重庆八中2021届高三上学期9月适应性月考数学试题含答案

6
4
3
2
7.过点 P x, y 作圆 C1 : x2 y2 1与圆 C2 : x 22 y 12 1 的切线，切点分别为 A, B ，若 PA PB ，则
x2 y2 的最小值为
5
A.
2
5
B.
C. 5
D. 5
4
8.已知函数
f
(x)
sin(x
)(
0,0
) 的图象经过点 B(
k
k
h
k
max
h 1
0 ，则 k
1.
（2）由（1）知，当 k 1 时，对于 x 1 ， ln x x 1 k x 1
则 f x ln x k x 1 0 x 12 ，从而不存在 t 1满足题意；
2
当 k 1时，令 G x f x x 12 ln x k x 1 x 12 ， x 0, ，
重庆市重庆八中 2020 学年第一学期高三年级
九月份适应性月考卷
理数试题
一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求
的.
1.已知集合 A x | x2 2x 3 0 ，则 ðR A
A.x | x 1 x | x 3
b 0
与直线
x
2b 有 且 只 有 一 个 交 点 ， 点 P 为 椭 圆 C 上 任 一 点 ，
P1
1,
0
,
P2
1,
0
，若
PP1
PP2
的最小值为
a 2
.
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设直线
l
:
y
kx
m
与椭圆
C
交于不同两点
A,
B
，点
O
为坐标原点，且
OM
1
OA OB
，当 AOB 的
6
1
D.先向右平移 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变
12
9. A, B, C, D, E, F 六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次. A, B, C 三人去询问比赛结果,裁判对 A 说：“你
和 B 都不是第一名”；对 B 说:“你不是最差的”；对 C 说:“你比 A, B 的成绩都好”.据此回答分析:六人的名次有
关于点 2,1 对称
C． f x 在 0, 4 单调递减
D． f x 在 0, 4 上不单调
6. 已知向量 a (3,1), b (1,3), c (k,2) ，若 (a c) // b ，则向量 a b 与向量 c 的夹角为
A.
B.
C.
D.
（ ）种不同情况．
A. 720
B. 240
C.180
D.128
10.若函数 f (x) cos x a cos x b 在区间0, 最大值是 M ，最小值是 m，则 M m
2
A．与 a 有关，且与 b 有关
B．与 a 有关，但与 b 无关
C．与 a 无关，且与 b 无关
D．与 a 无关，但与 b 有关
2
面积 S 最大时，求 T
1 MP1 2
2
MP2
的取值范围.
4
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系中，曲线
C1
的参数方程为
x y
t
3t sin
cos
（
t
为参数，
为
.
15.在边长为 1 的正方形 ABCD 中，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，若 AP AB AD ，则
的最大值为________.
2
16.在 ABC 中， D 是 BC 边上一点， BAD DAC 600 , BC 14 ，且 ABD 与 ADC 面积之比为 5 ，则 3
过定
点．
3
20．（12 分）
已知函数 f x ln x k x 1k R ． (1)若 f x 0 ，求 k ； (2)确定 k 的所有可能取值，使得存在 t 1 ，对任意的 x 1, t ，恒有 f x x 12 ．
2
21．（12 分）
已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1 a
2
2
则有 G x 1 x 1 k x2 1 k x 1 ．
x
x
由 G x 0 得， g x x2 1 k x 1 0 ， g 0 1 0 ， g 1 1 k 0 ，
则 x1 1 k
1
2
k 2
4
0
（舍），
x2
1
k
1 k 2 4 1 ．
2
当 x 1, x2 时， G x 0 ，故 G x 在1, x2 上单调递增．
sin( A B) 2 cos Asin C sin C 2 cos Asin C
sin C 0, cos A 1 A (0, ) A
（2）由（1）知
A
2
，由余弦定理得
a2
b2
c2
3 2bc cos A ，即1
b2
c2
bc
3
b2 c2 2bc ，所以 bc 1 （当且仅当 b c 1时取等号）
AD ______.
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须 作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。） （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）
ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ，已知 a 2c b . cos A cos B
b2
1
a 2
，……………………2
分
a2 1 a a 2, b 2 故椭圆 C 的标准方程为 x2 y2 1；……………………4 分
4b ．…
7分
从而
1 x1
1 x2
2
x1
x2
2x1x2 ，即 4k
8b ，则 b
1 2
k
…………………10
分
则直线
l
:
y
kx
1 2
k
k
x
1 2
，故直线过定点
1 2
,
0
．…………………12 分
20.解： （1） f x ln x k x 1 ， x 0, ．
若 k 0 ，由 f 2 ln 2 k ln 2 0 ，得 k 0 不符合题意；
A.
8
15
B.
8
19
C.
8
27
D.
8
4.设 a
0,
b
0
，若双曲线
C1
:
x a
2 2
y2 b2
1的离心率为 2
，则双曲线
C2
:
x2 a2
y2 b2
1 的离心率为（
）
A. 2
B. 2 3
3
5.已知函数 f x 1 log2 x log2 4 x ，则
A． y f x 的图像关于直线 x 2 对称
（2）)当 d
1时，由（1）可得， an
2n
1， bn
2n1
，则 cn
2n 1 2n1
Tn
1
3 21
5 22
2n 1 2n1
1 2
Tn
1 21
3 22
5 23
2 n 3 2 n1
2 n 1 2n
1 2
Tn
1+
2 21
2 22
2 23
2 2 n1
2
n 2
1
n
3
2 n 3 2n
Tn
6
2n 3 2n1
,0) ，且
f
(x) 的相邻两个零点的距离为
，
2
6
2
为得到 y f (x) 的图象，可将 y cos x 图象上所有点
1
A.先向右平移 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变
6
2
B.先向右平移 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的 1 ，纵坐标不变
12
2
C.先向右平移 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变
an bn
,求数列cn 的前 n 项和 Tn
．
19．（12 分）
已知动圆过定点 A0, 2 ，且在 x 轴上截得的弦长为 4 ．
（I）求动圆圆心 M 的轨迹方程 C ；
（II）设不与
x
轴垂直的直线 l
与轨迹 C
交于不同两点 P x1,
y1 , Q x2 ,
y2 ．若
1 x1
1 x2
2 ，求证：直线 l
从而当 x 1, x2 时， G x G 1 0 ，即 f x k x 1 .
综上， k 的取值范围是 ,1 ．
21. 解：解：（1）设点 P x, y ，由题意知 a 2b ， C : x2 2 y2 a2 ，则
PP1
PP2
x2
y2
1
y2
a2
1，
当 y b 时， PP1 PP2 取得最小值，即 a2
（1）求 A ； （2）若 a 1 ，求 ABC 面积的最大值.
18．（12 分）
设等差数列an 的公差为 d ,前 n 项和为 Sn ，等比数列 bn 的公比为 q .已知 b1 a1 , b2 2 , q d , S7 49 . (1)求数列an ,bn 的通项公式
(2)当 d
1 时，记 cn
11.已知水平地面上有一篮球，球的中心为 O ，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标 系中，椭圆中心 O 为原点，设椭圆的方程为 x2 y2 1 ，篮球与地面的接触点为 H ，则 OH 的长为
42
A. 6 2
B. 2
C. 3
D. 10
2
3
12.已知从 2 开始的连续偶数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为 2,第二行为 4,6,第三行为 8,10,12,第四行为
已知 f x x 1
x
（1）求不等式 f x 1 3
x
的解集；
（2）若 f x 的最小值为 M ， a b 1 M , a,b R ，求 f 2 a f 2 b 的最小值. 2
5
重庆市重庆八中 2020 学年第一学期高三年级
九月份适应性月考卷
数 学 试 题（理科）参考答案
S ABC
1 2
bc sin
A
3 ，所以 ABC 面积的最大值为 3 .
4
4
18．解：（1）由题意得
2Sa7 1d
1 7a4
7 a1
3d
49
a1 6
，则
d
1 3
或
a1 d
1 2
.
当
a1 d
6 1 3
时，
an
1 3
n
17 3
， bn
6
1 n1 3
当
a1 d
1 2
时，
an
2n
1， bn
2n1
一. 选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
C
B
B
D
B
A
C
B
B
C
二. 填空题
（13） 1 （14） 2x y 1 0
（15） 3
15
（16）
4
三. 解答题
17. 解：（1）由
a
2c b 可得：a cos B 2c cos A b cos A,
cos A cos B
由正弦定理可得：sin Acos B 2 cos Asin C cos Asin B
0,
），以原点
O
为极点，
x
轴的非负
半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2
的极坐标方程为
2
4
4 3cos2
0,
,点 P
3,0 .
（1）写出曲线 C2 的普通方程和参数方程；
（2）曲线 C1 交曲线 C2 于
A, B 两点，若
PA
PB
2 5
，求曲线
C1
的普通方程.
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
14,16,18,20,如图所示,在宝塔形数表中位于第 i 行,第 j 列的数记为 ai, j ,比如 a3,2 10 ， a4,2 16 ， a5,4 24 ,
若 ai, j 2020 ,则 i j =
2
46
12 10 8
14 16 18 20
30 28 26 24 22
……
A. 65
B.70
B.x | x 1 x | x 3
C.x | 1 x 3
D.x | 1 x 3
2.若复数 z m2 m (m 1)i 是纯虚数，其中 m 是实数，则 1 z
A. i
B. i
C. 2i
3.设数列an 前 n 项和为 Sn ，已知 Sn 3an n ，则 a3
D. 2i
9
19. 解： （I）设动圆圆心为 M x, y ，则 x2 y 22 4 y2 ，化简得 x2 4 y ；…… 5 分
（II）易知直线 l 的斜率存在，设 l : y kx b ，则
6
由
x2 4 y kx
y
b
得
x
2
4kx 4b 0 ，由韦达定理有： x1 x2
4k, x1x2
若 k 0 ， f x 1 k 1 kx ，
x
x
当
x 0,
1 k
时，
f
x
0，
f
x
单调递增；当
x
1 k
,
时，
f
x
0，
f
x 单调递减；
则
f
x max
f
1 k
ln
1 k
k
1 k
1
ln k
1 k
0 ln k
k
1 0
令 hk ln k k 1, hk 1 1 1 k , h k 在 x 0,1 单 调 递 增 ； 在 x 1, 单 调 递 减 ；
C. 71
D. 72
二. 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在答题卡相应位置上 .
13.设 P x0 , y0 为直线 x y 1与圆 x2 y2 3 的交点，则 x0 y0 ____________. 14. 已 知 函 数 f x 为 奇 函 数 ， 当 x 0 时 ， f x x3 ln x ， 则 曲 线 y f x 在 点 1, f 1 处 的 切 线 方 程