河北省石家庄市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试卷 Word版含解析

石家庄市2018～2019学年度第一学期期末考试试卷
高二数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.抛物线的准线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意抛物线的准线方程公式得出结果.
【详解】抛物线的准线为
所以抛物线的准线方程为
故选：A
【点睛】考查了抛物线的准线方程，属于基础题.
2.某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中取一个容量为36的样本，则老年人、中年人、青年人依次抽取的人数是A. 7，11，19 B. 7，12，17 C. 6，13，17 D. 6，12，18
【答案】D
【解析】
【分析】
要计算各层抽取的人数，按照分层抽样的规则，求出答案即可.
【详解】由题意，老年人27人，中年人54人，青年人81人的比例为1:2:3
所以抽取人数
老年人：
中年人：
青年人：
故选：D.
【点睛】本题目考查了分层抽样，属于基础题.
3.已知命题：，；命题：，，则下列说法中正确的是
A. 是假命题
B. 是真命题
C. 是真命题
D. 是假命题
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断命题的真假，进而求得复合命题真假判断真值表得到答案.
【详解】命题p，，即命题p为真，
对命题q，去，所以命题q为假，为真
所以是真命题
故选：C.
【点睛】(1)对于一些简单命题，判断为真，许推理证明，若判断为假，只需找出一个反例即可；
(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表；
(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.
4.下列说法中正确的是
A. 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真.
B. “”是“”的充分不必要条件.
C. “若，则，全为0.”的逆否命题是“若，全不为0，则.”
D. 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真.
【答案】A
【解析】
【详解】答案A，“否命题”和“逆命题”互为逆否，同真假，所以A对；
答案B，“”是“”的充分必要条件，所以B错；
答案C，“若，则，全为0.”的逆否命题是“若，不全为0，则.”，所以C错
答案D，一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为假，所以D错.
【点睛】本题目主要考查命题的真假性和逻辑用语，属于基础题.
5.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为
A. -1
B. 0
C. 3
D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据程序框图计算得出结果.
【详解】由程序框图可知；i=1,s=3;1=2,s=4,下一次i=3，输出s=4
故选：D.
【点睛】本题目考查了程序框图，属于基础题.
6.是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.如图是根据某中学学生社团某日早6点至晚9点在某中学东、西两个校区附近的监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，东、西两个校区浓度的方差较小的是
A. 东校区
B. 西校区
C. 东、西两个校区相等
D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据茎叶图得数据分布，即可得到两地浓度的方差大小.
【详解】根据茎叶图可知，东校区数据集中在0.06和0.07之间，数据分布比较稳定；
而西校区则分布比较分散，不如东校区集中，
所以东校区方差较小.
故选：A.
【点睛】本题目考查了统计图中茎叶图，以及方差代表的是数据的稳定性，注意不能去计算，这样费时费力，属于中等偏下题目.
7.已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则该双曲线的离
心率为
A. 5
B. 5或
C.
D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，双曲线的一条渐近线与直线平行，求出a、b的关系，在利用斜率公式求出斜率.
【详解】双曲线的渐近线为
直线的斜率为
双曲线离心率为
故选：C
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程以及离心率的公式，属于简单题.
8.圆与直线的位置关系
A. 相切
B. 相离
C. 相交
D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
据题意，先求出直线过定点（1,1），再判断出点与圆的位置关系，可得直线与圆的位置关系. 【详解】直线化简为
易知直线过定点(1,1)
而知点在圆内
直线与圆相交.
故选：C.
【点睛】本题目考查直线过定点的问题以及点与圆的位置关系，注意没必要联立方程解方程组，然后用判别式来求解，这样子运算量较大，属于中档题.
9.将一枚骰子连续抛掷两次，则向上点数之差的绝对值不大于3的概率是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题是一个等可能时间，实验发生包含的事件总数为36种，列出绝对值大于3的6种情况，根据对立事件利用概率公式求得结果.
【详解】由题意，连续抛掷两次骰子6共有种情况；
绝对值大于3的有共6种，
所以绝对值不大于3有：36-6=30种，
故所求概率
故选：B.
【点睛】本题考查了古典概型，对立事件；，属于简单题型.
10.已知点，，则，两点的距离的最小值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由两点之间的距离公式求得AB之间的距离用t表示出来，建立关于t的函数，转化为求函数的最小值.
【详解】因为点，
所以
有二次函数易知，当时，取得最小值为
的最小值为
故选：C.
【点睛】本题考查了两点之间的距离公式，建立函数关系求最值，属于基础题型.
11.已知正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则的值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的加减法，用几何体的边长表示出向量,然后求得结果.
【详解】在正四面体中，点、分别是、的中点
则=
因为是正四面体，所以
即
所以=
故选：B.
【点睛】本题考查了空间几何体与向量的综合知识，熟练运用向量的四则运算和对正四面体的熟悉程度，属于基础题.
12.已知离心率为的双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于、两点.若的面积为2，则实数的值为
A. 2
B.
C. 4
D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
利用双曲线离心率求出渐近线方程，利用三角形面积，结合离心率即可得到方程组求出a 即可.
【详解】因为双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于、两点,所以，
所以三角形面积
双曲线离心率
解得
故选：B.
【点睛】本题考查了双曲线的性质渐近线，离心率以及圆的相关知识，是一道较为综合的题型，必须掌握好圆锥曲线等相关知识点，属于中档题.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.命题“，”的否定是__________．
【答案】，
【解析】
【分析】
根据特征命题的否定为全称命题，求得结果.
【详解】命题“，”是特称命题，
所以其否定命题：
故答案为：
【点睛】本题考查了命题的否定，特征命题的否定是全称命题，属于基础题.
14.在区间内随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是__________．
【答案】(或)
【解析】
【分析】
设取出的两个数分别为x、y，可得满足“x、y∈（0，1）”的区域为横纵坐标都在（0，1）之间的正方形内部，而事件“两数之和小于”对应的区域为正方形的内部且在直线
下方的部分，根据题中数据分别计算两部分的面积，由几何概型的计算公式可得答案．
【详解】设取出的两个数分别为x、y，可得0＜x＜1且0＜
y＜1，
满足条件的点（x，y）所在的区域为横纵坐标都在（0，1）之间的
正方形内部，即如图的正方形OABC的内部，其面积为S=1×1=1，
若两数之和小于，即，对应的区域为直线下方，
且在正方形OABC内部，即如图的阴影部分．
∵直线x分别交BC、AB于点
∴．
因此，阴影部分面积为．
由此可得：两数之和小于的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题给出在区间（0，1）内随机地取出两个数，求两数之和小于的概率．着重考
查了二元一次不等式组表示的平面区域、正方形和三角形的面积公式、几何概型计算公式等知识点，属于中档题．
15.如图，是直三棱柱，，点、分别是，的中点，若
，则与所成角的余弦值为
【答案】.
【解析】
取BC的中点E，连接EF1，则EF1//BD1，所以就是异面直线BD1与AF1所成的角，
，
16.设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段
的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
分析：设直线与轴的交点为，连接。

由线段的中垂线过点，可得，所以。

因为，由因为，所以。

变形可得，进而可得，所以。

根据椭圆的离心率，可得。

详解：
设直线与轴的交点为，连接，
∵的中垂线过点，
∴，可得，
又∵，且，
∴，即，
∴，，结合椭圆的离心率，得，
故离心率的取值范围是．
点睛：求圆锥曲线的离心率，应从条件得到关于的关系式。

解题过程注意的关系。

（1）直接根据题意建立的等式求解；
（2）借助平面几何关系建立的等式求解；
（3）利用圆锥曲线的相关细则建立的等式求解；
（4）运用数形结合建立的等式求解。

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.某校100名高二学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，.
（Ⅰ）求图中的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由频率分布直方图得，概率之和为1求得a；
（Ⅱ）累加各组组中值与频率的成绩可估得平均值.
【详解】解析：（Ⅰ）依题意，得，
解得.
（Ⅱ）这100名学生语文成绩的平均分为
.
【点睛】本题考查了对频率分布直方图的认识，以及平均数的求法，属于基础题. 18.已知圆过点和，且圆心在直线上.
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）求直线：被圆截得的弦长.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设出圆心坐标和圆的标准方程，将点带入求出结果即可；
（Ⅱ）利用圆心到直线的距离和圆的半径解直角三角形求得弦长.
【详解】解：（Ⅰ）由题意可设圆心坐标为，则圆的标准方程为，∴
解得
故圆的标准方程为.
（Ⅱ）圆心到直线的距离，
∴
直线被圆截得的弦长为.
【点睛】本题考查了圆的方程，以及直线与圆相交求弦长的知识，属于基础题.
19.在一段时间内，分5次测得某种商品的价格（万元）和需求量（吨）之间的一组数据为：
价格
（Ⅰ）根据上表数据，求出回归直线方程；
（Ⅱ）试根据（Ⅰ）中求出的回归方程预估当价格为1.9万元时，需求量大约是多少吨？
（参考公式：，）
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）如果价格定位1.9万元，则需求量大约是.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据表中所给数据代入公式，求得y对x的回归方程；
（Ⅱ）当定价为1.9万，即x=1.9，代入线性回归方程求得预测值.
【详解】解：（Ⅰ）因为，，
，，
所以，
，
故对的线性回归方程为.
（Ⅱ）.
所以，如果价格定位1.9万元，则需求量大约是.
【点睛】本题考查了对线性回归方程的求解，解题的关键是掌握线性回归方程的求解公式的运用，属于基础题.
20.如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.
试题解析：（1）证明：,分别为，的中点，
.
又平面，平面，
平面.
（2）解:平面，，平面
平面，.
四边形是正方形，.
以为原点,分别以直线为轴,轴,轴
建立如图所示的空间直角坐标系，设
,
，，，，，,
,.
，，分别为，，的中点，
，，,,
（解法一）设为平面的一个法向量，则, 即，令，得.
设为平面的一个法向量,则,
即，令，得.
所以==.
所以平面与平面所成锐二面角的大小为（或）
（解法二），,
是平面一个法向量.
，,
是平面平面一个法向量.
平面与平面所成锐二面角的大小为（或）.
（解法三）延长到使得连
，，
四边形是平行四边形，
四边形是正方形，
，分别为，的中点，
平面，平面，平面.
平面平面平面
故平面与平面所成锐二面角与二面角相等.
平面平面
平面是二面角的平面角.
平面与平面所成锐二面角的大小为（或）.
考点：1、直线与平面平行的判定；2、平面与平面所成的角.
21.已知圆，直线.动圆与圆相外切，且与直线相切.设动圆圆心的轨迹为.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若点，是上的两个动点，为坐标原点，且，求证：直线恒过定点.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）据题意动圆与圆相外切，与直线l相切，利用距离公式，求得E的方程
（Ⅱ）设出直线，联立方程，建立一元二次方程，根据题目已知条件求得b，即求出定点.
【详解】解：（Ⅰ）设，则.
所以的方程为.
（Ⅱ）证明：易知直线的斜率存在，设直线：，，.
将直线的方程代入中，得，
所以，.
，
所以直线恒过定点.
【点睛】本题目考查了对轨迹方程的求法，一般解法是设出点坐标，建立等式求得轨迹方程（需要注意x、y的取值），还考查了直线与圆锥曲线的相交的定值定点问题，属于中档题.
22.已知椭圆的离心率为，且抛物线的焦点恰好是椭圆
的一个焦点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作直线与椭圆交于，两点，点满足（为坐标原点），求四边形面积的最大值，并求此时直线的方程.
【答案】（1）；（2）平行四边形OANB的面积最大值为2，直线的方程为.
【解析】
试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、抛物线的标准方程和几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、运算求解能力. 第
一问，利用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标列出方程，解出a,b,c的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，对直线的斜率进行讨论，当斜率存在时，将直线方程与椭圆方程联立，消参，得到关于x的方程，利用韦达定理，得到和代入到中，通过换元法再利用均值不等式求出最大值，从而得到直线方程.
试题解析：（Ⅰ）设椭圆的焦距为，∵离心率为，∴，∴，又点是抛物线的焦点，∴，∴椭圆C的方程为. 4分
（Ⅱ）∵，∴四边形OANB为平行四边形，当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，直线与椭圆于、两点，由
.
由. 6分
，，7分
∵，
∴
，9分
令，则（由上式知），
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴当时，平行四边形OANB的面积最大值为2.
此时直线的方程为. 12分
考点：椭圆的标准方程和几何性质、抛物线的标准方程和几何性质、直线与椭圆相交问题.
附加题：（此题各校可根据本校的数学进度，自行选择）
23.已知，函数（，为自然对数的底数）.
（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数在上单调递增，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求得a=2的函数f(x)的导数，利用导数的正负求出原函数的单调区间；
（Ⅱ）原函数在上单调递增，即导函数在(-1,1)大于等于0恒成立，在解不等式求得a的范围.
【详解】（Ⅰ）当时，.
令，解得
所以，函数的单调递增区间为.
（Ⅱ）方法1：若函数在上单调递增，则在上恒成立.
即，令.
则在上恒成立.
只需，得：
方法2：，令，即，
解得.
所以，的增区间为
又因为在上单调递增，所以
即，解得.
【点睛】本题目考查了导函数的应用，函数单调性的求法以及二次函数恒成立问题，属于中档题.。