用正交相似变换约化一般矩阵为上海森柏格阵

序列{vk },{uk }满足
(1)
lim
k
u
k

xk
,
max ( xk )
(2)
lim
k
max(
vk
)

1
n
.
收敛速度的比值为 r n .
n1
反幂法中也可以用原点平移法来加速迭代过程或求其 他特征值及特征向量.
如果矩阵 ( A pI )1存在，其特征值为
3
1 , 1 ,, 1 ,
n
n1
1
对应的特征向量为 xn , xn1,, x1 .
因此计算 A的按模最小的特征值n的问题就是计算 A1
的按模最大的特征值的问题.
1
对于 A1应用幂法迭代（称为反幂法），可求得矩阵 A1
的主特征值 1/ n，从而求得 A的按模最小的特征值 n .
反幂法迭代公式为：
任取初始向量 v0 u0 0 , 构造向量序列
Rk ,
则
Ak 1
U k AkU k


0
A(k 1) 11 Rk ck


A(k 1) 11
0 ck 1
A( k 12
)
Rk
Rk
A(k ) 22
Rk

A(k 1) 12
A(k 1) 22
,
（3.3）
其中
为 A(k 1) 11
k 1阶上海森伯格阵.
5
同理可得：
定理16 设A R nn 有n 个线性无关的特征向量，A
的特征值及对应的特征向量分别记为 i 及 xi (i 1,2,, n), 而 p为 j 的近似值，( A pI )1存在，且
j p i p (i j).
则对任意的非零初始向量 u0 ( j 0) ，由反幂法迭代公式
Ak U k 1 Ak 1U k 1, 或
Ak Uk 1 U1 A1U1 Uk 1,
16
且

a (1) 11
a a (2)
(k 1)
12
1,k 1
1
a(2) 22

a (k 1) 2,k 1


Ak

k 1



k nk

a(2) 3n



A( 2 ) 11
0 c2
a(2) n3

a(2) nn

A( 2 ) 12
A( 2 ) 22
,
其中
c2

(a3( 22)
,,
a(2) n2
)T
R n2,
A( 2 ) 22
R (n2)(n2) .
(2k) 第 步约化：重复上述过程，A设对 已完成第1步 ，…，第 k 1步正交相似变换，即有
4 2 7
矩阵约化为上Hessenberg阵.
22
解 选取初等反射阵 R1使 R1c1 1e1 ，其中
c1 (2,4)T .
(1) 计R算1 :
max( 2,4) 4, c1 c1 (0.5,1)T (规范化)
其中
10
1
0
0
L 0
1
0 ,
0.7321 0.26807 1
1 U 0
0
0.7321 1 0
1

2.7321 ,
0.29405 103
0 1 0 P 0 0 1 .
1 0 0
由 Uv1 (1,1,1)T，得
v1 (12692, 9290.3, 3400.8)T ,
11
u1 (1, 0.73198, 0.26795)T , 由 LUv2 Pu1，得
v2 (20404, 14937, 5467.4)T , u2 (1, 0.73206, 0.26796)T ,
3 对应的特征向量是
vk uk

A1uk 1 vk
max( vk )
(k 1,2,).
迭代向量 vk可以通过解方程组
求得.
Avk uk 1
定理15 设A 为非奇异矩阵且有n 个线性无关的特征 向量，其对应的特征值满足
2
1 2 n1 n 0,
则对任何初始非零向量 u0 (n 0)，由反幂法构造的向量
9
例6 用反幂法求
2 1 0 A 1 3 1
0 1 4
的对应于计算特征值 1.267（9精确特征值为 3 3 3 )
的特征向量（用5位浮点数进行运算）. 解 用部分选主元的三角分解将 A pI (其中 p 1.2679 )
分解为 P( A pI ) LU ,


An1.
a(n2)
n 1, n 1
n1






a (n1) nn

总结上述讨论，有
20
定理17 （豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格阵）设 A R nn ，则存在初等反射阵 U1,U2 ,,Un2 使
Un2 U2U1 AU1U2 Un2
如果 p是 A的特征值 j 的一个近似值，且设 j 与其
他特征值是分离的，即
j p i p (i j),
就是说 1 是 ( A pI )1的主特征值，可用反幂法计算 j p
4
特征值及特征向量.
设 A R nn 有 n个线性无关的特征向量 x1, x2 ,, xn， 则

U
T 0
AU0

H (上海森伯格阵).
算法1（豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格型）
设
A R nn，本算法计算
U
T 0
AU0

H (上海森伯格型)，
其中 U0 U1U2 Un2 为初等反射阵的乘积.
1. U0 I 2. 对于 k 1,2,, n 2
(1) 计算初等反Rk射阵 使
其中 P为某个排列阵，于是求 vk 相当于解两个三角形方程 组
Lyk Puk 1, Uvk yk .
可以按下述方法选择 u0 ：选 u0使
Uv1 L1Pu0 (1,1,,1)T
（2.13）
用回代求解（2.13）即得v1 ，然后再按公式（2.12）进行迭 代.
反幂法计算公式
1. 分解计算
可用来计算特征向量 x j .
只要选择的 p是 j 的一个较好的近似且特征值分离情
况较好，一般 r 很小，常常只要迭代一二次就可完成特征
向量的计算.
反幂法迭代公式中的 vk是通过解方程组
( A pI )vk uk1
求得的. 为了节省工作量，可以先将A pI 进行三角分解
7
P( A pI ) LU ,
8
P( A pI ) LU, 且保存L,U及P信息. 2. 反幂法迭代
(1) 解Uv1 (1,1,,1)T 求v1
1 max( v1), u1 v1 / 1
(2) k 2,3, 1) 解 Lyk Puk 1 求 yk 解 Uvk yk 求 vk
2) k max( vk ) 3) 计算 uk vk / k
8.2.3 反幂法
反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量， 也可用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向量.
设 A R nn为非奇异矩阵， A的特征值次序记为
1 2 3 n ,
相应的特征向量为 x1, x2 ,, xn，则 A1的特征值为
1 1 1 ,
1 p 2 p
n p
对应的特征向量仍然是 x1, x2 ,, xn .
对矩阵 ( A pI )1应用幂法，得到反幂法的迭代公式
uvk0

v0 (A
0, 初始向量 pI )1uk 1
uk vk / max( vk )
(k 1,2,).
（2.12）
选择初等反射阵 R1 I 11u1u1T 使 R1c1 1e1 ,
其中
14

1

sgn (a21)
n
1/ 2
ai21 ,

i2

u1 c1 1e1,


1 1 ( 1 a21).

令
1
U1
R1 ,
第k
步约化只需计算
A( k 12
)
Rk及
Rk
A( k 22
)
Rk
(当
A为对称阵时，只需计算
Rk
A( k 22
)
Rk
).
19
（3） 重复上述过程，则有
U n2 U 2U1 AU1U 2 U n2
a11



1
a(2) 22



2
a (3) 33




n2
Rk ck k e1
(2) 约化计算
A Uk AUk , Uk Ik
Rk
21
(3) U0 U0Uk
本算法约需要
5 3
n
3
次乘法运算，要明显形成
U
还需
0
要附加 2 n3次乘法.
3
例7 用豪斯霍尔德方法将
4 3 7 A A1 2 3 2
（2.12）构造的向量序列{vk },{uk } 满足
(1)
lim
k
u
k

xj
,
max (x j )
(2)
lim
k
max(
vk
)

j
1
p
,即
6
p

1 max (vk
)

j
(当k ),
且收敛速度由比值 r

j

p
/ min i j
i

p 确定.
由该定理知，对 A pI (其中 p j ) 应用反幂法，

a(k) kn
a(k) k 1,n



a(k) n,k 1

a(k) nn

17
其中
ck

(ak( k)1,k
,,
a(k) nk
)T
Rnk ,
A1(1k ) 为
k 阶上海森伯
格阵，A2(2k ) R . (nk )(nk )
设 ck 0，于是可选择初等反射阵 Rk 使 Rkck ke1， 其中, Rk 计算公式为

k

sgn
(a(k ) k 1,k
)
n
a(k ) ik
2 1/ 2 ,

i k 1


uk ck பைடு நூலகம் k e1,

k
k ( k

a(k ) k 1,k
),


Rk

I


k1u
k
u
T k
.
（3.2）
18
令
1

U k

A(k ) 11
0 ck
A1(2k A2(2k
) )

n
k
k,
a(k) 1k
a(k) 2k
a(k) kk
a(k) k 1,k
a(k) nk
a(k) 1,k 1

a(k) 1n

a(k) 2,k 1

a(k) 2n




a(k) k ,k 1
a(k) k 1,k 1
x3 (1, 1 3, 2 3)T (1, 0.73205, 0.26795)T , 由此看出 u2是 x3 的相当好的近似.
特征值3 1.2679 1/ 2 1.267949013 3 3 3 1.26794912.
12
8.3 豪斯霍尔德方法
8.3.1 引言
其中
n
u0 i xi ( j 0), i 1
vk

max
( A pI )k u0 (( A pI )(k 1)
u0
)
,
uk

(A max (( A
pI )k u0 pI )k
u0
)
,
n
( A pI )k u0 i (i p)k xi , i 1
则
A2
U1 A1U1


a11 R1c1
A(1) 12
R1
R1
A(1) 22
R1

（3.1）
15
a11
1


0


0
a(2) 12
a(2) 22
a(2) 32
a(2) n2
a(2) 13

a(2) 1n

a(2) 23
a(2) 33

a(2) 2n
13
（1） 设
a11 a12 a1n
A


a21
an1
a22
an 2

a2n
ann



a11 c1
A(1) 12
A(1) 22
,
其中 c1 (a21,, an1)T R n1，不妨设 c1 0, 否则这一 步不需要约化.
本节讨论两个问题 （1） 用初等反射阵作正交相似变换约化一般实矩阵A 为上海森伯格阵. （2） 用初等反射阵作正交相似变换约化对称矩阵A 为 对称三对角阵. 于是，求原矩阵特征值问题，就转化为求上海森伯格阵 或对称三对角阵的特征值问题.
8.3.2 用正交相似变换约化一般矩阵为上海森柏格阵
设 A (aij ) R nn . 可选择初等反射阵U1,U2 ,,Un2 使 A 经正交相似变换约化为一个上海森伯格阵.