
]，
设t 1，t 2是函数y ＝2sin t －a 的两个相应零点(即t 1＝4x 1－π3，t 2＝4x 2－π
3)，
由函数y ＝2sin t 的图象性质知t 1＋t 2＝π，即4x 1－π3＋4x 2－π
3＝π，
∴x 1＋x 2＝π4＋π6，tan(x 1＋x 2)＝tan(π4＋π
6)＝tan π4＋tan π61－tan π4×tan π
6＝
1＋3
3
1－
33
＝2＋ 3. 12．【解】(1)f (x )＝sin 2x 2＋3sin x 2cos x 2－1
2
＝1－cos x 2＋32sin x －12
＝
32sin x －1
2
cos x ＝sin(x －π6
)．
由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π
3(k ∈Z )，
∴f (x )的单调递增区间是[2k π－π3，2k π＋2π
3
](k ∈Z )．
(2)函数f (x )＝sin(x －π6)的图象向左平移π
6个单位后，得到函数y ＝sin x 的图象，即g (x )＝
sin x .
假设函数g (x )＝sin x (x >0)的图象与直线y ＝1
2交点的横坐标由小到大依次是x 1，x 2，…，
x n ，…，那么由正弦曲线的对称性、周期性可知，
x 1＋x 22＝π2，x 3＋x 42＝2π＋π2，…，x 2n －1＋x 2n 2＝2(n －1)π＋π
2(n ∈N *)， 所以x 1＋x 2＋…＋x 2n －1＋x 2n
＝(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＋…＋(x 2n －1＋x 2n ) ＝π＋5π＋9π＋…＋(4n －3)π ＝[n ×1＋n (n －1)2
×4]×π＝(2n 2－n )π.
第2讲 三角变换与解三角形
1．【解析】α＋cos α＝0知cos α≠0，那么tan α＝－13，1
cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝
tan 2α＋11＋2tan α＝10
3
.
2．【解析】α终边在第二象限，依题设知tan2α＝－3，所以2α＝120°，得α＝60°，tan α＝ 3.
3．【解析】S ＝12
bc ·sin A ＝103，
即5c ·3
2
＝203，得c ＝8.
又由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即得a ＝7,2R ＝a sin A ＝143
3，
故外接圆直径为143
3.
4．【解析】(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝
3ac ，得a 2＋c 2－b 22ac ＝32·cos B sin B ，即cos B ＝32·cos B
sin B
，∴sin B
＝
32.又∵角B 在三角形中，∴角B 为π3或者2π
3
.应选D. 5．【解析】x ＝y ＝0，那么sin(x －y )＝sin x －sin y ，即p 2为真命题．对任意x ∈[0，π], 1－cos2x
2＝sin 2x ＝|sin x |＝sin x ，那么p 3为真命题．其中假命题为p 1，p 4. 6．【解析】选D.cos (π－2α)sin (α－π4)＝－cos2α
sin (α－π4)＝sin (2α－π
2)
sin (α－π
4)
＝2cos(α－π4)＝2cos α＋2sin α＝－2
2
∴sin α＋cos α＝－1
2，应选D.
7．【解析】由正弦定理得
6sin120°＝2sin C ，得sin C ＝1
2
，于是有C ＝30°.从而A ＝30°.于是，
△ABC 是等腰三角形，a ＝c ＝ 2.
【答案】 2 8．【解析】∵sin α＝
55
， ∴4cos2α＝4(1－2sin 2α)＝4×(1－2×15)＝12
5，
∴f (4cos2α)＝f (125)＝f [12
5＋2×(－1)]
＝f (25)＝－f (－2
5
)＝－3.
【答案】－3
9．【解析】原式＝sin40°(sin10°
cos10°－3)
＝sin40°(sin10°－3cos10°)cos10°
＝2sin40°(12sin10°－3
2
cos10°)
cos10°
＝2sin40°(sin30°sin10°－cos30°cos10°)cos10°
＝－2sin40°cos40°cos10°＝－sin80°sin80°＝－1.
【答案】－1
10．【解】(1)∵OP →·OQ →
＝－12，
∴12sin 2θ－cos 2θ＝－12， 即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12， ∴cos 2θ＝23
，
∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝1
3
.
(2)∵cos 2θ＝23，∴sin 2θ＝13，∴点P (12，23)，点Q (13，－1)．又点P (12，2
3)在角α的终边上，
∴sin α＝45，cos α＝3
5
.
同理sin β＝－31010，cos β＝10
10
，
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×1010＋35×(－31010)＝－10
10.
11．【解】(1)∵C －A ＝π
2且C ＋A ＝π－B ，
∴A ＝π4－B 2
.
∴sin A ＝sin(π4－B 2)＝22(cos B 2－sin B
2)．
∴sin 2A ＝12(cos B 2－sin B 2)2＝12(1－sin B )＝1
3.
又sin A >0，∴sin A ＝
3
3
. (2)由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ，∴BC ＝AC ·sin A sin B ＝6·3313＝3 2.由A ＝π4－B
2
知，A 、B 均为
锐角，由sin B ＝13，sin A ＝33，得cos B ＝223，cos A ＝6
3
.
又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝
33×223＋63×13＝6
3
， ∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×6×32×6
3＝3 2.
12．【解】
(1)①证明：如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α，β与－β，使α的始边为Ox ，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3；角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.那么P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))．
由P 1P 3＝P 2P 4及两点间的间隔 公式，得 [cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)
＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2.
展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
②由①易得，cos(π2－α)＝sin α，sin(π
2－α)＝cos α.
sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π
2－α)＋(－β)]
＝cos(π2－α)cos(－β)－sin(π
2－α)sin(－β)
＝sin αcos β＋cos αsin β，
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
(2)由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ， 那么S ＝12bc sin A ＝12，AB →·AC →＝bc cos A ＝3>0，
∴A ∈(0，π
2)，cos A ＝3sin A .
又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010
. 由cos B ＝35，得sin B ＝4
5
，
∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝
10
10
. 故cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－
1010
. 第3讲 平面向量
1．【解析】选B.∵a ∥b ，∴1×m －2×(－2)＝0， ∴m ＝－4.
∴2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，m ) ＝(－4,4＋3m )＝(－4，－8)．
2．【解析】，单位向量方向任意，大小相等，应选项A 错误；对于选项B ，假设b 为零向量，那么a ，c 不一定一共线，应选项B 错误；对于选项C ，根据向量的几何意义，对角线相等的四边形是矩形，所以a ·b ＝0，应选项C 正确；对于选项D ，单位向量可能有夹角，所以不一定是a ·b ＝1，应选项D 错误．应选C.
3．【解析】选B.AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →
＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b ，应选B.
4．【解析】c ＝(a ，b )，那么c ＋a ＝(1＋a,2＋b )，b ＝(2，－3)． 又∵(c ＋a )∥b ，∴(1＋a )(－3)－2(2＋b )＝0① 又∵a ＋b ＝(3，－1)，c ＝(a ，b )且c ⊥(a ＋b )， ∴3a －b ＝0②
解①②得⎩⎨⎧
a ＝－7
9
b ＝－7
3
，∴c ＝(－79，－7
3
)．
5．【解析】m ·n ＝0， ∴3cos A －sin A ＝0，
∴tan A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π
3，
又∵a cos B ＋b cos A ＝c sin C ， 即sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，
sin(A ＋B )＝sin 2C ，sin(π－C )＝sin 2C ，sin C ＝sin 2C ， ∴sin C ＝1，∵0<C <π， ∴C ＝π2，∴B ＝π6
.
6．【解析】AB →与AC →
满足(AB →|AB →|＋AC →
|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB
＝AC .
又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12
，所以∠BAC ＝π
3.所以△ABC 为等边三角形．应选D.
7．【解析】由题知AB →·AC →＋BA →·BC →＝2，即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →)＝(AB →
)2＝2⇒c ＝|AB →
|＝ 2.
【答案】 2
8．【解析】由(a －b )·(2a ＋b )＝－4，得 2a 2－a ·b －b 2＝－4.
∵a 2＝|a |2，b 2＝|b |2，设a 与b 的夹角为θ， 即2×4－|a |·|b |cos θ－16＝－4，得cos θ＝－12.
∴a 与b 夹角的余弦值等于－1
2.
【答案】－1
2
9．【解析】∵|a |＝|b |且a 、b 不一共线，
∴(f (a )－f (b ))·(a ＋b )＝(λa －λb )·(a ＋b )＝λ(|a |2－|b |2)＝0. ∵BC →＝(1,2)，∴f (BC →)＝λ(1,2)，AB →
＝(2,4)，∴λ＝2. 【答案】0 2
10．【解】(1)AB →＝(3,5)，AC →
＝(－1,1)．
求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →
|的大小． 由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →
|＝210， 由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →
|＝4 2. (2)OC →
＝(－2，－1)，
∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2， 易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5， ∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0得t ＝－115
.
11．【解】(1)∵A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)， ∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)，BC →
＝(2sin θ，cos θ－1)． ∵|AC →|＝|BC →|， ∴(2sin θ－1)2＋cos 2θ
＝(2sin θ)2＋(cos θ－1)2， 化简得2sin θ＝cos θ.
∵cos θ≠0(假设cos θ＝0，那么sin θ＝±1，上式不成立)， ∴tan θ＝12
.
(2)∵OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →
＝(2sin θ，cos θ)， ∴OA →＋2OB →
＝(1,2)． ∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1，
∴2sin θ＋2cos θ＝1.∴sin θ＋cos θ＝12.
∴(sin θ＋cos θ)2＝14，∴sin2θ＝－3
4
.
12．【解】设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，x 1≠0，x 2≠0，x 1≠x 2.
∵OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋x 21x 2
2＝0. 又x 1≠0，x 2≠0，∴x 1x 2＝－1.
(1)证明：AC →＝(－x 1,1－x 21)，AB →＝(x 2－x 1，x 22－x 21)．
∵(－x 1)(x 22－x 21)－(x 2－x 1)(1－x 21) ＝(x 2－x 1)[－x 1(x 2＋x 1)]－(x 2－x 1)(1－x 21) ＝(x 2－x 1)(－x 1x 2－x 21－1＋x 21)
＝(x 2－x 1)·0＝0， ∴AC →∥AB →.
(2)由题意知，A ，M ，B 三点一共线，OM ⊥AB ，由(1)知A ，B ，C 三点一共线． 又OA →·OB →＝0，∴OA ⊥OB .
故M 点是直角三角形AOB 的顶点O 在AB (斜边)上的射影，∠OMC ＝90°. ∴点M 在以OC 为直径的圆上，其轨迹方程为x 2＋(y －12)2＝1
4
(y ≠0)．
创作人：历恰面日期：2020年1月1日
创作人：历恰面日期：2020年1月1日。