试题君之大题精做君2018学年高二数学人教A版必修5第01-02章 含解析

第一章 解三角形
大题精做1 1.1.1正弦定理
1．在ABC △中,已知c =6错误！未找到引用源。

,A =45°,a =2,求b 和B ,C .
2．已知O 是锐角三角形ABC 的外接圆圆心，tan A ＝
22，若cos cos 2,sin sin B C AB AC mAO C B +=求m 的值.
3．在ABC △中，求证：22sin 2sin 22sin .a B b A ab C +=
4．（2018·蚌埠三模）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2b sin A （1）求B的大小；
（2）求cos A+sin C的取值范围．
5．（2018·四川模拟）如图，四边形ABCD是平面四边形，∠ADB=∠BCD=90°，AB=4，BD=2．（1）若BC=1，求AC的长；
（2）若∠ACD=30°，求tan∠BDC的值．
6．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,A＝2B.
（1）求B的取值范围；
（2）求a
b
的取值范围.
7．（2018年高考浙江卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b +c =2a cos B .
（1）证明：A =2B ；
（2）若cos B =
23，求cos C 的值．
8．（2018年高考湖南卷）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,a =b tan A ,且B 为钝角.
（1）证明：2
B A π-=； （2）求sin A +sin
C 的取值范围.
9．（2018年高考北京卷）在ABC △中，a =3,b =26，B =2A .
（1）求cos A 的值；
（2）求c 的值.
1．【解析】∵
sin sin a c A C = 错误！未找到引用源。

,∴sin C =sin 6sin45322
c A a ⨯︒==错误！未找到引用源。

.
∵0°<C <180°,∴C =60°或120°
, ∴当C =60°时,B =75°, sin 6sin1531sin sin120c B b C ︒===+︒
错误！未找到引用源。

;
当C =120°时,B =15°
, sin 6sin7531sin sin60c B b C
︒===-︒. ∴31b =+，B =75°,C =60°或31b =-,B =15°
,C =120°. 2．【解析】设a ，b ，c 分别为ABC △的内角A ，B ，C 的对边，
由tan A ＝22
，A 为锐角，得sin A ＝33，cos A ＝63. 由cos cos 2,sin sin B C AB AC mAO C B
+=两边平方得， 22222222cos cos cos cos 2cos 4,sin sin sin sin B C B C c b bc A R m C B B C
⋅++=⋅ （R 为ABC △外接圆的半径）． 由正弦定理，得
cos 2B ＋cos 2C ＋2cos B cos C cos A ＝m 2，①
又cos C ＝−cos （B ＋A ）
＝sin A sin B−cos A cos B ，
则cos C ＝33sin B−63
cos B ，② 将②代入①并化简得m 2＝
13， 由已知得m >0，∴m ＝33
. 3．【解析】设为ABC △外接圆的直径，则sin ,sin ,a k A b k B ==由题意，知
C ΑΒ=π-(+),所以sin sin()C A B =+，于是
左边=22
sin 2sin 2a B b A + 22=(sin )sin 2(sin )sin 2k A B k B A ⋅+⋅
2=2sin sin (sin cos cos sin )k A B A B A B ⋅+
2=2sin sin sin()k A B A B +
2=2sin sin sin k A B C
=2sin sin sin k A k B C ⋅⋅⋅
=2sin ,ab C
又等式右边=2sin .ab C 所以左边=右边.
所以原式成立.
4．【解析】（1）由a =2b sin A ，根据正弦定理，得sin A =2sin B sin A ， 所以1sin =2
B ， 由AB
C △为锐角三角形，得6B π=
． （2）13cos sin cos sin()cos sin()cos cos sin 6622
A C A A A A A A A ππ+=+π--=++=++ 3sin()3
A π=+. 由ABC △为锐角三角形知，50,0,262A A πππ<<
<-< ∴,32A ππ<< ∴,336
A 2ππ5π<+< ∴13sin()232
A π<+<． 由此有333sin(),232
A π<+< 所以，cos A +sin C 的取值范围为33(
)22，． 5．【解析】（1）设∠ABD =α，∠CBD =β．
根据题意知，在Rt ABD △中，21cos ,42BD AB α=
==∴α=3
π． 在Rt CBD △中，1cos ,.23
BC BD ββπ==∴= ∴2=3αβ+π．即23ABC =π∠. 在ABC △中，2222222cos =14214cos
21.3AC AB BC AB BC ABC π=+-⋅+-⨯⨯⨯=∠ ∴21AC =．
（2）在Rt ABD △中，4,2,AB BD == 得60,2 3.ABD AD ==∠ 设∠BDC =，在ACD △中，根据正弦定理，得23,sin(90)sin 30
AC θ=+化为43cos AC θ=． 在ABC △中，sin(6090)sin 60AC AB θ=+-，化为83cos(60)3
AC θ=-， ∴8343cos cos(60)3
θθ=-，化为3cos 2cos(60)θθ=-， ∴3cos cos 3sin ,θθθ=+ ∴23tan =3
θ. 6．【解析】（1）在锐角三角形ABC 中，0<A <2π，0<B <2π，0<C <2π，即02022032B B B π⎧<<⎪⎪π⎪<<⎨⎪π⎪<π-<⎪⎩
, 解得
64B ππ<<，即B 的取值范围为(,)64
ππ. （2）由正弦定理,知sin sin 2=2cos (2,3),sin sin a A B B b B B ==∈故所求的a b 的取值范围是(2,3). 7．【解析】（1）由正弦定理，得sin sin 2sin cos B C A B +=，
故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，
于是sin sin()B A B =-，
又,(0,π)A B ∈，故0πA B <-<，所以π()B A B =--或B A B =-，
因此πA =（舍去）或2A B =，
所以2A B =.
（2）由2cos 3B =，得5sin 3
B =，21cos 22cos 19B B =-=-，又由（1）知2.A B = 所以1cos 9A =-，45sin 9
A =，
22cos cos()cos cos sin sin 27
C A B A B A B =-+=-+=
. 8．【解析】（1）由a =b tan A 及正弦定理，得sin sin ,cos sin A a A A b B ==所以sin B =cos A ,即sin sin().2
B A π=+ 又B 为钝角，因此+(,)22A ππ∈π，故,2B A π=+即.2
B A π-= （2）由（1）知,()(2)20,22
C A B A A ππ=π-+=π-+=->所以(0,)4
A π∈. 于是2219sin sin sin sin(2)sin cos 22sin sin 12(sin ).248A C A A A A=A A A π+=+-=+-++=--+ 因为(0,)4A π
∈，所以2sin (0,),2A ∈故219292(sin )(,],4828
A --+∈ 因此sin sin A C +的取值范围为29(,]28
. 9．【解析】（1）因为a =3,b =26，B =2A ,所以在△ABC 中，由正弦定理得
326.sin sin 2A A = 所以2sin cos 26.sin 3A A A =故6cos 3
A =. （2）方法一：由（1）知6cos 3A =,所以23sin 1cos .3
A A =-= 又
B =2A ,所以cos B =cos2A =2cos 2A −1=
13. 所以222sin 1cos .3
B B =-= 在AB
C △中，sin C =sin （A +B ）= sin A cos B +cos A sin B =
53.9 所以sin 5.sin a C c A
== 方法二：C ΑB Α,=π--=π-3则sin sin3,C A =于是由正弦定理,sin sin c a C A
=得32sin 33sin 33sin(2)3(3sin 4sin )912sin .sin sin sin sin a A A A A A A c A A A A A
+-=====- 由（1）知6cos .3
A =可得221sin 1cos ,3A A =-= 所以1912 5.3c =-⨯=
大题精做2 1.1.2余弦定理
△中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝3sin A sin C，求B的度数．
1．在ABC
△中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x2－23x＋2=0的两根，2cos（A＋B）=1. 2．在ABC
（1）求角C的度数；
（2）求AB的长．
3．已知ab＝40，a＋b＝13，C为60°，求这个三角形的各边长．
4．（2018•丰台区二模）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C +
12
c =b ． （1）求角A 的大小；
（2）若a =21，b =5，求c 的值．
5．在ABC △中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断ABC △的形状．
6．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．
7．（2018年高考北京卷）在△ABC 中，2222+=+a c b ac .
（1）求B ∠的大小；
（2）求2cos cos A C +的最大值.
8．（2018年高考江苏卷）在△ABC 中，已知AB=2，AC =3, A =60°.
（1）求BC 的长；
（2）求sin2C 的值.
9．（2018年高考安徽卷）设ABC △的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1,2.b c A B ===
（1）求的值；
（2）求sin()4A π+的值．
10．（2018年高考山东卷）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B =
79. （1）求a ，c 的值；
（2）求sin （A －B ）的值．
11．（2018年高考四川卷）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且c o s ()c o s
s i n ()A B B A B ---⋅
sin()A C +35
=-.
（1）求sin A 的值；
（2）若42a =，5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影.
12．（2018年高考浙江卷）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B ．
（1）求角B 的大小；
（2）若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．
1．【解析】因为sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，
由正弦定理，得b 2－c 2－a 2＝3ac ，
由余弦定理，得2223
cos =22
c a b B ca +-=-
， 又0°＜B ＜180°，∴B ＝150°.
2．【解析】（1）∵cos C =cosπ－（A ＋B ）]=－cos （A ＋B ）=－
12
，且C （0，π），∴C ＝23π
.
（2）∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴23
,2
a b ab ⎧+=⎪⎨
=⎪⎩
∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos C ＝（a ＋b ）2－ab ＝10，∴AB ＝10. 3．【解析】∵ab ＝40，a ＋b ＝13，∴a ＝5，b ＝8或a ＝8，b ＝5，
∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝49，∴c ＝7.
故三角形三边长为a ＝5 cm ，b ＝8 cm ，c ＝7 cm 或a ＝8 cm ，b ＝5 cm ，c ＝7 cm. 4．【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理及a cos C +12c =b ，可得sin A cos C +1
2
sin C =sin B ， 化简可得sin A cos C +1
2
sin C =sin （A +C ）=sin A cos C +cos A sin C ， 解得cos A =
12
， 因为0<A <180°， 所以A =60°.
（2）由余弦定理2
2
2
2cos a b c bc A =+-可得21=25+c 2−5c ，即c 2
−5c +4=0， 解得c =1或c =4， 经检验，1和4都是解， 所以c 的值是1或4．
5．【解析】方法一：由正弦定理可得2sin B ＝sin A ＋sin C ，
∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°，A ＝120°－C ， 将其代入上式，得2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C ， 展开整理，得
32sin C ＋1
2
cos C ＝1， ∴sin(C ＋30°)＝1，∴C ＋30°＝90°. ∴C ＝60°，故A ＝60°，
∴ABC △是正三角形．
方法二：由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∵B ＝60°，2
a c
b +=， ∴2
22(
)2cos 602
a c a c ac +=+-
∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又∵B ＝60°， ∴a ＝b ＝c ，∴ABC △为正三角形．
6．【解析】设BD ＝x ，在ABD △中，由余弦定理得 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos ∠BDA ， 即142＝118＋x 2−20x cos60°，
∴x 2−10x －96＝0,∴x ＝16（x ＝−6舍去）， 即BD ＝16.
在BCD △中，由正弦定理,得
,sin sin BC BD
CDB BCD
=∠∠
∴16sin(9060)
8 2.sin135
BC -=
=
7．【解析】（1）由余弦定理及题设得2
2
222cos 222=
=-+=ac ac ac b c a B . 又因为0πB <∠<，所以π
4
B ∠=. （2）由（1）知3π4
A C ∠+∠=
. 3π
2cos cos 2cos cos(
)4
A C A A +=+- 2222π2cos cos sin cos sin cos()22224A A A A A A =-
+=+=-. 因为3π04A <∠<
，所以当π
4
A ∠=时，C A cos cos 2+取得最大值. 8．【解析】（1）由余弦定理知，2
2
2
1
2cos 4922372
BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=, 所以7BC =.
（2）由正弦定理知,
,sin sin AB BC C A =所以2sin 6021
sin sin .77
AB C A BC =⋅==
因为AB <BC ,所以C 为锐角，则2
327cos 1sin 1.77
C C =-=-
= 所以212743
sin 22sin cos 2.777
C C C =⋅=⨯
⨯= 9．【解析】（1）因为2A B =，所以sin sin 22sin cos A B B B ==，
由正、余弦定理得222
22a c b a b ac
+-=⋅．
因为3,1b c ==，所以2
12,23a
a ==．
（2）由余弦定理,得22291121
cos 263
b c a A bc +-+-===-．
由于0A <<π，所以2122
sin 1cos 193
A A =
-=-
=
． 故sin()sin cos cos sin 444
A A A πππ
+=+
2221242
()32326
-=
⨯+-⨯=
． 10．【解析】：（1）由余弦定理,得b 2＝a 2+c 2−2ac cos B ，
得b 2＝（a ＋c ）2−2ac （1＋cos B ）， 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝
7
9
， 所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.
（2）在ABC △中，sin B ＝2
42
1cos 9
B -=
. 由正弦定理，得sin A ＝
sin 22
3
a B
b =
. 因为a ＝c ，所以A 为锐角． 所以cos A ＝2
11sin 3
A -=
. 因此sin （A －B ）＝sin A cos B －cos A sin B ＝
102
27
. 11．【解析】（1）由3cos()cos sin()sin(),5
A B B A B A C ---+=-得
3
cos()cos sin()sin 5
A B B A B B ---=-，
则3cos[()]5A B B -+=- ，即3
cos .5A =-
又0A <<π，则4
sin .5
A =
（2）由正弦定理，有
sin sin a b A B =，所以sin 2
sin ,2
b A B a == 由题意，知,a b >则,A B >故4
B π
=
. 根据余弦定理，有2
2
2
3
(42)525()5
c c =+-⨯⨯-， 解得1c =或7c =-（负值舍去）.
故向量BA 在BC 方向上的投影为2||cos 2
BA B =. 12．【解析】（1）由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理
sin sin a b A B
=， 得sin B ＝3cos B ，
所以tan B ＝3，0B <<π，所以π3
B =． （2）由sin
C ＝2sin A 及
sin sin a c A C
=，得c ＝2a ． 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac ． 所以3a =，23c =.
大题精做3 1.2应用举例（1）
1．在ABC △中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a ，b ，c ，其中b =6，ABC △的面积为15．其外接圆
半径为5．
（1）求sin2B 的值； （2）求ABC △的周长．
2．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c . 已知3a =，6
cos 3
A =，2
B A π=+.
（1）求的值； （2）求ABC △的面积.
3．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝
4π，b 2－a 2＝1
2
c 2. （1）求tan C 的值；
（2）若ABC △的面积为3，求b 的值．
4．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知1
2,cos , 3.3
BA BC B b ⋅==
=求： （1）a 和c 的值；
（2）cos （B －C ）的值．
5．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且满足22
(cos )2
a c
b A b a -=-.
（1）求角B 的大小；
（2）若BD 为AC 边上的中线，1129
cos ,72
A BD ==
，求△ABC 的面积.
6．在△ABC 中,,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足2cos 23=-a C b c . （1）求A 的大小；
（2）现给出三个条件：①2a =；②45B =；③3c b =.试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC 的面积（只需写出一个方案即可，写多种方案以第一种方案记分）.
7．已知△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2
5
sin sin cos 3
a A B
b A a +=
. （1）求
b a
； （2）若222
85
c a b =+，求角C 的大小.
8．（2018年高考新课标Ⅰ卷）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =
（1）求C ；
（2）若7,c ABC △=的面积为33
2
，求ABC △的周长．
9．（2018年高考安徽卷）在△ABC 中，3π
=6=324
A A
B A
C ∠=，，，点
D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.
10．（2018年高考新课标Ⅱ卷）在ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，
△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． （1）求
sin sin B
C
∠∠；
（2）若1AD =，2
2
DC =，求BD 和AC 的长．
11．（2018年高考陕西卷）△ΑΒC 的内角Α,Β,C 所对的边分别为，，．向量()
,3=a b m 与
()cos ,sin =ΑΒn 平行．
（1）求Α； （2）若7a =，2b =，求△ΑΒC 的面积．
12．（ 2018年高考湖南卷）如图,在平面四边形ABCD 中,1,2,7AD CD AC ===. （1）求cos CAD ∠的值; （2）若7cos 14BAD ∠=-
,21
sin 6
CBA ∠=,求BC 的长.
13．（2018年高考浙江卷）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,3a b c ≠=，
22cos cos 3sin cos 3sin cos .A B A A B B -=-
（1）求角C 的大小； （2）若4
sin 5
A =，求ABC △的面积.
14．（2018年高考新课标Ⅰ卷）如图，在△ΑΒC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ΑΒC 内一点，
∠BPC ＝90°.
（1）若PB ＝
1
2
，求P A ； （2）若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .
15．（2018年高考浙江卷）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2
cos 3
A =，sin
B ＝5cos
C ． （1）求tan C 的值； （2）若2a =，求ABC △的面积．
1．【解析】（1）由正弦定理，得2sin b
R B
=， ∴sin B =
325
b R =. 又∵△ABC 的面积为15， ∴1
sin 15.2
S ac B =
= ∴ac =50>b 2．
∴a ，c 有一个比b 大， 即∠B 是锐角， ∴cos B =
45
， ∴sin2B =2sin B cos B =3424
2=.5525
⨯⨯
（2）由（1）及余弦定理,得2224
cos 25
a c
b B a
c +-=
=， ∴a 2+c 2=116， ∴（a +c ）2=216， ∴a +c =66，
∴△ABC 的周长为a +b +c =6+66．
2．【解析】（1）∵0A <<π，∴2263
sin 1cos 1(
)33
A A =-=-=
， 又∵2B A π=+
，∴6
sin sin()cos 23
B A A π=+==， 由正弦定理
sin sin a b A B =，得6
3sin 332sin 33
a B
b A
⨯
===； （2）3cos cos()sin ,23
B A A π=+=-=-
()()sin sin sin C A B A B =π-+=+⎡⎤⎣⎦， sin cos cos sin A B A B =+ 33661
()33333
=
⨯-+⨯=， ∴ABC S =
△11132
sin 3322232
ab C =⨯⨯⨯=
. 3．【解析】（1）由b 2−a 2＝
12c 2及正弦定理得sin 2B −12＝1
2
sin 2C ，所以−cos2B ＝sin 2C . 又由4A π=
，即B ＋C ＝3
4
π， 得−cos2B ＝3cos[2(
)]sin 2=2sin cos 4
C C C C π
--=--，解得tan C ＝2. （2）由tan C ＝2，C ∈（0，π）得sin C ＝
255，cos C ＝5
5
-. 又因为sin B ＝sin （A ＋C ）＝sin()4C π+，所以sin B ＝10
10
.由正弦定理得c ＝22b ， 又因为4A π=
，1
sin 3,2
bc A =所以62bc =，故b ＝3. 4．【解析】（1）由2BA BC ⋅=，得c ·a cos B ＝2.又1
cos 3
B =
，所以ac ＝6. 由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.
解22
6,
13,
ac a c =⎧⎨+=⎩得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. （2）在ABC △中，2
2
122
sin 1cos 1(),3
3
B B =-=-=
由正弦定理，得22242sin sin .339
c C B b =
=⨯= 因为a ＝b >c ，所以C 为锐角， 因此22427
cos 1sin 1(
).99
C C =-=-= 于是cos （B －C ）＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝17224223
+=.393927
⨯
⨯
5．【解析】（1）∵22
(cos )2
a
c b A b a -=-，即222cos 2()bc A ac b a -=-，
∴由余弦定理，知222222()b c a ac b a +--=-， ∴222a c b ac +-=，则1cos 2B =
，故3
π=B . （2）解法一：在△ABD 中，由余弦定理得222129(
)()2cos 222
b b
c c A =+-⋅， 则22
1291447
b c bc =+- ①. 由已知得43
sin 7
A =
， 53
sin sin()sin cos cos sin 14
C A B A B A B =+=+=
, 在△ABC 中，由正弦定理，得
sin sin c b C B =，故5
7
c b = ②. 由①②解得7
5
b c =⎧⎨=⎩.
则1
sin 1032
△=
=ABC S bc A . 解法二：延长BD 到E ，使DE BD =，连接AE ，在△ABE 中，23
π
∠=
BAE ，由余弦定理得 2222cos BE AB AE AB AE BAE =+-⋅⋅⋅∠，
由,,DE BD AD DC == 得四边形ABCE 是平行四边形.
∴AE BC =，∴22
129c a a c =++⋅③.
由已知得，43
sin 7
BAC ∠=，则53sin sin()14C A B =+=，
由正弦定理得
sin 5
sin 8
c ACB a BAC ∠==∠④. 由③④解得5,8c a ==， 故1
sin 1032
△=
⋅⋅∠=ABC S c a ABC . 6．【解析】（1）由正弦定理及2cos 23=-a C b c 得2sin cos 2sin 3sin =-A C B C ，
在△ABC 中，sin sin()=+B A C ，则2sin cos 2sin()3sin =+-A C A C C ，
即2sin cos 2sin cos 2cos sin 3sin =+-A C A C A C C ，则2cos sin 3sin 0-=A C C ，
∵sin 0≠C ，∴3
cos 2
=A ，则6π=A .
（2）方案一：选择①②. 由正弦定理
sin sin a b A B =，得sin 22sin a B
b A
==， ()26
sin sin sin cos cos sin 4
C A B A B A B +∴=+=+=
． 1126
sin 22231224
ABC S ab C +∴==⨯⨯⨯=+△.
方案二：选择①③.
由余弦定理得2222cos b c bc A a +-=，则222
334b b b +-=,则2,23b c ==，
故111
sin 2233222
ABC S bc A =
=⨯⨯⨯=△． 说明:若选择②③,由3c b =得6
sin 3sin 12
C B ==
>，显然不成立，则这样的三角形不存在． 7．【解析】（1）由正弦定理，得22
5
sin sin sin cos sin 3
A B B A A +=
, 即22
5
sin (sin cos )sin 3
B A A A +=
， 故5sin sin 3B A =，所以5
3
b a =.
（2）设5(0)b t t =>，则3a t =，所以22
222288
9254955
c a b t t t =+
=+⋅=， 即7c t =.
由余弦定理，得222222925491
cos 22352
a b c t t t C ab t t +-+-=
==-⋅⋅， 又0C <<π，所以23
π=
C . 8．【解析】（1）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=， 即()2cos sin sin C ΑΒC +=． 故2sin cos sin C C C =．
可得1cos 2C =
，又0C <<π，所以π3C =． （2）由已知，
133
sin 22
ab C =
． 又π
3
C =
，所以6ab =． 由已知及余弦定理得，2
2
2cos 7a b ab C +-=． 故2
2
13a b +=，从而()2
25a b +=．
所以ΑΒC △的周长为57+． 9．【解析】如图，
设△ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得
222223π
2cos (32)62326cos
1836(36)904
=+-∠=+-⨯⨯⨯=+--=a b c bc BAC ， 所以310a =. 又由正弦定理得sin 310
sin 10
310b BAC B a ∠=
==
. 由题设知π04
<<
B ，所以2
1310cos 1sin 11010B B =-=-=
. 在△ABD 中，由正弦定理得sin 6sin 3=10sin(π2)2sin cos cos =
==-AB B B AD B B B B
.
10．【解析】（1）1sin 2△=
⋅∠ABD S AB AD BAD ，1
sin 2
△=⋅∠ADC S AC AD CAD ，因为2△△=ABD ADC S S ，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1
sin 2
B A
C C AB ∠==∠．
（2）因为::△△=ABD ADC S S BD DC ，所以2BD =．在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理得
2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．
故22222
2326AB AC AD BD DC +=++=．由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC =．
11．【解析】（1）因为//m n ，所以sin 3cos 0a B b A -=，
由正弦定理，得sin sin 3sin cos 0A B B A -
=，
又sin 0≠B ，从而tan 3A =， 由于0<<πA ，所以3
π
=
A . （2）解法一：由余弦定理，得2
2
2
2cos a b c bc A =+-，
由72a b ，，
==3
π
=Α， 得2
742c c =+-，即2
230c c --=， 因为0c >，所以3c =. 故△ΑΒC 的面积为
133
sin 22
bc A =
. 解法二：由正弦定理，得
72
sin sin 3
=πΒ， 从而21sin 7
B =
， 又由a b >，知A B >，所以27
cos 7
B =
. 故()321
sin sin sin()sin cos
cos sin 3
3314
C A B B B B π
ππ=+=+=+=
. 所以△ΑΒC 的面积为
133
sin 22
ab C =
. 12．【解析】 （1）由余弦定理可得，在ADC △中，
222cos 2AD AC DC CAD AD AC +-∠=174217
+-=⨯⨯277=
,所以27
cos 7CAD ∠=. （2）因为BAD ∠为四边形的内角,所以sin 0BAD ∠>且sin 0CAD ∠>,则由正余弦的关系可得
sin BAD ∠=23211cos 14BAD -∠=
且2
21sin 1cos 7
CAD CAD ∠=-∠=, 再由正弦的和差角公式可得
()sin sin sin cos sin cos BAC BAD CAD BAD CAD CAD BAD ∠=∠-∠=∠∠-∠∠
32127217()147714=
⨯-⨯-333714+3
2
=
, 再由正弦定理可得，在ABC △中，
sin sin AC BC
CBA BAC
=∠∠7332216
BC ⇒=
⨯=. 13．【解析】（1）由题意得，
1cos 21cos 233
sin 2sin 22222
A B A B ++-=-， 即
3131
sin 2cos 2sin 2cos 22222
A A
B B -=-， sin(2)sin(2)66
A B ππ
-=-，由a b ≠得，A B ≠，
又()0,A B +∈π，得2266A B ππ-+-=π，即23A B π+=，所以3C π
=；
（2）由3c =，4sin 5A =，由正弦定理sin sin a c A C =得8
5
a =，
由a c <，得A C <，从而3cos 5A =
，故()433
sin sin sin cos cos sin 10
B A
C A C A C +=+=+=， 所以ABC △的面积为18318
sin 225
S ac B +=
=
． 14．【解析】 （1）由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°. 在PBA △中，由余弦定理得P A 2＝117323cos 30424+
-⨯⨯︒=.故P A ＝7
2
. （2）设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α. 在PBA △中，由正弦定理得3sin sin150sin(30)
α
α=
︒︒-， 化简得3cos α＝4sin α.
所以tan α＝
34，即tan ∠PBA ＝34
.
15．【解析】 （1）因为0＜A ＜π，cos A ＝
2
3
， 得2
5sin 1cos 3
A A =-=
， 又5cos C ＝sin B ＝sin （A ＋C ）＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝
52
cos sin 33
C C +．所以tan 5C =． （2）由tan 5C =，得5
sin 6
C =
，1cos 6C =．
于是5
sin 5cos 6
B C ==
． 由2a =及正弦定理
sin sin a c A C
=，得3c =． 设ABC △的面积为S ，则15
sin 22
S ac B =
=
．
大题精做4 1.2应用举例（2）
1．如图，一山顶有一信号塔CD （CD 所在的直线与地平面垂直），在山脚A 处测得塔尖C 的仰角为α，沿倾斜角为的山坡向上前进米后到达B 处，测得C 的仰角为β.
A
E D
C
B
α
βθ
（1）求BC 的长；
（2）若24,45,75,30l αβθ====，求信号塔CD 的高度.
2．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，他在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C .并测量得到数据：90ACD ∠=，60ADC ∠=，30ACB ∠=，105BCE ∠=， 45,CEB ∠=DC =CE =2（百米）
．
（1）求CDE △的面积； （2）求A ，B 之间的距离．
3．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(33)+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？
4．（2018届湖北武汉华中师大一附高三5月月考）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，,,A B C 三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点,A B 两地相距100米，60BAC ∠=，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚
2
17
秒，在A 地测得该仪器至最高点H 处的仰角为30.
（1）求,A C 两地的距离；
（2）求这种仪器的垂直弹射高度HC （已知声音的传播速度为340米/秒）.
5．海岛B 上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A ，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D 处（假设游船匀速行驶）.
（1）求该船行驶的速度（单位：米/分钟）.
（2）又经过一段时间后，游船到达海岛B 的正西方向E 处，问此时游船距离海岛B 多远.
6．（2018年高考上海卷）如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米.设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和. （1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得，，
45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确
到0.01米）.
7．（2018年高考江苏卷）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .
现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ，在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213
，cos C ＝3
5.
（1）求索道AB 的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
1．【解析】（1）在△ABC 中，,(),CAB ABC ACB αθβθβα∠=-∠=π--∠=-， 由正弦定理得sin()
sin()
BC l αθβα-=
-.
（2）由（1）及条件知，sin()
12(62)sin()
BC l αθβα-=
=--，9015BCD β∠=-=，
45CBD βθ∠=-=，120BDC ∠=，
由正弦定理得sin 45
2483sin120
CD BC =
⋅=-.
【名师点睛】解三角形应用题的一般步骤：（1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．（3）选择正弦定理或余弦定理求解．（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
2．【解析】（1）连接DE ，在CDE △中，=3609030105=135DCE ∠---， 则112
sin 222222
CDE S DC CE DCE =
⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△（平方百米）. （2）依题意知，在Rt ACD △中，3260tan 2tan =⨯=∠⋅=
ADC DC AC （百米）. 在BCE △中，1801801054530CBE BCE CEB ?-??--=.
由正弦定理
sin sin BC CE
CEB CBE =∠∠，
得 2245sin 30
sin 2
sin sin =⨯=∠⋅∠=
CEB CBE CE BC （百米）. 在△ABC 中，由余弦定理2
2
2
2cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠可得
()(
)
22
22322
22322cos3020122AB =+-⨯⨯=-，
则235221220-=-=
AB （百米）.
3．【解析】由题意知5(33)AB =+海里，906030,DBA=-=∠ 904545,DAB =-=∠ 所以180(4530)105ADB =-+=∠， 在ADB △中，有正弦定理，得
.sin sin DB AB
DAB ADB
=∠∠
sin 5(33)sin 45
103sin sin105
AB DAB DB ADB ⋅+=
==∠∴∠.
又在DBC △中，60.DBC =∠
2222cos60900.DC DB BC DB BC =+-⨯⨯⨯=
∴30.DC =
∴答：该救援船到达D 点需要的时间为30
=1.30
答：该救援船到达D 点需要1小时.
4．【解析】（1）设BC x =，由条件可知2
3404017
AC x x =+
⨯=+， 在△ABC 中，由余弦定理，可得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯∠， 即2221
100(40)2100(40)2
x x x =++-⨯⨯+⨯，
解得380x =.
所以38040420AC =+=（米）. 故,A C 两地的距离为420米．
（2）在ACH △中，420AC =米，30,903060HAC AHC ∠=︒∠=︒-︒=︒， 由正弦定理，可得sin sin AC HC
AHC HAC
=
∠∠， 即
420sin60sin30HC
=
︒︒
， 所以1
4202140332
HC ⨯
=
=（米），
故这种仪器的垂直弹射高度为1403米．
5．【解析】（1）在Rt ABC △中，=60BAC ∠，AB = 10米， 则BC = 103米.
在Rt ABD △中，=45BAD ∠，AB = 10米，则BD = 10米. 在Rt BCD △中，=75+15=90DBC ∠， 则CD =
22+BD BC = 20（米）.
所以速度v =
1
CD
= 20（米/分钟）. （2）在Rt BCD △中，=30BCD ∠， 又因为=15DBE ∠，所以=105CBE ∠， 所以=45CEB ∠.
在BCE △中，由正弦定理可知
sin 30sin 45
EB BC
=，
所以sin 30
56sin 45
BC EB =
=（米）.
故又经过一段时间后，游船到达海岛B 的正西方向E 处，此时游船距离海岛65米. 6．【解析】（1）∵2αβ≥，且022
βαπ
<≤<
， tan tan 20αβ∴≥>，
即2
40035
16400
CD
CD CD ≥>-
，解得20228.28CD ≤≈. 因此，CD 的长至多约为28.28米.
（2）由题意得18038.1218.45123.43ADB ∠=--=， ∵
3580sin123.43sin18.45
AD
+=，
∴43.61AD ≈米.
∵2
2
2
35235cos38.12CD AD AD =+-⋅⋅⋅， ∴26.93CD ≈米.
所以CD 的长约为26.93米. 7．【解析】（1）在ABC △中， 因为cos A ＝
1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝4
5
.
从而sin B ＝sinπ－（A ＋C ）]＝sin （A ＋C ）＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝
5312463
13513565
⨯+⨯=. 由正弦定理sin sin AB AC C B
=，得12604
sin =1040(m)
63sin 565
AC AB C B =⨯=⨯． 所以索道AB 的长为1 180 m.
（2）假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了（100＋50t ） m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理，得
222212
(10050)(130)2130(10050)200(377050)13
d t t t t t t =++-⨯⨯+⨯=-+， 因为1040
0130t ≤≤
，即0≤t ≤8， 所以当35
37
t =分钟时，甲、乙两游客距离最短．
（3）由正弦定理sin sin BC AC
A B =， 得12605sin 500(m)63sin 1365
AC BC A B
=⨯=⨯=． 乙从B 出发时，甲已走了50×（2＋8＋1）＝550（m ），还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤
-≤，解得1250625
4314
v ≤≤，
所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在1250625
[,]4314
（单位：m/min ）范围内．
第二章 数 列
大题精做1
2.1 数列的概念与简单表示法
1．已知数列{}n a 的通项公式是()1n
n a n =-+，写出数列{}n a 的前5项．
2．按照数列的每一项随序号变化的情况分类：
（1）递增数列——从第2项起，每一项都________它的前一项的数列； （2）递减数列——从第2项起，每一项都________它的前一项的数列； （3）常数列——各项________的数列；
（4）摆动数列——从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． （5）指出下列数列哪些是有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、摆动数列、常数列 ①1，2，22，23，24，…，263； ②1，0.84，0.842，0.843，…； ③0，10，20，30，…，1 000.
3．数列{}n a 的通项公式是276n a n n =-+ . （1）这个数列的第4项是多少？
（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ （3）该数列从第几项开始各项都是正数？
4．据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． （1）－1， 7，－13，19，… （2）0.8，0.88，0.888，… （3）115132961,,,,,,248163264
-
-
5．（1）设数列{}n a 满足111,1,1
,11n n a n a n a
-==⎧⎪
⎨=>⎪+⎩
写出这个数列的前5项； （2）求数列2
*
2+9+{}(3)n n n ∈-N 的最大项．
6．已知数列{}n a 中，117266a a ＝,＝，通项公式是项数n 的一次函数．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）88是否是数列{}n a 中的项？
7．如图所示，有n (n ≥2)行n ＋1列的士兵方阵：
（1）写出一个数列，用它表示当n 分别为2，3，4，5，6，…时方阵中的士兵人数． （2）说出（1）中数列的第5，6项，用a 5，a 6表示； （3）若把（1）中的数列记为{a n }，求该数列的通项公式a n ； （4）求a 10，并说明a 10所表示的实际意义．
8．已知数列{}n a 的通项()10(
)()11*1
n
n a n n =+∈N 试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项
的项数；若没有，说明理由
1．【解析】∵数列{a n }的通项公式是1()n n a n -+＝，∴1110a =-+=，2
123a =+=，3132a =-+=， 4145a =+=，5
154a =-+=． 2．【解析】（1）大于；（2）小于；（3）相等；（5）①有穷数列、递增数列；②无穷数列、递减数列；③有穷数列、递增数列.
3．【解析】（1）∵276n a n n =-+，∴2447466a -⨯+=-＝．∴这个数列的第4项是−6． （2）解方程2
76150n n -+=，得n =16，或9n =-，∵*
n ∈N ， ∴150是这个数列的项，它是第16项． （3）由2760n a n n =-+≥， 得n ≤1，或n ≥6．
∴数列从第7项开始各项都是正数．
4．【解析】（1）符号可通过(－1)n 表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，
故通项公式为a n ＝(－1)n ·(6n －5)；
（2）将数列变形为8
8881(10.1),(10.01),(10.001),
,(1)999910
n n a ---=-；
（3）各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为23
2
--
； 原数列可化为1234123423232323
,,,,,2222------
∴23(1).2
n n
n n a -=-⋅
5．【解析】（1）由题意可知：
a 1＝1，
a 2＝111a +＝111+＝12
， a 3＝
211a +＝1112
+＝23， a 4＝311a +＝1213
+＝35， a 5＝411a +＝1315+＝58. （2）令2=293n a n n -++，所以a n 与n 构成二次函数关系．因为229105=293=2(),48n a n n n +--++-且n 为正整数，所以当n 取2时，a n 取到最大值13，所以数列22++{}93n n -的最大项为13.
6．（1）设a n ＝an ＋b .∴a 1＝a ＋b ＝2，①
a 17＝17a ＋
b ＝66.②
②－①，得16a ＝64，∴a ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2(*n ∈N )．
（2）令4n －2＝88⇒4n ＝90,n ＝452
*∉N ， ∴88不是数列{a n }中的项．
7．【解析】（1）当2n =时，表示士兵的人数为2行3列，人数为6；当3n =时，表示3行4列，人数为12，依次类推，故所求数列为6,12,20,30,42， .
（2）方阵的行数比数列的序号大1，因此第5项表示的是6行7列，第6项表示的是7行8列，故5642,56.a a ==
（3）根据对数列的前几项的观察、归纳，猜想数列的通项公式.
前4项分别为6=23,12=34,20=45,30=56⨯⨯⨯⨯ ，因此(1)(2)n a n n =++.
（4）由（3）知101112132a ⨯＝＝，a 10表示11行12列的士兵方阵中士兵的总人数．
8．解：∵() 1–( 2n n a a n +=+110)11n + ( (–1 )n +10)=11
n 1011n
⎛⎫ ⎪⎝⎭119n - ∴当n ＜9时， 1 >0n n a a +-即 1n n a a +>
； 当n =9时1 =0n n a a +-，即 1=n n a a +，
当n ＞9时， 1<0n n a a +-即 1n n a a +<，
故129101112 >>>a a a a a a =<<<，
∴数列n a ｛｝中最大项为910a a 或，其值为91010()11
⋅，其项数为9或10 大题精做2 2.2 等差数列
1．若240z x x y y z ----=()()()，求证：x ，y ，z 成等差数列．
2．已知数列{}n a 中，85n a n =+，那么数列{}n a 是否为等差数列，如果是，公差和首项是多少？
3． 已知等差数列{}n a ，若8094=a ，10059=a ，求79a 的值．
4．已知数列{}n x 的首项13,x =通项公式2(*,,)n n x p nq n p q =+∈N 为常数，且145,,x x x 成等差数列，
求,p q 的值.
5．在等差数列{}n a 中，14724615,45,a a a a a a ++==求数列{}n a 的通项公式.
6．已知等差数列{}n a ：3,7,11,15
（1）135,419(*)m m +∈N 是数列{}n a 中的项吗？说明理由；
（2）若,(,*)m t a a m t ∈N 是数列{}n a 中的项，则23m t a a +是数列{}n a 中的项吗？说明理由.
7．有四个数成等差数列，它们的平方和等于276，第一个数与第四个数之积比第二个数与第三个数之积少32，求这四个数．
8．已知函数()=f x x ax b
+(a ，b 为常数，0a ≠)满足()21f ＝，且()f x x ＝有唯一解． （1）求f (x )的表达式；
（2）若数列{x n }由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，n ∈N *)且x 1＝1. ①求证：数列1{}n
x 是等差数列； ②求数列{x n }的通项公式．
9．某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元.从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元.按照这一规律，如果公司不引进新产品，也不调整经营策略，那么从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
10．已知数列{}n a 满足1331(*,2)n n n a a n n -=+-∈≥N 且395a =.
（1）求12,a a 的值；
（2）是否存在一个实数，使得1()(*)3n n n
b a t n =
+∈N 且数列{}n b 为等差数列？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.
1．证明：∵2222()422420.z x x y y z x z y z x y z x y ----=+-⋅++=+-=()()()()() ∴2y x z =+，∴x y z ,,成等差数列.
2．【解析】根据等差数列的定义知118(1)5(85)8,85=13,n n a a n n a +-=++-+==+故数列{}n a 是以首项为1=13a ，公差为8d =的等差数列.
3．【解析】设公差为d ，则491591488058100
a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得116,2a d =-⎧⎨=⎩所以791(791)140a a d =+-=. 4．【解析】由13x =，得2 3.p q +=①
又455424,25,x p q x p q =+=+ 且1542,x x x +=得
5532528.p q p q ++=+②
由 ②，得1q =.将1q =代入①得 1.p =
故1, 1.p q ==
5．【解析】∵174262a a a a a +==+，∴1474315,a a a a ++== ∴45a =.
∴262610,9.a a a a +==且
∴261,9a a =⎧⎨=⎩ 或26
9,1.a a =⎧⎨=⎩ 若261,9,a a == 则62=262
a a d -=-， ∴2(2)23n a a n d n =+-=-.
若269,1a a ==，则622,62
a a d -==-- ∴2(2)132.n a a n d n =+-=-
∴数列{}n a 的通项公式为23n a n =-或132.n a n =-
6．【解析】（1）∵1213,4,a d a a ==-=
∴1(1)41n a a n d n =+-=-.
设41135,n a n =-=解得34.n =
∴135是数列{}n a 中的第34项.
∵4194(5)1m m +=+-，且*m ∈N ，
∴419m +是数列{}n a 中的第(5)m +项.
（2）∵,(,*)m t a a m t ∈N 是数列{}n a 中的项，
∴41,41,m t a m a t =-=-
∴232(41)3(41)4(231) 1.m t a a m t m t +=-+-=+--
∵231*,m t +-∈N
∴23m t a a +是数列{}n a 中的第(231)m t +-项.
7．【解析】设四个数依次为33a d a d a d a d -，-，+，+，
∴2222(3)()()(3)276,()()(3)(3)32.a d a d a d a d a d a d a d a d ⎧-+-++++=⎨-+--+=⎩
∴222569,4.
a d d ⎧+=⎪⎨=⎪⎩∴a ＝±7，d ＝±2. ∴所求的四个数依次为：1，5，9，13或13，9，5，1或−13，−9，−5，−1或−1，−5，−9，−13.
8．【解析】（1）由()21f ＝，得21,2a b =+即2a ＋b ＝2. 由f (x )＝x ，得x x ax b
=+，即210()ax b x ＋－＝有唯一解， ∴Δ＝(b －1)2＝0，∴b ＝1.∴1=2
a . ∴2().2
x f x x =+ （2）①证明：当n ≥2时，1112==.2
()n n n n x x f x x --+－ 又11>0>00.n n x x x ∴≠=，
，即 ∴11112111111,=222
n n n n n n x x x x x x ----+==+-即. 故数列1{}n x 是首项为1，公差为12
的等差数列． ②解：由①得1111(1),22
n n n x +=+-=
∴2(*).1
n x n n =∈+N 9．【解析】设从第1年起，第n 年的利润为n a ，
则11200,20(2,*),n n a a a n n -=-=-≥∈N
∴每年的利润n a 可构成一个等差数列{}n a ，且公差20.d =-
∴1(1)200(1)(20)22020.n a a n d n n =+-=+--=-
若0n a <，则该公司经销这一产品将亏损.
由220200,n a n =-< 得11.n >
故从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
10．【解析】（1）当2n =时，2138.a a =+
当3n =时，32326=95.a a =+∴21123.2338, 5.a a a =∴=+∴=
（2）当2n ≥时，
1111111112()()(33)=(312)1.33333n n n n n n n n n n n n t b b a t a t a t a t t ----+-=+-+=+----=- 要使数列{}n b 为等差数列，则必须使120,t +=所以12t =-
. 即存在12
t =-，使{}n b 为等差数列.
大题精做3 2.3 等差数列的前n 项和
1．在等差数列{}n a 中，公差2,11n d a ==,前n 项和35n S =．求a 1和n ．。