高考数学总复习 77 数学归纳法配套课件 理 新人教A版

易知 xn>0，那么
x2k
＋
2
－
x2k
＋
4
＝
1 1＋x2k＋1
－
1 1＋x2k＋3
＝
x2k＋3－x2k＋1 1＋x2k＋11＋x2k＋3
＝
1＋x2k1＋x2xk2＋k1－1x＋2k＋x22k＋21＋x2k＋3>0，即
x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2，也就是说，当 n＝k＋1 时命题也成立．结
合(1)和(2)知，命题成立．
第十一页，共43页。
解析 (1)由 x1＝12及 xn＋1＝1＋1 xn，得 x2＝23，x4＝58，x6＝1231. 由 x2>x4>x6 猜想，数列{x2n}是递减数列． 下面用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，已证命题成立．
第十二页，共43页。
②假设当 n＝k 时命题成立，即 x2k>x2k＋2，
1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＝k－1， ②
a1a2 a2a3
ak－1ak a1ak
a11a2＋a21a3＋…＋ak－11ak＋aka1k＋1＝a1akk＋1.
③
第二十一页，共43页。
将②代入③，得 ka－1a1k ＋aka1k＋1＝a1akk＋1. 在该式两端同乘 a1akak＋1，得(k－1)ak＋1＋a1＝kak. 将 ak＝a1＋(k－1)d 代入其中，整理后，得 ak＋1＝a1＋kd. 由数学归纳法原理知，对一切 n∈N*，都有 an＝a1＋(n－1)d. 所以{an}是公差为 d 的等差数列．
第十八页，共43页。
思考题 1 (2010·安徽理)设数列 a1，a2，…，an，…中的 每一项都不为 0.
证明{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何 n∈N*，都 有a11a2＋a21a3＋…＋ana1n＋1＝a1ann＋1.
第十九页，共43页。
【解析】 先证必要性． 设数列{an}的公差为 d，若 d＝0，则所述等式显然成立． 若 d≠0，则a11a2＋a21a3＋…＋ana1n＋1＝1d(a2a－1aa2 1＋a3a－2aa3 2＋… ＋ana＋n1a－n＋1an)＝1d((a11－a12)＋(a12－a13)＋…＋(a1n－an1＋1))＝1d(a11－an1＋1) ＝1d·ana＋11a－n＋1a1＝a1ann＋1. 再证充分性．
第十七页，共43页。
＝4[k＋k＋11＋1]， 即 n＝k＋1 时等式成立． 由(1)、(2)可知，对任意 n∈N*等式均成立． 探究 1 用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题 关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边 各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关． 由 n＝k 到 n＝k＋1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎 样的项．
第二十六页，共43页。
【解析】 ①必要性：因为 a1＝0，所以 a2＝1－c. 又因为 a2∈[0,1]，所以 0≤1－c≤1，即 c∈[0,1]． 充分性：设 c∈[0,1]，用数学归纳法证明 an∈[0,1]对任意 n ∈N*成立． 当 n＝1 时，a1＝0∈[0,1]，假设 ak∈[0,1](k≥1)， 则 ak＋1＝ca3k＋1－c≤c＋1－c＝1 且 ak＋1＝ca3k＋1－c≥1－c≥0， 所以 ak＋1∈[0,1]． 由数学归纳法，知 an∈[0,1]对所有 n∈N*成立．
<(1
＋
1 2n＋1
)·
n ＝ 2n＋1 n ＝ 2 n＋1 2n＋1 n＋1
nn＋1 2n＋1
＝
n＋122－14
n＋12
<1.
故 bn＋1<bn.
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同理可得 a1＝nan－(n－1)an＋1. ④
③－④，得 2nan＋1＝n(an＋2＋an)．
即 an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以{an}是等差数列．
第二十三页，共43页。
例 2 (1)求证：n＋1 1＋n＋1 2＋…＋31n>56(n≥2，n∈N*)． 【解析】 ①当 n＝2 时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成 立． ②假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即 k＋1 1＋k＋1 2＋…＋31k>56.
4k2＋8k＋4 2k＋1 >
2k＋32k＋1＝ 2k＋1
2k＋3＝
2k＋1＋1.
所以当 n＝k＋1 时，结论成立．
所以 an> 2n＋1对一切正整数 n 均成立．
第三十二页，共43页。
an＋1
(2) 因为
bn
＝
an n
，
可
知
bn>0
，
所
以
bn＋1 bn
＝
n＋1 an
＝
(1
＋
n
1 a2n )·
n n＋1
a3，a4，猜想 an 的表达式为
()
1 A.n－1n＋1
1 B.2n2n＋1
1 C.2n－12n＋1 答案 C
1 D.2n＋12n＋2
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解析 由 a1＝13，Sn＝n(2n－1)an， 得 S2＝2(2×2－1)a2，即 a1＋a2＝6a2. ∴a2＝115＝3×1 5，S3＝3(2×3－1)a3， 即13＋115＋a3＝15a3. ∴a3＝315＝5×1 7，a4＝7×1 9.故选 C.
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③因为 0<c<13，当 n＝1 时，a12＝0>2－1－23c，结论成立． 当 n≥2 时，由②，知 an≥1－(3c)n－1>0， 所以 a2n≥[1－(3c)n－1]2＝1－2(3c)n－1＋(3c)2(n－1)>1－2(3c)n－1. 所以 a21＋a22＋…＋a2n＝a22＋a32＋…＋a2n>n－1－2[3c＋(3c)2 ＋…＋(3c)n－1]＝n＋1－2[11－－33ccn]>n＋1－1－23c(n∈N*)．
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【解析】 (1)方法一 当 n＝1 时， a1＝2> 2×1＋1，不 等式成立．
假设当 n＝k(k∈N*)时，ak> 2k＋1成立． 那么当 n＝k＋1 时，ak2＋1＝a2k＋a12k＋2>2k＋3＋a12k>2(k＋1)＋ 1. 所以当 n＝k＋1 时，ak＋1> 2k＋1＋1成立． 综上，an> 2n＋1对一切正整数 n 都成立．
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(2)设数列{an}满足 a1＝0，an＋1＝ca3n＋1－c，n∈N*，其中 c 为实数．
①证明：an∈[0,1]对任意 n∈N*成立的充分必要条件是 c∈ [0,1]；
②设 0<c<13，证明：an≥1－(3c)n－1，n∈N*； ③设 0<c<13，证明：a12＋a22＋…＋a2n>n＋1－1－23c，n∈N*.
第 7 课时 数学归纳法
第一页，共43页。
2013•考纲下载(xià zǎi) 1．了解数学归纳法的原理． 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
第二页，共43页。
请注意(zhù yì)！ 1．归纳——猜想——证明仍是高考重点． 2.与函数、数列、不等式等知识结合，在知识的交汇处命题
是热点.
探究 2 由 n＝k 到 n＝k＋1 时，要弄清命题的变化，应用 放缩技巧．
第二十九页，共43页。
思考题 2 1,2，…)．
设 数 列 {an} 满 足
a1
＝
2
，
an
＋
1
＝
an
＋
1 an
(n
＝
(1)证明：an> 2n＋1对一切正整数 n 都成立；
(2)令
bn＝
an ，判断 n
bn
与
bn＋1
的大小，并说明理由．
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1．设 f(n)＝1＋12＋13＋…＋3n1－1(n∈N*)，那么 f(n＋1)－f(n)
等于
()
1 A.3n＋2
B.31n＋3n1＋1
C.3n1＋1＋3n1＋2
D.31n＋3n1＋1＋3n1＋2
答案 D
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2．在数列{an}中，a1＝13，且 Sn＝n(2n－1)an，通过求 a2，
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②当 n＝1 时，a1＝0.结论成立． 当 n≥2 时， 因为 an＝ca3n－1＋1－c，所以 1－an＝c(1－an3－1)＝c(1－an－1)(1＋an－1＋a2n－1)． 因为 0<c<13，由①，知 an－1∈[0,1]，所以 1＋an－1＋a2n－1≤3 且 1－an－1≥0. 所以 1－an≤3c(1－an－1)． 所以 1－an≤3c(1－an－1)≤(3c)2(1－an－2)≤…≤(3c)n－1(1－ a1)＝(3c)n－1. 所以 an≥1－(3c)n－1(n∈N*)．
第十四页，共43页。
第十五页，共43页。
例1
用
数
学
归
纳
法
证
明
：
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋
…
＋
2n21n＋2＝4nn＋1(其中 n∈N*)． 【解析】 (1)当 n＝1 时，等式左边＝2×1 4＝18，
等式右边＝411＋1＝18，∴等式成立．
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(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立． 即2×1 4＋4×1 6＋…＋2k21k＋2＝4k＋k 1成立，那么当 n＝k＋1 时， 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k21k＋2＋2k＋1[21k＋1＋2] ＝4k＋k 1＋4k＋11k＋2 ＝4kk＋k＋12k＋＋12＝4k＋k＋11k＋2 2
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证法二 (直接证法)依题意有
1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＝ n ， ①
a1a2 a2a3
anan＋1 a1an＋1
a11a2＋a21a3＋…＋ana1n＋1＋an＋11an＋2＝an1＋an＋12.
②
②－①，得 an＋11an＋2＝an1＋an＋12－a1ann＋1.
在上式两端同乘 a1an＋1an＋2，得 a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2. ③
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证法一 (数学归纳法)设所述的等式对一切 n∈N*都成
立．首先，在等式a11a2＋a21a3＝a12a3，
①
两端同乘 a1a2a3，即得 a1＋a3＝2a2，所以 a1，a2，a3 成等
差数列，记公差为 d，则 a2＝a1＋d.
假设 ak＝a1＋(k－1)d，当 n＝k＋1 时
第九页，共43页。
3．n 为正奇数时，求证：xn＋yn 被 x＋y 整除，当第二步假 设 n＝2k－1 命题为真时，进而需证 n＝________，命题为真．
答案 Байду номын сангаасk＋1
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4．已知数列{xn}满足 x1＝12，xn＋1＝1＋1 xn，n∈N*. (1)猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论； (2)证明：|xn＋1－xn|≤16(25)n－1.
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方法二 当 n＝1 时，a1＝2> 3＝ 2×1＋1，结论成立． 假设当 n＝k(k∈N*)时结论成立，即 ak> 2k＋1. 那么当 n＝k＋1 时，由函数 f(x)＝x＋1x(x>1)的单调递增性
和归纳假设，
知 ak＋1＝ak＋a1k>
2k＋1＋
1 ＝2k＋1＋1＝ 2k＋2 ＝ 2k＋1 2k＋1 2k＋1
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当 n＝k＋1 时， k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋31k＋3k＋1 1＋3k＋1 2＋3k1＋1 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋31k＋(3k＋1 1＋3k＋1 2＋3k＋1 3－k＋1 1) >56＋(3k＋1 1＋3k＋1 2＋3k＋1 3－k＋1 1) >56＋(3×3k＋1 3－k＋1 1)＝56. ∴当 n＝k＋1 时不等式亦成立． ∴原不等式对一切 n≥2，n∈N*均成立．
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(2)当 n＝1 时，|xn＋1－xn|＝|x2－x1|＝16，结论成立； 当 n≥2 时，易知 0<xn－1<1， ∴1＋xn－1<2，xn＝1＋1xn－1>12. ∴(1＋xn)(1＋xn－1)＝(1＋1＋1xn－1)(1＋xn－1)＝2＋xn－1≥52. ∴|xn＋1－xn|＝|1＋1 xn－1＋1xn－1|＝1＋|xxnn－1x＋n－1x|n－1≤25|xn－xn－ 1|≤(25)2|xn－1－xn－2|≤…≤(25)n－1|x2－x1|＝16(25)n－1.
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第四页，共43页。
1．数学归纳法的适证对象 数学归纳法是用来证明关于 正整数 命题的一种方法，若 n0 是起始值，则 n0 是 使命题(mìng tí)成立的最小正整．数
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2．数学归纳法的步骤 用数学归纳法证明命题时，其步骤如下： (1)当 n＝ n0 (n0＝N*)时，验证命题成立： (2)假设 n＝k，(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，推证 n＝ k＋1 . 时命题也成立，从而推出对所有的 n≥n0，n∈N＋命题成立，其 中第一步是 归纳(guīnà)，基第础二步是 归纳(guīnà)二递者推缺一不可．