吉林省实验中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题

吉林省实验中学2015---2016学年度下学期
高一年级数学学科期中考试试题
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。

（1）已知直线l 经过点(2,0)A -与点(5,3)B -，则该直线的倾斜角为
（A ）150°
（B ）75°
（C ）135°
（D ）45°
（2）,a b 是任意实数，且a b >，则下列结论正确的是
（A ）33a b --< （B ）
1b a < （C ）1
lg()lg
a b a b
->- （D ）22a b > （3）等差数列{a n }中，a 6＋a 9＝16，a 4＝1，则a 11＝( )
（A ）64 （B ）30 （C ）31 （D ）15 （4）过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍的直线方程是
（A ）2120x y +-= （B ）290x y +-=或250x y -= （C ）210x y --= （D ）2120x y +-=或250x y -= （5）A 为△ABC 的内角，则A A cos sin +的取值范围是（ ）
（A ） （B ）( （C ）(- （D ）[ （6）设等比数列{a n }的前n 项和S n ，已知a 1＝2，a 2＝4，那么S 10等于( )
（A ）210
＋2 （B ）29
－2 （C ）210
－2 （D ）211
－2
（7）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若22()6c a b =-+，△ABC 的
C 的大小为 （A ）3π （B ）23
π （C ）6π （D ）
56
π （8）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 7a 5＝913，则S 13
S 9
＝
（A ）1 （B ）－1 （C ）2 （D ）1
2
（9）在△ABC 中，2
cos 22B a c
c
+=
，（a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则△ABC 的形状为 （A ）正三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰三角形或直角三角形 （D ）等腰直角三角形 （10）在等差数列{}n a 中，11a =，n S 为其前n 项和．若
1917
61917
S S -=，则10S 的值等于 （A ）246 （B ）258 （C ）280 （D ）270 （11）已知,a b 为正实数，且
12
1a b
+=，
若0a b c +-≥对于满足条件的,a b 恒成立，则c 的取值范围为
（A ）(,3-∞+ （B ）(,3-∞+
（C ）(,3-∞+ （D ）(,3-∞+
（12）已知函数2()41f x x =-，若数列1()f n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
前n 项和为n S ，则2018S 的值为
（A ）20172018 （B ）20162018 （C ）40364037 （D ）2018
4037
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）不等式
11
1
>-x 的解集为_________． （14）过()0,1与直线022=--y x 平行的直线方程为 ．（15）等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 ．
（16）若△ABC 的内角,,A B C 满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 ．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）
三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B ，(0,3)C ． （Ⅰ）求BC 边上的高所在直线的方程； （Ⅱ）求BC 边上的中线所在直线的方程．
（18）（本小题满分12分）
已知不等式220ax x c ++>的解集为11
{|}32x x -<<．
（Ⅰ）求a 、c 的值；
（Ⅱ）解不等式220cx x a -+<．
（18）（本小题满分12分）
在锐角△ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 2sin c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若c ABC 面积的最大值．
（19）（本小题满分12分）
已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和．
（21）（本小题满分12分）
在数列{}n a 中，11a =，123n n a a +=+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设3+=n n a b ，求数列{}n nb 的前n 项和n S ．
（22）（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且344n n S a =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21222log log log n n c a a a =++
+，12
11
1
n n
T c c c =
+++
，求使得不等式2291
n n n k n T n ⋅-+≥()恒成立的实数k 的取值范围．
吉林省实验中学2015---2016学年度下学期 高一年级数学学科期中考试参考答案
一、选择题
（1）C （2） A （3） D （4） BC （5） D （6） B （7）A （8） A （9） B （10） C （11） B （12） D 二、填空题
（13）1
(,2)2 （14）012=--y x （15） 4 （16）4
2
6- 三、解答题 （17）【解析】
（Ⅰ）BC 边所在直线的斜率3
2
0637=--=
BC k 因为BC 所在直线的斜率与BC 高线的斜率乘积为—1
所以BC 高线的斜率为2
3
-
又因为BC 高线所在的直线过A(4，0) 所以BC 高线所在的直线方程为)4(2
3
0--=-x y ，即01223=-+y x
（Ⅱ）设BC 中点为M 则中点M （3,5）
所以BC 边上的中线AM 所在的直线方程为0205=-+y x （18） 【解析】
（Ⅰ）由220ax x c ++>的解集为11
{|}32
x x -<<知0a <，
且方程220ax x c ++=的两根为1211
,32
x x =-=.
由根与系数的关系得11
2321132a
c a
⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，由此得12,2a c =-=.
（Ⅱ）不等式220cx x a -+<可化为260x x --<，解得23x -<<.
所以不等式的解集为{|23}x x -<<. （19） 【解析】
（Ⅰ）∵
sin sin a c A C
==
，∴sin C =，又C 是锐角，∴3C π=.
（Ⅱ）∵2222271
cos 222a b c a b C ab ab +-+-===，∴2277a b ab ab +-=-≥2，∴7ab ≤，
∴1sin 2ABC S ab C ∆==，
当且仅当a b =时，ABC ∆.
（20） 【解析】
（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝
a 4－a 13
＝
12－3
3
＝3．
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1,2，…)． 设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3
＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－12
4－3
＝8，解得q ＝2. 所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1
＝2
n －1
，从而b n ＝3n ＋2n －1
(n ＝1,2，…)．
（Ⅱ）由(1)知b n ＝3n ＋2
n －1
(n ＝1,2，…)．
数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n
1－2＝2n
－1．
所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n
－1．
（21）【解析】
（Ⅰ）321+=+n n a a
)3(231+=+∴+n n a a
{}3+∴n a 是以31+a 为首项，公比为2的等比数列 112)3(3-⋅+=+∴n n a a 11=a 321-=∴+n n a （Ⅱ）由（Ⅰ）得12+=n n b
12+⋅=∴n n n nb
13222221+⋅++⋅+⋅=∴n n n S (1)
把（1）乘以2得
243222212+⋅++⋅+⋅=∴n n n S (2)
由（1）-（2）得
21322222++⋅-+++=-n n n n S 2)
22
121(4+⋅---=-n n n n S
22244+⋅-⋅+-=-n n n n S 22224++⋅+-=n n n n S 42)1(2+⋅-=∴+n n n S
（22）
【解析】
（Ⅰ）由344n n S a =-可得14a =，
∵344n n S a =-，∴11344n n S a --=-， ∴1133(44)(44)n n n n S S a a ---=---， ∴1344n n n a a a -=-，即
1
4n
n a a -=， ∴数列{}n a 是首项为14a =，公比为4的等比数列， ∴242n n n a ==．
（Ⅱ）由已知21222log log log 242(1)2(1)n n c a a a n n n n =+++=++
+-+=+，
∴12
111111111
1111223
(1)223
11
n n n
T c c c n n n n n =
+++
=+++
=-+-+
+
-=⨯⨯⨯+++， 由2291
n n n k n T n ⋅-+≥()恒成立，即292n n k -≥恒成立．
设292n n n d -=
，1112(1)929112222
n n
n n n n n n
d d ++++----=-=， 所以当6n ≥时，数列{}n d 单调递减，当15n ≤≤时，数列{}n d 单调递增； 又5613
3264
d d =<=
，所以数列最大项为6364d =， ∴3
64
k ≥。