立体几何总复习优秀课件(1)

B′
例题三(2)
FC 面AFD 1证 EF 面AFD FC ' EF
'
A
E
C
B F
B′
D

（2）①作C′G⊥A′B′， 垂足为G，连接FG. A′
C′
例题三(3)
②证∠GFC′即为所求 ③解RtΔFGC′得
4 10 15
A B
C
Sin∠GFC′= 点评： 本题证明的转 化途径是：线线垂直→线面 A′ 垂直→线线垂直.
例题三(4)
V V A E CP P E C A
1 1 S AP S h AEC PEC 3 3
P
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S AP AEC h 1 S PEC
A
D C
E
B
例题三(5)
点评： 1.作辅助线，依据定理，一般是中点做中线． 线线平行 线面平行 面面平行. 2.面面垂直 线面垂直 线线垂直. 3.求点到面的距离的方法： （1）转化成线到面的距离（平行移动的思路）.

2 x 62 S 96 , S S x A B C B E F B D C 5 4 1 2
PE⊥平面ABC，
V（x）=
6 1 x (9 x 2 ) 3 12
(0 x 3 6 )
例题七（4）
6 1 2 V '( x ) (9 x ) ,所以x (0, 6) 时， v '( x ) （2） 3 4
例题五(2)

分析:本题主要考查线面角、面面角和点到平面的 距离等知识.要求空间角和空间距离一般是先依据 定义把角和距离作出来. 解: （1）如右图，过A′作 A′D⊥AC, D是垂足. ∵平面 A′ACC′⊥底面ABC ∴ A′D ⊥底面ABC ∴∠A′AD是A′A与底面AB C所成的角.依题设,△ A′AC是等腰直 角三角形，所以∠A′AD=45°.

例题二(1)
' ' ' ' A B C DA B C D 例2 如下图所示,在正方体
中,M,N分别为A ' B ' , BB ' 的中点,正方体的棱长 为 a ,求 : (1)异面直线AM与CN所成的角的大小; (2)异面直线AM与BD所成的角的大小; (3) 求 A' A与BD 的距离.
③拆、割、补等方法是解决体积问题的常用方 法． 2.注重立体几何中蕴含的思想方法．如“转 化”，“平行移动”，“割补”，“等积变 换”，“立体图形平面化”的思想．

重难点突破
1. 在三种平行或垂直的判断中，如何创造条件， （即添辅助线、面）来实现线线、线面、面面 平行和垂直关系的转化． 2. 在求距离和空间角中，如何作出所求的角和 距离．其中三垂线定理和逆定理是重要的理论 依据，也是解题关键． 3.正确的作出垂线或垂面是应用定理和性质的 关键．
例题五(5)


点评:二面角的求法（作、 证、求） ①定义法 （在棱上选择理 想点） ②作棱的垂面 ③三垂线定理 ④cosθ= S 射 影
S
例题六(1)
例6 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱和底面 的边长都是a，截面AB1C 和截面A1BC1相交于DE， 求四棱锥B-B1DE的体积.
0 ，V 6 x 3 6 时 ， （x）单调递增； v '( x ) 0 , V（x）
单调递减；因此x=6时，V（x）取得最大值 12 6 ； （3）过F作MF//AC交AD与M,
B M B F B E B E ,M B 2 B E 1 2 ，PM= 6 2 则 1 A B B C B D A B 2 6 6 M FB FP F B C 5 49 4 2 3 3 6
例题五(3)
（2）如图，过D作DE ⊥AB于E,连结A′E,因A′D ⊥底 面ABC，则根据三垂线定理得A′E ⊥AB，故∠A′ED 为所求二面角的平面角，为了求其大小，可利用△ A′AC和△ ABC，前者是等腰直角三角形，斜边AC 1 A的中点， C 3; 上的高A′D= D是AC DE ⊥AB， 2 因为AB ⊥BC，所以DE// BC， 1 DE= B C 1; ' 2 A D ' ta n A E D 3 ，得所求二面角等于60°. 从而

例题一（1）
例1 正三棱锥A-BCD的侧棱长为4，顶角 ∠BAC=30°，一动点从B点出发，经侧面一周 再回到B点，求它所经过的最短路程． 答： 4 2
（2）
例题一（2）
点评： （1） 侧面上两点间的最近距离问题一般都能 展开到一个平面上，转化成平面上两点间的最 近距离求解． （2）球面上两点间最近距离是经过这两点的 大圆的劣弧长．
'
例题二(6)

点评：本题的前两问是两条异面直线所成角的 问题.关键是构造异面直线所成的角，通常有如 下三种方法： （1）过一条异面直线上的已知点，作另一条 直线的平行线，使异面直线所成角成为相交直 线的交角. （2）当异面直线依附于某几何体且直接过异 面直线上的点平移直线有困难时利用几何体中 的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该 点.
点评： 求体积的一般方法： ① 公式法：对于柱、锥体当底面积和高都 易求时可采用公式求解． ② 间接法：当底面积和高难以计算时，转 化成与它等积或有一定比例关系的体积计算问 题． ③ 割补法：将复杂的几何体分割成几个简 单的几何体．

例题七（1）

例7 （2007广东）如下图所示，等腰△ABC的底 边 AB 6 6 ，高CD=3，点E是线段BD上异于点B， D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将 △BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AC，记BE=x， V（x）表示四棱锥 P—ACFE的体积．
2 C N P a rc c o s . 5 2 A M 与 C N 所 成 的 角 的 大 小 为 a rc c o s 5
例题二(4)
(2)如上图所示，连结BD,
'' '' 连 结 B D ， 则 D B Q （ 或 其 补 角 ） 为 A M 与 B D 所 成 的 角
立体几何总复习
重点知识展望
1．空间直线和平面的位置关系（垂直、平 行）． 2．空间的距离和角（七个距离、三个角、异 面直线的距离：给出距离 会证、会求）． 3．侧面积、表面积、体积的计算． 4．空间几何体中的最值问题． 5．注重以柱体、锥体为载体的几何有关的问 题．

学法点拨

1.总结方法，找出规律 立体几何中两大问题 ： ①空间位置关系的 论证．解决这类问题要熟练掌握基本定理、公 理、定义;注意把立体几何问题转化成平面问题 来解决． ②空间量的计算问题．（如距离、角、 侧面积和体积），一般空间角和距离通过“作、 证、求”方法来解决，其中三垂线定理是做题 的重要工具．
例题二(5)
(3)
连 结 A C 与 B D， 则 A C 与 B D 交 于 点 O . 如 上 图 所 示 , AO与 AA ', BD 分 别 交 于 点 A, O , 且 AA' AO , BD AO , A O 是 A A '与 B D 的 公 垂 线 段 . 在 正 方 形 A B C D中 , 边 长 A B a , 2 AO a, 2 2 即 A A 与 B D间 的 距 离 为 a. 2
例题二(2)
解: (1)如图所示,在平面 A' ABB' 内作NP//AM,交AB 于P，则 PNC （或其补 角）为AM与CN所成的角.

∵ 正方体的棱长为a
例题二(3)
5 CN a,NP 2 a 2 2 CP a ( ) 4 NP2 cos C N P 1 5 AM a, 2 4 17 a. 4 CN 2 CP2 2 2 N P C N 5
F
C′
G B′
例题五(1)

例5 已知斜三棱柱ABC-A′B′C′的侧面A′ACC′与底 面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2, ' ' ' ' ，如图. A C 2 3 , A AA C 且 A AA C （1）求侧棱A′A与底面ABC所 成角的大小； （2）求侧面A′ABB′与底面 ABC所成二面角的大小； （3）求顶点C到侧面A′ABB′ 的距离.
例题七（2）
（1）求V（x）的表达式； （2）当x为何值时，V（x）取得最大值？ （3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC 与PF所成角的余弦值.

例题七（3）
分析：本题是折叠立体的问题，综合了立体几何、 函数、导数和极值等知识，较全面地考查了空间想 象能力、推理论证能力和运算求解能力，以及创新 意识和数学地分析、解决问题的能力. 解（ : 1）由折起的过程可知，

（2）做垂线（垂足位置）求垂线长. （3）用体积法，即等积变换（三棱椎）.
例题三(1)
例4 已知直三棱柱ABC-A′B′C′，AB=AC，F为 BB′上一点，且BF=BC=2a,FB′=a. （1）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的 A C 任意一点，证明:EF⊥FC′； E （2） 若A′B′=3a， D B 求FC′与平面AA′BB′ 所成角的正弦值. F C′ A′
在 平 面 A A B B 中 , 过 B 作 B Q / / A M ， 交 A B 于 Q
B 'Q D Q 5 a, 2 3 2 a , D 'Q a , 2
'
'
'
'
B 'D '
' ' 2 ' 2 ' 2 B D B Q D Q 1 0 ' ' c o sD B Q ' ' ' 2 B D B Q 1 0
，
例题七（5）
8 4 7 2 2 c o s P F M ，∴异面直线AC 在△PFM中， 4 2 7
例题六(2)
1 解 1 ：VBB1ED VA1 BB1C1 4 1 1 3 3 VB A1B1C1 V a 4 12 3
解 2： V
B 1 DBE
1 V B 1 A 1 BC 1 4 1 V B A1B 1C 1 4 1 3 V a 12 3
3
例题六(3)
CD PA AD PA A
C D 面 P A D
例题三(3)

G 面 P A D , F G A F , F G E G ∴ F 又∵二面角P-CD-B为45°. 由二面角平面角的定义 知∠PDA= 45°, ∴AF⊥PD, ∴EG ⊥PD. EG FG ∴E G P D EG ⊥面PCD EG 面PEC FG PD F 面PEC⊥面PCD. (3) ∵ AF//面PEC F到面PEC的距离即A到面PEC距离,
例题二(7)

（3）通过构造辅助平面、辅助几何体来平移
直线，但应注意；若用余弦定理求出cosα<0 （α是平移后相交直线的交角），则异面直线所 成的角应为 . 本题的第(3)问是两条异面直线间的距离的问 题.关键是找到两条异面直线的公垂线,则公垂线 段的长即为所求.
例题三(1)


例3 如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，PA⊥平面
D E
例题五(4)

（3）过C作CF ⊥平面A′ABB′，垂足为F， 如右图，∵BF是BC在侧面A′ABB′上的射影， 且BC ⊥AB，∴AB ⊥ BF， ∴ BF//A′E. 又BC//DE,故∠CBF= ∠ DEA′=60°. 又CF ⊥ FB，BC=2,所以CF= BCsin ∠ CBF= 3 . 即点C到侧面A′ABB′的距离为 . 3
P
ABCD，E、F分别是AB、PD 的中点，又二面角P-CD-B为 45° . （1） 求证:AF∥平面PEC; （2） 求证:平面PEC⊥平面 PCD; （3） 设AD=2，CD= 2 2 ， E 求F点到平面PEC的距离.
F
A
G
D
B
C
例题三(2)

证明: (1)取PC的中点，连结EG、FG，则 FG∥CD,FG=1/2CD, AE//CD,AE=1/2CD, ∴ FG//AE,FG=AE. ∴四边形AEGF是平行四边形. ∴AF//EG,AF 平面PEC. ∴ AF//平面PEC. (2) C D A D