2020-2021学年荆州市沙市中学高二(下)期中数学复习卷1(含答案解析)

2020-2021学年荆州市沙市中学高二(下)期中数学复习卷1
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设f′(1)=4，则ℎ→0lim
f(1+2ℎ)−f(1)ℎ
=( )
A. 8
B. 4
C. −8
D. −4
2. 执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①
；②
；③
；④
.则输
出的函数是( )
A.
B.
C.
D.
3. 条件p ：a ≤2，条件q ：a(a −2)≤0，则￢p 是￢q 的( )
A. 充分但不必要条件
B. 必要但不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 小李练习射击，每次击中目标的概率为1
3，用ξ表示小李射击5次击中目标的次数，则ξ的均值Eξ
与方差Dξ的值分别是( )
A. 53，9
10
B. 53，5
3
C. 53，10
9
D. 53，2
9
5. 已知函数f(x)=e x −ax −b(a ∈R,b >0)，且对任意的x ∈R ，都有f(x)≥0恒成立，则ab 的
最大值为( )
A. e
B. e
2
C. e 2
D. e 2
2
6. x(x −1
x )6展开式中含x 项的系数是( )
A. 20
B. −20
C. −60
D. −10
7. 抛掷一枚均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点)一次，观察掷出向上的
点数，设事件A 为掷出向上为偶数点，事件B 为掷出向上为3点，则
( )
A.
B.
C.
D.
8. 已知变量y 关于x 的回归方程为y =e bx−0.5，其一组数据如表所示：若x =5，则预测y 值可能
为( )
x1234
y e e3e4e6
A. e5
B. e112
C. e7
D. e152
9.从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有多少种选法？()
A. 11
B. 12
C. 30
D. 36
10.双曲线x2
4−y2
3
=1的渐近线方程为()
A. y=±√3
2x B. y=±2x C. y=±1
2
x D. y=±2√3
3
x
11.若f(x)在R上是偶函数，且在[0,+∞)上是减函数，则下列结论正确的是()
A. f(1.1)>f(−2.3)>f(3.5)
B. f(3.5)>f(1.1)>f(−2.3)
C. f(−2.3)>f(3.5)>f(1.1)
D. f(−2.3)>f(1.1)>f(3.5)
12.已知函数f(x)=x|x|−2x，则下列结论正确的是()
A. f(x)是偶函数，递增区间是(0,+∞)
B. f(x)是偶函数，递减区间是(−∞,1)
C. f(x)是奇函数，递减区间是(−1,1)
D. f(x)是奇函数，递增区间是(−∞,0)
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知随机变量X～N(1,σ2)，且P(−2<X≤1)=0.4，则P(X>−2)=______
14.二、填空题
已知函数，则f(7)的值等于 ___________
函数的单调递增区间为___________
化简4sin200+tan200可求出具体的值，则这个值为___________
O为三角形ABC内的一点，且，三角形ABC的面积为S，三角形OBC的面积为S1，则的值为___________
15.若“∀x∈R，m≥−x2+2x”是真命题，则实数m的最小值为______．
16.如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于
点A、B、C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是。

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知f(x0)=xe x，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，..，f n(x)=f′n−1(x)(n∈N∗)(f i′(x)为f i(x)的
导函数，i=0，1，2，…，n−1)
(Ⅰ)请写出f n(x)的表达式(不需证明)；
(Ⅱ)求f n(x)的极小值；
(Ⅲ)设g n(x)=−x2−2(n+1)x−8n+8，g n(x)的最大值为a，f n(x)的最小值为b，试求a−b 的最小值．
18.某商场向顾客甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．
(Ⅰ)若发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；
(Ⅱ)若商场发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X，求X 的分布列和期望．
19.已知椭圆C1：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为1
2
，抛物线C2的焦点与椭圆C1的右焦点F重合，
C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点．
(1)求AB
CD
的值；
(2)设M为C1与C2的公共点，若OM=2√7
3
，求C1与C2的标准方程．
20.为了解市民对某项政策的态度，随机抽取了男性市民25人，女性市民75人进行调查，得到以
下的2×2列联表：
(1)根据以上数据，能否有97.5%的把握认为市民“支持政策”与“性别”有关？
(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有市民中，采用随机抽样的方法抽取4位市民进
行长期跟踪调查，记被抽取的4位市民中持“支持”态度的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：K2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．
21.如图，D、E分别是正三棱柱ABC−A1B1C1的棱AA1、BB1的中点，且棱AA1=8，AB=4．
(Ⅰ)求证：A1E//平面BDC1；
(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一点M，使二面角M−BC1−B1的大小为60°，若存在，求AM的长；
若不存在，说明理由．
22.已知函数f(x)=sin x+cos x，x∈(0,2π)．
(1)求x0，使f′(x0)=0；
(2)解释(1)中x0及f′(x0)的意义．
【答案与解析】
1.答案：A
解析：解：由题意，可知： ℎ→0
lim
f(1+2ℎ)−f(1)
ℎ
=2⋅ℎ→∞
lim
f(1+2ℎ)−f(1)
2ℎ
=2⋅f′(1)=2⋅4=8．
故选：A ．
本题可根据题意将极限稍作变形即可得到结果．
本题主要考查函数极限在一点处的极限的定义式，本题属基础题．
2.答案：A
解析：试题分析：对①
，显然满足
，且存在零点.故选A ．
考点：程序框图及函数的性质．
3.答案：A
解析：解：∵条件p ：a ≤2， ∴P =(−∞,2]
∵条件q ：a(a −2)≤0， ∴Q =[0,2] ∵Q ⊊P
∴q 是p 的充分不必要条件
根据互为逆否的两个命题真假性一致可得
￢p 是￢q 的充分不必要条件
故选：A ．
由已知中条件p ：a ≤2，条件q ：a(a −2)≤0，我们可以求出对应的集合P ，Q ，然后分析两个集合间的包含关系，进而根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，确定q 是p 的什么条件，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致得到答案．
本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，其中求出对应的集合P ，Q ，然后分析两个集合间的包含关系，进而根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，确定q 与p 之间的关系是解答本题的关键．
解析：解：根据题意，知ξ～B(5,1
3
)，
∴Eξ=5×1
3=5
3
；
Dξ=5×1
3×(1−1
3
)=10
9
．
故选：C．
利用二项分布的期望与方差的公式进行计算即可．
本题考查了离散型随机变量的数学期望和方差的问题，解题时可以直接利用二项分布的期望与方差的公式计算，是基础题．
5.答案：B
解析：解：函数f(x)=e x−ax−b(a∈R,b>0)，那么f′(x)=e x−a
①当a≤0，f′(x)>0，在R上递增，无最小值，∴f(x)≥0不成立
②当a>0，令f′(x)=0，可得x=lna，
当x∈(−∞,lna)时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,lna)递减；
当x∈(lna,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(lna,+∞)递增；
当x=lna时，f(x)取得最小值为：a−alna−b≥0
∵a>0，∴a2−a2lna−ab≥0，即ab≤a2−a2lna，
令g(a)=a2−a2lna(a>0)，那么g′(a)=2a−2alna−a
令g′(a)=0，可得a=√e
当a∈(0,√e)时，g′(a)>0，g(x)在(0,√e)递增；
当a∈(√e,+∞)时，g′(a)<0，g(x)在(√e,+∞)递减；
∴当a=√e时，g(a)可以最大值为e
2
∴ab≤e 2
故选：B．
利用导函数讨论f(x)单调性，即可求解a，b的关系，构造新函数求解ab的最大值即可．
本题主要考查函数最值的求解，以及不等式恒成立问题，利用导数求出函数的最值是解决本题的关键．
解析：解：因为(x−1
x )6展开式的通项公式为：T r+1=∁6r⋅x6−r⋅(−1
x
)r=(−1)r⋅∁6r⋅x6−2r；
令6−2r=0⇒r=3；
故x(x−1
x
)6展开式中含x项的系数是：(−1)3⋅∁63=−20；
故选：B．
求出(x−1
x
)6展开式的常数项即可求解结论．
本题考查二项式定理的运用，考查利用展开式确定指定项的系数，解题的关键是正确写出展开式的通项．属于基础题．
7.答案：B
解析：试题分析：事件为掷出向上为偶数点，∴，事件为掷出向上为3点，∴，又事件、是互斥事件，事件为事件、有一个发生的事件，∴，故选B．
考点：互斥事件的概率．
8.答案：D
解析：解：把y=e bx−0.5两边取对数，得lny=bx−0.5，
令z=lny，则z=bx−0.5，
则：
x1234
z1346
x−=1+2+3+4
4=2.5，z−=1+3+4+6
4
=3.5，
由z−=bx−−0.5，得3.5=2.5b−0.5，故b=1.6．∴z=1.6x−0.5，y=e1.6x−0.5，
当x=5时，y=e1.6×5−0.5=e152．
把y=e bx−0.5两边取对数，得lny=bx−0.5，求解b，把x=5代入求得z，进一步求得y得答案．本题考查线性回归方程的应用，考查数学转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
9.答案：C
解析：解：6×(6−1)=6×5=30(种)
故选：C．
根据乘法原理，即可得出结论．
本题考查了排列组合中的乘法原理，即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有M n种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×M n种不同的方法；本题分两步讨论选法是解答的关键．
10.答案：A
解析：解：由双曲线x2
a2−y2
b2
=1的渐近线方程为y=±b
a
x，
双曲线x2
4−y2
3
=1的a=2，b=√3，
可得所求渐近线方程为y=±√3
2
x.故选：A．
运用双曲线x2
a2−y2
b2
=1的渐近线方程为y=±b
a
x，求得已知双曲线方程的a，b，即可得到所求渐近
线方程．
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．11.答案：A
解析：解：f(x)在R上是偶函数，f(−2.3)=f(2.3)，且在[0,+∞)上是减函数，
f(1.1)>f(−2.3)>f(3.5)．
故选：A．
利用函数的奇偶性以及函数的单调性判断三个数的大小即可．
本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，是基础题．
12.答案：C
解析：解：由函数f(x)=x|x|−2x 可得，函数的定义域为R ，且f(−x)=−x|−x|−2(−x )=−x|x|+2x =−f(x)， 故函数为奇函数．
函数f(x)=x|x|−2x ={x 2−2x , x ≥0−x 2−2x , x <0
，如图所示：故函数的递减区间为(−1,1)，
故选：C ．
根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．
13.答案：0.9
解析：解：随机变量X 服从正态分布N(1,σ2)， ∴曲线关于x =1对称，
∴P(X >−2)=P(−2<X ≤1)+P(X >1)=0.4+0.5=0.9 故答案为：0.9．
随机变量X 服从正态分布N(1,σ2)，得到曲线关于x =1对称，根据曲线的对称性得到结果． 本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，属于基础题．
14.答案：【小题1】
10 【小题2】
【小题3】
【小题4】8
解析：
15.答案：1
解析：解：∵−x2+2x=−(x−1)2+1，∴−x2+2x最大值为1，
∵∀x∈R，m≥−x2+2x，∴m≥1，
∴实数m的最小值为1．
故答案为：1．
要使不等式恒成立，只需m大于右边式子的最大值即可，则问题转化为求右边函数的最大值问题．本题考查了不等式恒成立问题，二次函数的最值问题的求法，属于基础题，要注意总结方法，体会解题思想．
16.答案：
解析：试题分析：分别过A，B两点作AD，BG垂直于准线，∴│AD│=│AF│=3，│BG│=│BF│=，
设OF与准线的交点为E，∵ΔCBG∽ΔCAD，∴，
∴=2×3=6，∴│FC│=6−3=3
又∵ΔCBG∽ΔCFE
∴，∴│EF│==，∴p=，
∴抛物线方程为。

考点：本题主要考查抛物线方程及其几何性质，相似三角形。

点评：中档题，本题充分利用数形结合思想，应用抛物线的定义，确定得到p=。

17.答案：解：(Ⅰ)依题意f0(x)=xe x , f1(x)=(x+1) e x, f2(x)=(x+2) e x , … , f n(x)=(x+ n) e x(n∈N∗)．
(Ⅱ)f n′(x)=(x+n+1) e x，
当x>−(n+1)时，f n′(x)>0；
当x<−(n+1)时，f n′(x)<0；
∴f n(x)在区间(−∞,−n−1)上是减函数，在(−n−1,+∞)上是增函数，
∴f n(x)的极小值为f n(−n−1)=− e−(n+1) , n∈N∗．
(Ⅲ)∵a=g n(−n−1)=(n−3)2，b=f(−n−1)=−e−(n+1)，
∴a−b=(n−3)2+e−(n+1)，
于是问题转化为求c n=(n−3)2+e−(n+1)的最小值．
(法一)构造函数：
令ℎ(x)=(x−3)2+e−(x+1)(x≥0)，
则ℎ′(x)=2(x−3)−e−(x+1)，
∵ℎ′(x)在区间[0,+∞)上单调递增(增+增)，
所以ℎ′(x)≥ℎ′(0)=−6−1
，
e
又ℎ′(3)=−e−4<0，ℎ′(4)=2−e−5>0，
∴存在x0∈(3,4)，使得ℎ′(x0)=0，
又ℎ′(x)在区间[0,+∞)上单调递增，
∴x∈[0,x0)时，ℎ′(x)<0；
当x ∈[x 0,+∞)时，ℎ′(x)>0， ∴ℎ(x)min =ℎ(x 0)， 又ℎ(4)>ℎ(3)，
∴当n =3时，a −b 的最小值为e −4． (法二)利用数列的单调性：
因为c n+1−c n =2n −5+1e n+2−1
e n+1，
当n ≥3时，2n −5≥1 , 1e n+2>0 , 1
e n+1<1， ∴2n −5+
1e
n+2−
1e n+1
>0，
即c n+1>c n ，
又因为c 1=4+1
e 2 , c 2=1+1
e 3 , c 3=1
e 4， ∴c 1>c 2>c 3，
∴当n =3时，a −b 的最小值为e −4．
解析：(Ⅰ)依题意直接写出即可，
(Ⅱ)先求出函数的导数，找到单调区间从而求出函数的极值，
(Ⅲ)先表示出a −b ，再构造新函数ℎ(x)=a −b ，通过求导找到单调区间求出最值即可．
本题考察了利用导数研究函数的单调性，求函数的最值问题，构造新函数问题，本题是一道综合题．
18.答案：解：(Ⅰ)设“甲恰得一个红包”为事件A ，P(A)=C 2
1
×1
3×2
3=4
9． (Ⅱ)X 的所有可能值为0，5，10，15，20． P(X =0)=(2
3
)2×2
3=
8
27，P(X =5)=C 21
×1
3×(2
3)2=8
27， P(X =10)=(1
3)2×2
3+(2
3)2×1
3=6
27，P(X =15)=C 21
×(1
3)2×2
3=4
27，
P(X =20)=(13)3=1
27． X 的分布列：
E(X)=0×827+5×827+10×627+15×427+20×127=
203
．
解析：(Ⅰ)设“甲恰得一个红包”为事件A ，利用独立重复试验求出概率即可． (Ⅱ)X 的所有可能值为0，5，10，15，20.求出概率的分布列，然后求解期望即可． 本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查概率求解的方法．
19.答案：解：(1)因为椭圆C 1的离心率为12，所以设其方程为x 24c 2+y 2
3c 2=1，F(c,0)，
令x =c 解得y =±3
2c ，所以AB =3c ，
又抛物线C 2的焦点与椭圆C 1的右焦点F(c,0)重合，所以设其方程为y 2=4cx ， 令x =c 解得y =±2c ，所以CD =4c ， 故AB
CD =3
4；
(2)由{x 2
4c 2+y 2
3c 2=1y 2=4cx ，消去y 得：3x 2+16cx −12c 2=0，解得x =2
3c 或−6c(舍去)，
所以M(2
3c,±
2√6
3
c)， 因为OM =
2√7
3，所以(23
2√6
3
=
2√7
3
， 所以c =1， 即椭圆方程为
x 24
+
y 23
=1，抛物线方程为y 2=4x ．
解析：
(1)根据椭圆C 1 的离心率设其方程为x 24c 2
+y 2
3c 2=1，令x =c 求出AB ，设抛物线方程为y 2=4cx ，令x =c 求出CD ，从而求得AB
CD ；
(2)联立方程椭圆C 1与抛物线C 2的方程，表达出点M 的坐标，再利用OM 的长，求出c 的值，从而得出C 1与C 2的标准方程．
本题主要考查了椭圆的方程和性质，考查了抛物线的方程和性质，是中档题．
20.答案：解：(1)由列联表可得：
观测值k 0=
100(20×35−40×5)2
60×40×25×75
≈5.556>5.024
而P(K 2>5.024)=0.025，
所以有97.5%的把握认为“支持政策”与“性别”有关．
(2)①由2×2列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为60100=3
5，将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为3
5． 由于总体容量很大，故X 可视作服从二项分布，即X ∽B(4,35)，
所以P(X =k)=C 4
k
(3
5)k (2
5)4−k (k =0,1，2，3，4) 从而X 的分布列为：
X 的数学期望为E(X)=4×3
5=
125
．
解析：本题考查了独立性检验，属中档题． (1)计算出观测值k 0，结合临界值表可得；
(2)根据二项分布得概率公式求得概率和分布列，数学期望．
21.答案：解：(Ⅰ)在线段BC 1上取中点F ，连接EF 、DF ，
所以EF//DA 1，且EF =DA 1， ∴四边形EFDA 1是平行四边形
∴A 1E//FD ，又A 1E ⊄平面BDC 1，FD ⊂平面BDC 1， ∴A 1E//平面BDC 1
(II)由A 1E ⊥B 1C 1，A 1E ⊥C 1C ，可得A 1E ⊥平面CBB 1C 1． 过点E 作EH ⊥BC 1与H ，连接A 1H ， 则∠A 1HE 为二面角A1−BC 1−B 1的平面角，
在Rt △BB 1C 1中，由BB 1=8，B 1C 1=4可得BC 1边上的高为8√5
5
，
所以EH =
4√5
5
， 又A 1E =2√3， 所以tan∠A 1HE =
A 1E EH
=
√152
>√3，
所以∠A 1HE >60°．
所以M在棱AA1上时，二面角M−BC1−B1总大于60°．
故棱AA1上不存在使二面角M−BC1−B1的大小为60°的点M
解析：(Ⅰ)在线段BC1上取中点F，连接EF、DF，可得EF//DA1，且EF=DA1，所以四边形EFDA1是平行四边形，所以A1E//FD，再结合线面平行的判定定理可得线面平行．
(II)由题意可得：A1E⊥平面CBB1C1.过点E作EH⊥BC1与H，连接A1H，则∠A1HE为二面角A1−BC1−B1的平面角，再利用解三角形的有关知识得到此角大于60°，进而得到结论．
本题考查用线面平行的判定定理证明线面平行，以及求二面角的平面角，而空间角解决的关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角来，是求角的关键．
22.答案：解：(1)由题意，
令f′(x)=−sin x+cos x=0，
解得x0=π
4或x0=5π
4
；
(2)(1)中x0是函数f(x)的驻点，
f′(x0)是函数f(x)在x0处的切线的斜率．
解析：(1)由题意，令f′(x)=−sin x+cos x=0，从而求解．
(2)(1)中x0是函数f(x)的驻点，f′(x0)是函数f(x)在x0处的切线的斜率．本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义，属于基础题．。