matlab用p-r迭代格式求解椭圆型方程的五点差分格式的数值解

matlab用p-r迭代格式求解椭圆型方程的五点差分格式的数值
解
椭圆型方程是指具有椭圆形状的偏微分方程，如拉普拉斯方程和泊松方程。

求解椭圆型方程的五点差分格式采用p-r迭代格式，其中p是点迭代格式，r是剩余项。

五点差分格式是一种常用的离散化方法，它将偏微分方程离散化为代数方程组。

在五点差分格式中，我们将椭圆型方程的二阶导数离散化为中心差分的形式，使用对角线占主导地位的三对角矩阵来表示离散化后的方程组。

为了使用p-r迭代格式求解椭圆型方程的五点差分格式，我们
首先将原方程进行离散化。

考虑一个二维平面上的椭圆型方程：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = f(x, y)
在区域Ω上，Ω为矩形区域，边界Γ为Ω的边界，假设Γ上
已知u的值。

我们将Ω划分为网格点，使得Ω中的每个内部
节点(xi, yj)与周围的四个节点(xi-1, yj)、(xi+1, yj)、(xi, yj-1)、(xi, yj+1)建立联系。

离散化后，我们得到如下的五点差分方程：
(1/hx²)(ui-1,j - 2ui,j + ui+1,j) + (1/hy²)(ui,j-1 - 2ui,j + ui,j+1) = fi,j
其中，ui,j为节点(xi, yj)上的解，fi,j为f(xi, yj)的离散值。

hx
和hy分别是x和y的网格步长。

使用p-r迭代格式，我们可以得到迭代公式：
ui,j⁽ⁿ⁺¹⁾ = (1/(2a))(ui-1,j⁽ⁿ⁾ + ui+1,j⁽ⁿ⁾) + (1/(2b))(ui,j-1⁽ⁿ⁾+ ui,j+1⁽ⁿ⁾) - (1/(2a+2b))fi,j
其中，a = (hx/2)²，b = (hy/2)²，n表示迭代次数。

在实际计算中，我们可以采用逐次超松弛（SOR）方法作为
p-r迭代的形式。

SOR方法会引入松弛因子ω，更新的迭代公式为：
ui,j⁽ⁿ⁺¹⁾ = (1-ω)ui,j⁽ⁿ⁾ + (ω/(2a))(ui-1,j⁽ⁿ⁾ + ui+1,j⁽ⁿ⁾) + (ω/(2b))(ui,j-1⁽ⁿ⁾ + ui,j+1⁽ⁿ⁾) - (ω/(2a+2b))fi,j
此外，为了获得数值解，我们需要设定合适的初始猜测值和迭代停止准则。

常见的停止准则可以是迭代次数达到上限或两个连续迭代之间的解差小于某个阈值。

综上所述，通过五点差分格式以及p-r迭代方法求解椭圆型方程可以得到数值解。

在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的网格划分和迭代参数，以获得准确的数值结果。