有限冲激响应数字滤波器设计

12
• （3）h(n)奇对称、N偶数时的频率响应
N
H
e j
ej
2
N 1 2
2 n1
d
(n)
sin
n
1 2
e
j
(
)
H
d (n)
2h
N 2
n
,
n
1, 2,L
,N /2
2
N 1
2
, 相位函数
N
H
2 n1
d (n) sin
(n
1 2
)
,幅度函数
13
• 由此可见，当h(n)奇对称、N为偶数时，滤 波器的相位函数 是ω的线性函数，滤波器具 有线性相位特性，这就证明了h(n)偶对称是 滤波器线性相位的充分条件。
• 综合（2）与（3）两种情况可知，FIR滤波器同时满足
恒定相延时与群延时的条件是：冲激响应h(n)以(N-1)/2
为对称中心，此时，无论N为奇数还是偶数，滤波器均
具有严格的线性相位：θ(ω)=-(N-1)/2ω 。信号通过此类
滤波器时仅产生 (N-1)/2个采样时间点的延迟。
8
2.恒群延时单独成立
h•(n)
hd
n
N 1 2
RN
(n)
1
2
Hd
e j
e
j
n
N 1 2
d
RN
(n)
16
8.2.2窗函数性能分析
17
• 加窗对频率响应的影响表现在以下几个方面： • （1）使理想特性的不连续边沿加宽，在截止频率 附近形成一个
过渡带。过渡带指正负肩峰之间的频带，其宽度等同于窗函数的 主瓣宽度。不同的窗函数所对应的窗谱的主瓣不同。矩形窗函数 的主瓣宽度 • （2）在过渡带两旁产生了肩峰和余振。余振是由窗函数的旁瓣 引起的。窗函数 的旁瓣越多， 的余振越多， 的旁瓣的相对值越 大， 的肩峰值越大。余振的幅度强弱完全取决于窗函数的类型， 而与窗的宽度 无关。
19
8.2.3常用窗函数
• 对窗函数一般有两个方面的要求： • （1）主瓣尽可能窄，以使设计出的滤波器具有较陡的过
渡带； • （2）旁瓣尽可能少，即应使其能量尽可能集中在主瓣内
，使设计出的滤波器肩峰和余振较小，阻带衰减较大。 • 对任一具体窗函数来说，这两项要求相互矛盾，无法同时
满足，只能根据具体的设计指标选择较为合适的窗函数。 • 以下介绍的窗函数均为偶对称函数，都具有线性相位特性
27
I0 (
wk (n)
1 (1 2n )2 ) N 1 ,0 n N 1
I0 ( )
I0 x 1
k 1
1
x
k
2
k
!
2
( N 1) / 2
Wk () wk (0) 2
wk (n) cos n
n1
28
• 由于贝塞尔函数的复杂性，为了方便设计 ，凯塞提出了经验公式。
0.1102(s 8.7)
14
15
8.2 利用窗函数法设计FIR滤波器
• 8.2.1设计思想
• 线性相位滤波器FIR的基本设计思路为
• （1）根据要求的Hd(ejω) 求出hd(n)
hd
n
1
2
Hd
e j
e jn d
• （2）加窗截取hd(n) 为有限长，求出 hN(n)
hN (n) hd (n)RN n
• （3）将hN(n) 移位(N-1)/2-τ ，使其成为因果序列 h(n)
18
• （3）改变 的值只会影响 坐标的比例、窗谱的主瓣宽度及 窗函数的绝对值大小，而不会改变肩峰的相对值。增加窗 函数的长度 ，只能减小窗函数 的主瓣宽度和各旁瓣宽度 ，但不能改变主瓣和旁瓣的相对比值，从而使 的通带和阻 带内波动起伏变密，但 的相对振荡幅度不减小，这种现象 称为吉布斯（Gibbs）效应。例如，对于矩形窗函数，当 增加窗宽度 时，过渡带宽度 将随之减小，振荡起伏变密 ，但最大肩峰却总是8.95％，阻带最小衰减为 ，这在工程 上往往满足不了要求，改善阻带衰减特性只能是改变窗函 数。
N 1
N 1
H
(e
j
)
e
j
2
N 1 2
2
2h( N 1 n)sin
n
ej
2
N 1 2
2
c(n)sin n e j()H
n1
2
n1
c(n)
2h
N 1 2
n
n 1, 2,L , (N 1) / 2
2
N 1
2
, 相位函数
N 1
H
2 n1
c(n) sin(n )
,幅度函数
wHn
(n)
0.5
1
cos
2 n
N 1
RN
(n)
WHn
(e
j
)
0.5WR
0.25
WR
2 N 1
WR
2 N 1
e
j
N 1 2
WHn
()
0.5WR
0.25
WR
2 N 1
WR
2 N 1
24
• （2）汉明（Hamming）窗—改进的升余弦窗 • 此种情况下A=0.54，B=0.46，C=0。汉明窗的
定义为
Hn (n) 0.54 0.46 cos( N2n1) RN (n)
WHn
(e
j
)
0.54WR
0.23
WR
2
N 1
WR
2
N 1
e
j
N 1 2
WHm
()
0.54WR
0.23WR
2
N 1
0.23WR
2
N 125
• （3）布莱克曼（Blackman）窗—二阶升余弦窗
• 此种情况下A=0.42，B=0.5，C=0.08。长度为N 的布莱克 曼窗定义为
wBl
n
0.42
0.5
cos
2 n
N 1
0.08 cos
4 n
N 1
RN
(n)
WBl
e j
0.42WR e j
0.25
WR
e
j
2
N 1
WR
e
j
2
N 1
0.04
WR
e
j
2
N 1
WR
e
j
2
N 1
WBl
0.42WR
0.25 WR
2
N
29040110287500584221007886212150表82凯塞窗参数对滤波器的性能影响30表83常用的六种窗函数的比较窗函数旁瓣峰值衰减主瓣宽度加窗后过渡带宽阻带最小衰矩形窗1318n21三角窗2542n25汉宁升余弦62n44汉明改进升余弦窗4166n53布莱克曼二阶升余弦窗5712n11n74凯塞窗78655710n803132图88常用窗函数的幅度特性33图89理想低通加窗后的幅度特性824如果要求的滤波器的频率响应h存在过渡带则设计中所使用的截止频率c由通带频率p和阻带频率s按下式求出2选择窗函数根据所允许的过渡带宽按表83估计序列的长度n
()e 2
WR
()
sin(N / 2) sin( / 2)
21
2. 三角窗（或巴特利特(Bartlett)窗）
2n
wB r
n
N 1
2
2n
N 1
0 n N 1 2
N n N 1 2
2
WBr (e j )
2 sin (N 1)
N
1
sin( / 2)
4
j ( N 1 )
e2
22
9
• 这说明，当系统冲激响应 h(n)关于中心轴 (N-1)/2奇对称时，滤波器是恒群延时的线 性相位滤波器，并包含有 θ0=π/2的固定相 移。因此信号通过此类滤波器时既产生(N1)/2 个采样点的延迟，还将产生90°的相移 ，通常这类滤波器又称为90°移相器。
10
• （2）h(n)奇对称、N奇数时的频率响应
11
• 由此可见，当h(n)奇对称、N为奇数时，滤波器的 相位函数 是ω的线性函数，滤波器具有线性相位 特性，这就证明了h(n)奇对称是滤波器线性相位的 充分条件。另外，由于 SIN(nω)在 ω=0、π、2π处 ，均为奇对称，因此滤波器的幅度函数 在 ω=0、 π、2π处也是呈奇对称；又由于SIN(nω) 在 ω=0、π 、2π处的值为0，使得H(ω)=0 ，这说明传输函数 在Z=±1 有零点。因此这种类型的滤波器不适用 于设计低通滤波器和高通滤波器；因为ejπ/2 =j，这 说明 jH(ω)是纯虚数，因此，这类滤波器适用于理 想数字希尔伯特变换和微分器。
8.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点
• 8.1.1 线性相位条件 • FIR数字滤波器的频率响应为
N 1
H (e j ) h(n)e jn H ()e j () n0
• 式中， H(ω)称为幅度特性， θ(ω)为相位特 性。注意，这里 为ω的实函数，可能取负值 ,不同于|H(ejω)| 总是正值。当信号通过滤波 器时，其幅度和相位都会发生变化，输出 信号比输入信号时间上滞后，也即是相位 有了延时。为了讨论线性相位条件，我们 引入两种延时概念：相延时和群延时。 1
3. 升余弦窗
w(n)
A
B
cos
2 n
N 1
C
cos
4 n
N 1
• 式中A,B,C为常数。
• 升余弦窗的频率特性比矩形窗有很大改善。 根据A,B,C的不同取值，将得到汉宁窗、汉明 窗和布莱克曼窗三种不同的升余弦窗。
23
• （1）汉宁（Hanning）窗—升余弦窗
• 此种情况下A=0.5，B=0.5，C=0。汉宁窗的 定义为
33
8.2.4窗函数法设计步骤
• （1）根据给出的频率响应函数 Hd(ejω)，经 过傅里叶反变换得到hd(n) ，如果要求的滤 波器的频率响应 Hd(ejω)存在过渡带，则设计 中所使用的截止频率 ωc由通带频率ωp和阻 带频率ωs按下式求出
• ωc=(ωp+ωs)/2
6
• （3）h(n)偶对称、N偶数时的频率响应
N
H
e j
j N 1
e 2
2 n1
b(n)
cos
n
1 2
e
j
(
)
H
b(n)
2h
N 2
n
,
n
1, 2,L
,N
/
2
N 1
2
, 相位函数
N
H
2 n1
b(n) cos (n
1 )
2
,幅度函数
7
• 由此可见，当h(n)偶对称、N为偶数时，滤波器的相位 函数 是ω的线性函数，滤波器具有线性相位特性，这就 证明了h(n)偶对称是滤波器线性相位的充分条件。另外 ，对于幅度函数可得出：在ω ＝π处，H(ω )=0 ，这说明 传输函数在 z=-1处必有一个零点，因此，它不能用于高 通或带阻滤波器的设计，因为高通或带阻滤波器在 ω ＝ π处不为0；由于cos[(n-1/2) ω] 以ω ＝π 为奇对称，因此 滤波器的幅度函数H(ω) 也以ω ＝π 偶对称。
• 下面分成 N为奇数和N 为偶数两种情况来讨论线性 相位FIR滤波器的频率响应特性。
3
4
• （2）h(n)偶对称、N奇数时的频率响应
N 1
H e j
j N 1
e 2
2
a(n) cos n e j ()H
n0
a(n)
h
N 1 2
2h
N 1 2
n
n0 n 1, 2,L , (N 1) / 2
N 1
2
, 相位函数
N 1
H
2 n0
a(n) cos(n)
,幅度函数
5
• 由此可见，当h(n)偶对称、N为奇数时，滤 波器的相位函数 是ω的线性函数，滤波器具 有线性相位特性，这就证明了h(n)偶对称是 滤波器线性相位的充分条件。另外，由于 COS(nω)对于ω =0、π和2π均为偶对称，因 此滤波器的幅度函数 H(ω )对于ω =0、π和2π 也是偶对称的。
s 50
0.5842(s 21)0.4 0.07886(s 21) 21 s 50
0
s 21
N s 7.95 1 2.286 sp
29
表8-2 凯塞窗参数对滤波器的性能影响
30
表8-3 常用的六种窗函数的比较
窗函数
旁瓣峰值 衰减
矩形窗
-13
三角窗
-25
汉宁（升余弦 窗）
• 相延时：
p
• 群延时：
g
d
d
• 如果τp(ω) 或τg(ω) 是不随 变化的常量，那 么滤波器就为恒延时滤波器，这时滤波器 具有线性相位。
2
• 1.恒相延时和恒群延时同时成立
N 1
2 h(n) h(N 1 n) , 0 n N 1
• 这说明，当系统冲激响应 关于中心轴 偶对称时， 滤波器是恒相延时和恒群延时的线性相位滤波器。 当 为奇数时对称中心轴位于整数样点上，当 为偶 数时对称中心轴位于非整数样点上，如图8-1所示。
1
WR
2
N 1
0.04
WR
4
N 1
WR
4
N 1
26
4.凯塞（Kaiser）窗
• 上面几种窗函数都是以牺牲主瓣宽度来换 取对旁瓣的抑制，主瓣宽度与旁瓣衰减无 法协调兼顾。而凯塞窗则能全面反映窗函 谱主瓣宽度与旁瓣衰减之间的互换关系， 从而实现以同一种窗类型来满足不同性能 需求的目的。凯塞窗能够在同等性能下， 实现最陡峭的过渡带。 凯塞窗是一组参数可调的由零阶贝塞尔函 数构成的窗函数，定义如下:
-31
汉明（改进升 余弦窗）
-41
主瓣宽度
4/N 8/N 8/N
8/N
加窗后过渡 阻带最小衰
带宽
减
1.8/N
21
4.2/N
-25
6.2/N
-44
6.6/N
-53
布莱克曼（二 阶升余弦窗）
-57
12/N
11/N
-74
凯塞窗 β=7.865 -57
10/N
-80
31
图8-8 常用窗函数的幅度特性
32
图8-9 理想低通加窗后的幅度特性
。设窗的宽度为N ， N可为奇数或偶数，且窗函数的对称 中心点在(N-1)/2 处。因此，均为因果函数。
20
1.矩形窗
• 长度为N 的矩形窗定义为
1 0 n N 1 wR(n) RN (n) 0 其它
WR
(e j )
sin(
N
/
2)
e
j
1( 2
N
1)
sin( / 2)
WR
j 1 ( N 1)
• （1）成立的条件
N 1
h(n)sin n 0 0
n0
N 1 2
h(n) h(N 1 n) , 0 n N 1
0

2k
1
2
, k 0, 1, 2,L ,
• 在实际应用中，我们只考虑k=0 、θ0=π/2 这种情况，因为 幅度函数 是可正可负的实数，且具有周期性，因此 取其
他值时的情况都包含在 k=0的情况中。