相关分析和回归分析

STAT
2. 相关系数计算
1) 在INSIGHT模块中，打开数据集Mylib.bldk； 2) 选择菜单“Analyze（分析）”→“Multivariate (Y X)（多变量）”； 3) 在打开的“Multivariate (Y X)”对话框中选定Y变 量：Y；选定X变量：x1、x2、x3、x4； 4) 单击“OK”按钮，得到分析结果。
基于这些p值，拒绝原假设，即不良贷款与其他几个 变量之间均存在着显著的正相关关系。
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STAT
3. 置信椭圆
继续上述步骤。 6) 选 择 菜 单 ： “ Curves”→“Scatter Plot Cont Ellipse”→“Prediction：95％”，得到不良贷款与其他 几个变量的散点图及预测值的置信椭圆，如图所示。
与居民年消费额(x3)、日人流量(x2)、商场商品的丰富程 度满意度(x6)、对商场设施的满意度(x5)的相关系数显著
不为0（p < = 0.05）；另一方面，不能拒绝单位面积
营业额(Y)与每小时机动车流量(x1)、对商场环境的满意 度(x4)相关系数为0的假设。
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变量Y和x1间散点图上的这个椭圆被拉得很长，表明变 量Y和x1之间有很强的相关性。
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4.1.3 用“分析家”作相关分析
【例4-2】通常用来评价商业中心经营好坏的一个综合 指标是单位面积的营业额，它是单位时间内(通常为一 年)的营业额与经营面积的比值。对单位面积营业额的 影响因素的指标有单位小时车流量、日人流量、居民年 平均消费额、消费者对商场的环境、设施及商品的丰富 程度的满意度评分。这几个指标中车流量和人流量是通 过同时对几个商业中心进行实地观测而得到的。而居民 年平均消费额、消费者对商场的环境、设施及商品的丰 富程度的满意度评分是通过随机采访顾客而得到的平均 值数据。表4-2为从某市随机抽取的20个商业中心有关 指标的数据，试据此说明变量间的相关程度。
3.90
1.94
7
9
6
2
3.2
0.26
4.24
2.86
7
4
6
3
2.5
0.72
4.54
1.63
8
8
7
4
3.4
1.23
6.98
1.92
6
10
10
5
1.8
0.69
4.21
0.71
8
4
7
6
0.9
0.36
2.91
0.62
5
6
5
…
…
15
2.6
… 1.04
…
…
…
5.53
1.30
10
…
…
7
9
16
2.7
1.18
5.98
H0：ρ = 0；H1：ρ ≠ 0
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1) 提出假设：假设样本是从一个不相关的总体中抽出 的，即
H0：ρ = 0；H1：ρ ≠ 0 2) 由样本观测值计算检验统计量：
t |r|
n2 1r2
~t(n2)
的观测值t0和衡量观测结果极端性的p值：
p = P{| t | ≥ | t0 |} = 2P{t ≥ |t0|} 3) 进行决策：比较p和检验水平作判断：p < ，拒
绝原假设H0；p ，不能拒绝原假设H0。
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4. 置信椭圆
可以生成两类置信椭圆： ● 均值置信椭圆：预测两变量均值的置信区域； ● 预测值置信椭圆：预测两变量分布个别观测值的 置信区域。 关于预测值置信椭圆的两点说明： 1) 作为置信曲线，表示数据以设定的百分率（置信水 平）落入的椭圆区域； 2) 作为相关性指标。若两个变量不相关，椭圆应该为 圆；两个相关的变量有拉长的椭圆，可以用椭圆长短轴 之比来衡量相关的程度。
STAT
图4-10 Y与x1、x2、x3、x4、x5、x6的散点图及置信椭圆
1) 在INSIGHT模块中，打开数据集Mylib.bldk； 2) 选择菜单“Analyze（分析）”→“Scatter Plot (Y X)（散点图）”； 3) 在打开的“Scatter Plot (Y X)”对话框中选定Y变量： Y；选定X变量：x1、x2、x3、x4； 4) 单击“OK”按钮，得到变量的分析结果。
39.7
25
3.2
102.2
12.0
10
97.1
银行想知道，不良贷款是否与贷款余额、应收贷款、贷
款项目的多少、固定资产投资等因素有关?如果有，是 一种什么样的关系?关系强度如何?
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设表4-1中数据已经存放在数据集Mylib.bldk中。
1. 制作散点图
首先制作变量之间的散点图，以便判断变量之间的相 关性。步骤如下：
1.28
8
7
9
17
1.4
0.61
1.27
1.48
6
7
1
18
3.2
1.05
5.77
2.16
7
10
9
19
2.9
1.06
5.71
1.74
6
9
9
20
2.5
0.58
4.11
1.85
7
9
6
设表4-2数据已保存在数据集Mylib.jyzk中。
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1. 相关分析的设置
在“分析家”中作相关分析的步骤如下： 1) 在“分析家”中打开数据集Mylib.jyzk； 2) 选择主菜单“Statistics”→“Descriptive（描述性统 计 ） ” → “ Correlations （ 相 关 ） ” ， 打 开 “Correlations”对话框，按图4-8 设置分析变量及内容。
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表4-1 某商业银行2019年的主要业务数据
分行 不良贷款 编号 (亿元)x1
各项贷款余 本年累计应收 贷款项目个数 本年固定资产投资额
额(亿元)x2 贷款(亿元)x3 (个)x4
(亿元)x5
1
0.9
67.3
6.8
5
51.9
2
1.1
111.3
19.8
16
90.9
3
4.8
STAT
从相关系数的取值来看，单位面积营业额（Y）与居
民年消费额（x3）、日人流量（x2）接近高度相关；单 位面积营业额（Y）与每小时机动车流量（x1）、对商 场环境的满意度（x4）、对商场设施的满意度（x5）为 低度相关；单位面积营业额（Y）与商场商品丰富程度
满意度（x6）则属于中度相关。 从相关系数的假设检验结果来看，单位面积营业额(Y)
173.0
7.7
1773.74源自3.280.87.2
10
14.5
5
7.8
199.7
16.5
19
63.2
…
…
…
…
…
…
20
6.8
139.4
7.2
28
64.3
21
11.6
368.2
16.8
32
163.9
22
1.6
95.7
3.8
10
44.5
23
1.2
109.6
10.3
14
67.9
24
7.2
196.2
15.8
16
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2. 结果分析
显示结果首先给出各个变量的描述性统计量，包括观 测总数、各变量的均值及标准差等。然后给出变量的相 关系数矩阵（分析变量中任两者之间的相关系数），以 及原假设为H0：Rho = 0（即H0：ρ = 0）的检验结果 （仅给出p值），如图4-9所示。
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图4-1就是不同形态的散点图。
STAT
(a)
(b)
(c)
(d)
就两个变量而言，如果变量之间的关系近似地表现为
一条直线，则称为线性相关，如图4-1(a)和(b)；如果变
量之间的关系近似地表现为一条曲线，则称为非线性相
关或曲线相关；如图4-1(c)；如果两个变量的观测点很
分散，无任何规律，则表示变量之间没有相关关系，如
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结果显示各变量的统计量和相关（系数）矩阵，从相关
矩阵中可以看出，在不良贷款Y与其他几个变量的关系
中，与贷款余额(x1)的相关系数最大，而与固定资产投 资额(x4)的相关系数最小。
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5) 为了检验各总体变量的相关系数是否为零，选择菜 单：“Tables”→“CORR p-values”，得到相关系数为零 的原假设的p值，如图4-6所示。
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相关系数r有如下性质： ● 当–1 < r < 1时，为说明两个变量之间的线性关系 的密切程度，通常将相关程度分为以下几种情况：当| r | ≥ 0.8时，可视为高度相关；0.5 ≤ | r | < 0.8时，可视为 中度相关；0.3 ≤ | r | <0.5时，视为低度相关；当| r | < 0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为不 相关。但这种解释必须建立在对相关系数进行显著性检
3. 置信椭圆
在 分 析 家 窗 口 的 项 目 管 理 器 中 依 次 双 击 “ Scatter Plots”下的“Confidence ellipse：YX1”～“Confidence ellipse：YX6”项，得到各变量与单位面积营业额的散 点图如图4-10。
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从各散点图中可以看
出，不良贷款(Y)与贷款 余额(x1)、应收贷款(x2)、 贷款项目多少(x3)、固定 资产投资额(x4)之间都具 有一定的线性关系。但
从各散点的分布情况看，
与贷款余额(x1)的线性关 系比较密切，而与固定
资产投资额(x4)之间的关 系最不密切。
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4.1.2 用INSIGHT模块作相关分析
【例4-1】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其 业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固 定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平 稳增长，但不良贷款额也有较大比例的提高，这给银行 业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原 因，希望利用银行业务的为弄清楚不良贷款形成的原因， 希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出 控制不良贷款的办法。表4-1就是该银行所属的25家分 行2019年的有关业务数据。
验的基础之上。
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3. 相关系数的显著性检验
相关系数的显著性检验也就是检验总体相关系数是否 显著为0，通常采用费歇尔（Fisher）提出的t分布检验， 该检验可以用于小样本，也可以用于大样本。检验的具 体步骤如下：
1) 提出假设：假设样本是从一个不相关的总体中抽出 的，即
图4-l(d)。
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2. 相关系数
相关系数是对变量之间关系密切程度的度量。若相关 系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数， 记为ρ；总体相关系数的计算公式为：
COV(X,Y)
D(X) D(Y)
其中COV(X，Y)为变量X和Y的协方差，D(X)和D(Y)分 别为X和Y的方差。
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第四章 相关分析与回归分析
4.1 简单相关分析 4.2 回归分析 4.3 非线性回归
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4.1 简单相关分析
4.1.1 相关分析的基本概念 4.1.2 用INSIGHT模块作相关分析 4.1.3 用“分析家”作相关分析
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若相关系数是根据样本数据计算的，则称为样本相关
系数（简称为相关系数），记为r。样本相关系数的计 算公式为：
n
(xi x)(yi y)
r
i1
n (xi x)2 n (yi y)2
i1
i1

一般情况下，总体相关系数ρ是未知的，我们通常是 将样本相关系数r作为ρ的近似估计值。
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相关系数r有如下性质： ● 相关系数的取值范围：–1 ≤ r ≤ 1，若0 < r ≤ 1，表 明X与Y之间存在正线性相关关系，若–1 ≤ r < 0，表明X 与Y之间存在负线性相关关系。 ● 若r = 1，表明X与Y之间为完全正线性相关关系； 若r = –1，表明X与Y之间为完全负线性相关关系；若r = 0，说明二者之间不存在线性相关关系。
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表4-2 20个商业中心有关指标的数据
商业中 心编号
单位面积年 每小时机动 日人流 居民年消
营业额(万元 车流量(万 量 (万 费额(万
/平方米)Y 辆)x1
人)x2 元)x3
对商场环 境满意度 x4
对商场设 对商场商品
施满意度 丰富程度满
x5
意度x6
1
2.5
0.51
4.1.1 相关分析的基本概念
STAT
1. 散点图
散点图是描述变量之间关系的一种直观方法。我们用 坐标的横轴代表自变量X，纵轴代表因变量Y，每组数 据(xi，yi)在坐标系中用一个点表示，由这些点形成的散 点图描述了两个变量之间的大致关系，从中可以直观地 看出变量之间的关系形态及关系强度。
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