西北工业大学线性代数试题2012_05_

α1 − α 2 = − β1 + β 2 ， α 2 = β 1 + β 3 ， α1 − α 3 = −β1 + β 3 1．求由基(Ⅱ)到基(Ⅰ)的过渡矩阵 C ； 2．求向量 α = α 1 + 2α 2 − 3α 3 在基(Ⅱ)下的坐标． 六、(11 分) 设 A 为 3 阶方阵， α 1 和 α 2 分别 A 的对应于特征值 λ1 和 λ2 的特 征向量，其中 λ1 ≠ λ2 ．又设向量 α 3 满足 Aα 3 = α 2 + λ2α 3 ． １． 证明： α1 , α 2 , α3 线性无关；
２． 令 P = (α1, α 2 , α 3 ) ，求 P −1AP ．
2 2 七、 (15 分)已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = −2 x12 + x2 − 2 x3 − 2 x1x2 + 8 x1x3 + 2ax2 x3 可 1 以经过正交变换 x = Qy 化为标准形，其中 Q = ( q1, q2 , q3 ) 且 q1 = (1, 2, 1) T ． 6 1．求参数 a ； 2．求正交矩阵 Q 和 f 的标准形． 3．问 f = 1 表示何种二次曲面． 八、(5 分)设 A = ( aij ) n× n 按行严格对角占优，即满足
线性代数试题（３６）
(2012.05) 一、(24 分)选择填空： 1．设 A = (α , 2γ 2 , 3γ 3 , γ 4 ) ， B = ( β , γ 2 , γ 3 , − γ 4 ) ，其中 α , β , γ 2 , γ 3 , γ 4 均为 4 维列向量．又设 det A = 3 ， det B = 2 ．则 det( A − B ) = ( )． 2．设方阵 A 满足 A3 = O ，则 ( A + 3E ) −1 = ( )． 3．设 A 为 n ( n ≥ 2) 阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 列和第 2 列得到矩阵 B ．又 设 A∗ 和 B∗ 分别为 A 和 B 的伴随矩阵．则下列正确的答案是( )． ∗ ∗ (A) 交换 A 的第 1 行和第 2 行得到矩阵 B ； (B) 交换 A∗ 的第 1 行和第 2 行得到矩阵 − B∗ ； (C) 交换 A∗ 的第 1 列和第 2 列得到矩阵 B∗ ； (D) 交换 A∗ 的第 1 列和第 2 列得到矩阵 − B∗ ． 4．设 A 为 4 阶方阵，齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系含 １ 个线性无关的 解向量．又设 A∗ 为 A 的伴随矩阵．则齐次线性方程组 A∗ x = 0 的基础解系含 ( )个线性无关的解向量． 5．设 3 元非齐次线性方程组 Ax = b 的三个解向量 η1 ,η 2 ,η3 满足 η1 + 2η2 = ( 3, 0, − 6) T ， 2η2 + η3 = (2, − 2, − 3) T 且 rank A =2．则该方程组通解是( )． 4 −1 − 3 0 6． 已知矩阵 A = − 1 a 3 相似于 B = b ， 则 a = ( )，b = ( )． −3 3 3 9 1 − 2 1 2 7．设 A = )． − 2 1 ，B = 2 1 ．则下列正确的答案是( (A) A 与 B 相似且合同； (B) A 与 B 不相似但合同； (C) A 与 B 相似但不合同； (D) A 与 B 不相似且不合同． 2 8．当 t 满足( )时，二次型 f = − x12 − x2 + tx32 + 4tx1x2 是43; L + ak , k −1 + ak , k +1 + L + a kn
( k = 1,2,L , n)
证明 A 可逆．
a2 a2 L a2 + 2 二、(10 分)计算 n 阶行列式 Dn = M M M an −1 an −1 + n − 1 L an−1 an + n an L an
a1
a1
L
a1
a1 + 1 a2 M ． an −1 an
三、(10 分) 设 4 阶方阵 A 的逆矩阵为 4 −2 0 0 −3 0 0 0 −1 A = 0 0 2 − 2 0 0 −4 2 −1 −1 求满足 A XA = E − A X 的矩阵 X ． 0 λ −1 0 2 四、(15 分)设 A = − λ − 1 − 1 ， b = a ． 1 1 1 λ 问 ?, a 取何值时线性方程组 Ax = b 有唯一解、无解、无穷多解？在有无穷 多解时，求通解 (用向量形式表示 )． 五、(10 分)设向量空间 R 3 的基(Ⅰ)为 α1 ,α 2 , α3 ，基(Ⅱ)为 β1, β 2 , β 3 ，且