郑州市第四中学必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测(答案解析)

一、选择题
1．已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是R 上的偶函数，且
32()()231f x g x x x x +=+++，则(1)(2)f g +=（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
2．已知定义在0,
上的函数()f x ，f
x 是()f x 的导函数，满足
()()0xf x f x '-<，且()2f ＝2，则()0x x f e e ->的解集是（ ）
A ．(
)2
0,e
B ．()ln2+∞,
C ．()ln2-∞,
D ．(
)
2
e +∞,
3．函数2()1sin 12x
f x x ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
的图象大致形状为（ ）． A ． B ．
C ．
D ．
4．已知奇函数()f x 在区间[]2,3上单调递增，则()f x 在区间[]3,2--上（ ） A ．单调递增，且最大值为()2f - B ．单调递增，且最大值为()3f - C ．单调递减，且最大值为
()2f -
D ．单调递减，且最大值为()3f -
5．函数()3
2241
x x
x
x y -=
+的部分图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式—
—双曲余弦函数：()cosh x f x c
a c a =+=2
x
x
a a
e e a -
++⋅（e 为自然对数的底数）．当
0c ，1a =时，记(1)p f =-，12m f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，(2)n f =，则p ，m ，n 的大小关系为
（ ）．
A ．p m n <<
B ．n m p <<
C ．m p n <<
D ．m n p <<
7．已知幂函数2
242
()(1)m
m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2x
g x t =-，任意
1[1,6)x ∈时，总存在2[1,6)x ∈使得()()12f x g x =，则t 的取值范围是（ ）
A ．128t <<
B ．128t ≤≤
C ．28t >或1t <
D ．28t ≥或1t ≤
8．下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．y x =
B ．2log y x =
C ．1y x x
=+
D ．5y x =
9．已知32()2f x x ax ax =++，对任意两个不等实数12,[1,)x x ∈+∞，都有
()()
211212
0x f x x f x x x ->-，则a 的取值范围（ ）
A ．2a ≥-
B ．2a ≤-
C ．4a ≥-
D ．4a ≤-
10．已知函数()2sin tan 1cos a x b x
f x x x
+=
++，若()10100f =，则()10f -=（ ）
A ．100-
B ．98
C ．102-
D ．102
11．定义在[]1,1-的函数()f x 满足下列两个条件：①任意的[1,1]x ∈-都有
()()f x f x -=-；②任意的,[0,1]m n ∈，当m n ≠，都有()()
0f m f n m n
-<-，则不等式
(12)(1)0f x f x -+-<的解集是（ ）
A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．12,23⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．11,
2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
D ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭
12．已知函数2,1
()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩
，若存在1212,,x x R x x ∈≠，使得()()
12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a <-或2a > B ．2a > C ．22a -<< D ．2a <
13．设函数()()
21213
1
log 1313
x x
e e x
f x x -
-=++
++，则做得()()31f x f x ≤-成立的x 的
取值范围是（ ） A ．1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．11,,42⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭ D ．11,42
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
14．设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意的x D ∈，存在y D ∈，使得()()f x f y =-成立，则称函数()f x 为“呆呆函数”，下列为“呆呆函数”的是（ ） A ．2sin cos cos y x x x =+ B ．2x y = C ．ln x y x e =+
D ．22y x x =-
15．函数22
22
(1)ln 2(1)
x y x x +=-⋅+的部分图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
16．已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞内单调递减，且()10f -=，则使不等式
(1)
0f x x
+≤成立的x 的取值范围是_________. 17．已知定义域为N 的函数()y f x =满足()()(
)2,10
5,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则
()5f =___________.
18．设函数()()3
33f x x x x R =-+∈.已知0a >，且()()()()2
f x f a x b x a -=--，
b R ∈，则ab =______.
19．已知定义域为()0,∞+的函数()y f x =满足：对任意()0,x ∈+∞，恒有
()()2 2 f x f x =成立；当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论：
①对任意m ∈Z ，都有()2
0m
f =；
②函数()y f x =的值域为[)0,+∞； ③存在n ∈Z ，使得(
)
219n
f +=；
④“函数()y f x =在区间(),a b 上是严格减函数”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得
()
1(,)2,2k k a b +⊆”.
其中所有正确结论的序号是__________
20．记号{}max ,m n 表示m ，n 中取较大的数，如{}max 1,22=．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，()222max ,4x f x x x a a ⎧⎫
=-+-⎨⎬⎩⎭
．若0x <时，()f x 的最
大值为1，则实数a 的值是_________．
21．函数()f x 与()g x 的图象拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ､(1,1)B ､(0,0)O ､(1,1)C --､(0,1)D -五个点，若()f x 的图象关于原点对称的图形即为()
g x 的图象，则其中一个函数的解析式可以为__________.
22．以下结论正确的是____________
（1）如果函数()y f x =在区间(,)a b 上是连续不断的一条曲线，并且有
()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点；
（2）命题:0,1x
p x e ∀>>都有，则0
0:0,1x p x e
⌝∃≤≤使得；
（3）空集是任何集合的真子集； （4）“a b >”是“22a b >的充分不必要条件” （5）已知函数(23)43,1
(),1x
a x a x f x a x +-+≥⎧=⎨<⎩
在定义域上是增函数，则实数a 的取值范围是(1,2]
23．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()3f x f x =+，若()21f =-，则
()2020f =______.
24．幂函数()2
23
m
m f x x --=在0,
上单调递减且为偶函数，则整数m 的值是______.
25．定义在()0,∞+上的函数()f x ，满足对于任意正实数x ，y 恒有
()()()f xy f x f y =+，且()31f =，如果对任意的1x ，()20,x ∈+∞，当12x x ≠时，
都有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦，则不等式()()82f x f x +-<的解集是_________．
26．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在[]2,0-上是减函数，下面是关于()f x 的判断：（1）()0f 是函数的最大值；（2）()f x 的图像关于点()1,0P 对称；（3）()f x 在[]2,3上是减函数；（4）()f x 的图像关于直线2x =对称.其中正确的命题的序号是____________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
先由()f x 是R 上的奇函数，()g x 是R 上的偶函数，且32
()()231f x g x x x x +=+++，得到32
()()231f x g x x x x -+-=-+-+，求出()f x 和()g x ，再求(1)(2)f g +
【详解】
因为32()()231f x g x x x x +=+++，所以32
()()231f x g x x x x -+-=-+-+.又()
f x 是奇函数，()
g x 是偶函数，所以32
()()231f x g x x x x -+=-+-+，
则32
()23,()1f x x x g x x =+=+，故(1)(2)5510f g +=+=.
故选：D 【点睛】 函数奇偶性的应用:
(1)一般用()()f x f x =-或()()f x f x =-;
(2)有时为了计算简便,我们可以对x 取特殊值: (1)(1)f f =-或(1)(1)f f =-.
2．C
解析：C
【分析】
由导数公式得出2()()()0f x xf x f x x x ''-⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，从而得出函数()f x x 的单调性，将不等式()
0x
x
f e e ->可化为
()(2)2
x x
f e f e >
，利用单调性解不等式即可.
【详解】
因为2()()()0f x xf x f x x x ''-⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦
，所以函数()f x x 在区间0,上单调递减
不等式()0x
x
f e e
->可化为
()(2)2
x x
f e f e >
，即2x
e <，解得ln 2x <
故选：C 【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是由导数公式得出函数
()
f x x
的单调性，利用单调性解不等式. 3．B
解析：B 【分析】
首先判断函数的奇偶性，再判断0πx <<时，函数值的正负，判断得选项. 【详解】
因为2()1sin 12x f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以12()sin 12x
x
f x x -=⋅+， ()()()2221sin 1sin 1212x x x
f x x x -⎛⎫⨯⎛⎫
-=--=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
()()21221sin 12x x x ⎛⎫
+- ⎪=-- ⎪+⎝⎭
221sin 1sin 12
12x
x x x ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
()f x =，
所以函数是偶函数，关于y 轴对称，排除C ，D ， 令()0f x =，则
2
1012
x
-=+或sin 0x =，解得()x k k Z π=∈，而0πx <<时，120x -<，120x +>，sin 0x >，此时()0f x <.故排除A.
故选：B ． 【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
4．A
解析：A 【分析】
利用函数单调性的定义结合奇函数的基本性质可判断函数()f x 在区间[]3,2--上的单调性，进而可得出函数()f x 在区间[]3,2--上的最值. 【详解】
任取1x 、[]23,2x ∈--且12x x <，即1232x x -≤<≤-，所以，2123x x ≤-<-≤， 因为函数()f x 在区间[]2,3上单调递增，则()()21f x f x -<-， 因为函数()f x 为奇函数，则()()21f x f x -<-，()()12f x f x ∴<， 因此，函数()f x 在区间[]3,2--上为增函数，最大值为()2f -，最小值为()3f -.
故选：A. 【点睛】
方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：
（1）取值：设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值，且12x x <；
（2）作差变形：即作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差()()12f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值→作差→变形→定号→下结论.
5．A
解析：A 【分析】
研究函数奇偶性和区间(的函数值的正负，利用排除法即得结果. 【详解】
函数()3
3222()41
22x x x
x
x
x x x y f x ---==
=++，定义域为R ， 对于任意的自变量x ，()3
33222()()222222
x x x x x x
x x x x x x
f x f x -------=
==++-=-+++，故函数()y f x =是奇函数，图象关于原点中心对称，故CD 错误；
又(
32()22
22x x x
x
x x x x x y f x ----===
++，
故(x ∈时，00,0,202x x x x x ->+>-+>，，即()0y f x =<，故A 正确，B 错误. 故选：A. 【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6．C
解析：C 【分析】
先利用导数证明函数()f x 在区间0,上单调递增，再结合单调性比较大小即可.
【详解】
由题意知，()2x x e e f x -+=，21
()22x x x x
e e e
f x e --+-'==
当0x >时，()0f x '>，即函数()f x 在区间0,
上单调递增
1(1)(1)2
e e
f f -+-==
10122<
<<，1(1)(2)2f f f ⎛⎫
∴<< ⎪⎝⎭
，即m p n << 故选：C 【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是利用导数证明函数()f x 的单调性，再结合单调性比较大小.
7．B
解析：B 【分析】
先根据幂函数定义解得m ，再根据单调性进行取舍，根据任意存在性将问题转化为对应函数值域包含问题，最后根据函数单调性确定对应函数值域，根据值域包含关系列不等式解得结果. 【详解】
由题意22(1)1420
m m m ⎧-=⎨-+>⎩，则0m =，即()2
f x x =，
当[)11,6x ∈时， ()[
)11,36f x ∈，
又当[)21,6x ∈时， ()[)22,64g x t t ∈--，
∴216436t t -≤⎧⎨-≥⎩
，解得128t ≤≤，
故选：B ． 【点睛】
对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即
1212,,()()()x x f x g x y f x ∀∃=⇒=的值域包含于()y g x =的值域； 1212,,()()()x x f x g x y f x ∃∃=⇒=的值域与()y g x =的值域交集非空．
8．D
解析：D 【分析】
对四个选项一一一判断：
A 、
B 不是奇函数，
C 是奇函数，但在()0,∞+上不单调. 【详解】 对于A ：
y =
()0,∞+上单调递增,但是非奇非偶，故A 错误；
对于B ：2log y x =为偶函数，故B 错误； 对于C ：1
y x x
=+
在（0,1）单减，在（1，+∞）单增，故C 错误； 对于D ：5
y x =既是奇函数也在()0,∞+上单调递增，符合题意. 故选：D 【点睛】
四个选项互不相关的选择题，需要对各个选项一一验证.
9．C
解析：C 【分析】
首先变形条件，得到函数()()
f x
g x x
=
在[)1,+∞单调递增，利用二次函数的单调性，求a 的取值范围.
【详解】
[)12,1,x x ∈+∞，不等式两边同时除以12x x ()()()()
122112121212
00
f x f x x f x x f x x x x x x x -
-∴>⇔>--， 即函数()()f x g x x
=
在[)1,+∞单调递增，()2
2g x x ax a =++， 函数的对称轴是4
a x =-
，则14a
-≤，解得：4a ≥-.
故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是原式等价为()()
1212
12
f x f x x x x x -
>-，从而通过构造函数，确定函数的单调性，转化为二次函数的单调性解决问题.
10．D
解析：D 【分析】
令()()2
1g x f x x =--，根据奇偶性定义可判断出()g x 为奇函数，从而可求得
()()10101g g -=-=，进而求得结果.
【详解】
令()()2
sin tan 1cos a x b x
g x f x x x
+=--=
()()()()()sin tan sin tan cos cos a x b x a x b x
g x g x x x
-+---∴-===--
()g x ∴为奇函数
又()()2
10101011g f =--=- ()()10101g g ∴-=-=
即()()2
101011f ----= ()10102f ∴-=
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性求解函数值的问题，关键是能够通过构造函数的方式得到奇函数，利用奇函数的定义可求得对应位置的函数值.
11．D
解析：D 【分析】
根据题意先判断函数()f x 的奇偶性与单调性，然后将不等式变形得(12)(1)f x f x -<-，再利用单调性和定义域列出关于x 的不等式求解. 【详解】
根据题意，由①知函数()f x 为奇函数，由②知函数()f x 在[0,1]上为减函数，所以可得函数()f x 在[]1,1-是奇函数也是减函数，所以不等式(12)(1)0f x f x -+-<，移项得
(12)(1)f x f x -<--，变形(12)(1)f x f x -<-，所以11121x x -≤-<-≤，得
2
03
x ≤<
. 故选：D. 【点睛】
本题考查的是函数单调性与奇偶性的综合问题，需要注意：
（1）判断奇偶性：奇函数满足()()f x f x -=-；偶函数满足()()f x f x -=； （2）判断单调性：增函数()[]
1212()()0x x f x f x -->
；12
12
()()
0f x f x x x ->-；
减函数：()[]1212()()0x x f x f x --<；
1212
()()
0f x f x x x -<-；
（3）列不等式求解时需要注意定义域的问题.
12．D
解析：D 【分析】
若存在1212,,x x R x x ∈≠，使得()()12f x f x =成立，则说明()f x 在R 上不单调，分
0a =，0a <和0a >三种情况讨论求解. 【详解】
若存在1212,,x x R x x ∈≠，使得()()12f x f x =成立，则说明()f x 在R 上不单调，
当0a =时，2,1
()1,1
x x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，图象如图，满足题意；
当0a <时，函数2
y x ax =-+的对称轴02
a
x =
<，其图象如图，满足题意；
当0a >时，函数2
y x ax =-+的对称轴02
a
x =
>，其图象如图，要使()f x 在R 上不单
调，则只要满足1
2
a
<，解得2
a<，即02
a
<<.
综上，2
a<.
故选：D.
【点睛】
本题考查分段函数的单调性的应用及二次函数的性质的应用，得出()
f x在R上不单调是解题的关键.
13．D
解析：D
【分析】
先判断()
f x是偶函数且在0,上递减，原不等式转化为31
x x
≥-，再解绝对值不等式即可.
【详解】
()()()
21
1
22
11
33
111
log13log1
3
1313
x x
x
x
e e
e
e
x x
f x x x
-
--
⎛⎫
=+++=+++ ⎪
++⎝⎭
，()
1
2
1
3
11
log1,,
3
13
x
x
e
e
x
y x y y
-
⎛⎫
=+== ⎪
+⎝⎭
在0,上都递减
所以()
f x在0,上递减，
又因为()()
()()
1
2
1
3
11
log1
3
13
x
x
e
e
x
f x x f x
-
-
-
-
⎛⎫
-=+-++=
⎪
+⎝⎭
，
且()
f x的定义域为R，定义域关于原点对称，
所以()
f x是偶函数，
所以()()()()
313131
f x f x f x f x x x
≤-⇔≤-⇔≥-，
可得
11
31
42
x x x x
-≤-≤⇒≤≤，x的取值范围是
11
,
42
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，
故选：D.
【点睛】
将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
14．C
解析：C 【分析】
根据“呆呆函数”的定义可知：函数()f x 的值域关于原点对称，由此逐项判断. 【详解】
根据定义可知：()f x 为“呆呆函数”⇔()f x 的值域关于原点对称， A ．2
111sin cos cos sin 2cos 2222
y x x x x x =+=
++
111sin 224222y x π⎡-⎛
⎫=
++∈⎢ ⎪⎝
⎭⎣⎦，此时值域不关于原点对称，故不符合； B ．()20,x
y =∈∞+，值域不关于原点对称，故不符合；
C ．ln x y x e =+，当0x →时，y →-∞，当x →+∞时，+y →∞， 所以()ln ,x
y x e =+∈-∞+∞，值域关于原点对称，故符合；
D ．()[)2
22111,y x x x =-=--∈-+∞，值域不关于原点对称，故不符合， 故选：C. 【点睛】
本题考查新定义函数，涉及到函数值域的分析，主要考查学生的分析理解能力，难度一般.
15．C
解析：C 【详解】
函数(
)
()
22
221ln 21x y x x +=-⋅+是偶函数，排除AD;且
222
222(1)2,02(1)
x x x x ++≥+∴≤+ 当01,0,10.x y x y <<>==时当时， 排除B,选C.
点睛：这个题目考查的是由函数的解析式画函数的图象；一般这种题目是排除法来做的；先找函数的定义域，值域，看是否和解析式相符；再看函数的对称性，奇偶性，看两者是否相符；还有可以判断函数的极限值．
二、填空题
16．【分析】先由定义域为R 的偶函数在区间内单调递减且画出的草图结合图象对进行等价转化解不等式即可【详解】由题意可知在区间内为增函数函数的图象可看作是由的图象向左平移1个单位长度得到的作出和的大致图象如图
解析：[)()2,00,-⋃+∞
【分析】
先由定义域为R 的偶函数()f x 在区间[)0,+∞内单调递减，且()10f -=，画出()f x 的草图，结合图象对(1)
0f x x
+≤进行等价转化，解不等式即可. 【详解】
由题意可知()f x 在区间(),0-∞内为增函数，函数()1y f x =+的图象可看作是由
()y f x =的图象向左平移1个单位长度得到的，作出()y f x =和()1y f x =+的大致图
象，如图所示.
不等式
(1)
0f x x
+≤可化为： ()0
10x f x <⎧⎨
+≥⎩
，当0x <时()10f x +≥，观察图象，得20x -≤<； ()0
10x f x >⎧⎨
+≤⎩
，当0x >时()10f x +≤，观察图象，得0x >； 所以不等式的解集为[)()2,00,-⋃+∞ 故答案为：[)()2,00,-⋃+∞. 【点睛】
常见解不等式的类型：
(1)解一元二次不等式用图象法或因式分解法； (2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则； (3)高次不等式用穿针引线法； (4)含参数的不等式需要分类讨论．
17．9【分析】判断自变量的范围根据分段函数的解析式逐步求解即可解答过程要注意避免出现计算错误【详解】由题知故答案为：9【点睛】方法点睛：对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一这类问题的特点是综合性强对
解析：9 【分析】
判断自变量的范围，根据分段函数的解析式，逐步求解即可，解答过程要注意避免出现计算错误. 【详解】
由题知，()()()2,10
5,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩
，
()()()()()()()510,555101028f f f f f f f <∴=+==-=，
()()()()()()(85)13811321128190,1f f f f f f f +<∴===-==-=，
故答案为：9. 【点睛】
方法点睛：对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值．
18．【分析】先将进行因式分解再与比较利用对应系数相等可得关于的方程即可得的值即可求解【详解】因为所以因为所以对任意的恒成立所以不恒为所以展开整理可得：所以解得：或（舍）所以故答案为：【点睛】关键点点睛： 解析：2-
【分析】
先将()()f x f a -进行因式分解再与()()2
x b x a --比较，利用对应系数相等可得关于
,a b 的方程，即可得,a b 的值，即可求解.
【详解】
因为()()3
33f x x x x R =-+∈，
所以()()()
()3
3
3
3
33333f x f a x x a a x a x a -=-+----=-+，
()()()()2222
33x ax a x ax x a x a x a a ⎡⎤---==+-++-⎣+⎦，
因为()()()()2
f x f a x b x a -=--，
所以()()()2
2
2
3x ax a x b x x a a ⎡⎤-=⎣-⎦
++--，对任意的x 恒成立， 所以x a -不恒为0，
所以()()2
2
3x ax a x b x a ++-=--
展开整理可得：()2
3ax a a b x ab +-=-++，
所以()
2
3a a b a ab
⎧=-+⎨
-=⎩ 解得：12a b =⎧⎨
=-⎩或1
2
a b =-⎧⎨=⎩（舍），
所以()122ab =⨯-=-， 故答案为：2-. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是将()()f x f a -进行因式分解，由x a -不恒为0，得出
()()223x ax a x b x a ++-=--利用待定系数法可求,a b 的值.
19．①②④【分析】根据函数递推关系计算判断①求出时函数的值域然后由递推关系确定函数在上的值域判断②④解方程判断③【详解】①由题意又∴依此类推可得是负整数时设∴时①正确；②又当时时∴时的值域是又时依此类推
解析：①②④ 【分析】
根据函数递推关系计算(2)m
f ，判断①．求出(1,2]x ∈时，函数的值域，然后由递推关系确定函数在(0,)+∞上的值域，判断②④．解方程(
)
219n
f +=判断③． 【详解】
①由题意(2)220f =-=，又()()2 2 f x f x =，∴2(2)2(2)f f =，
322(2)2(2)2(2)f f f ==，依此类推可得1(2)2(2)0m m f f -==，*m N ∈，
1
(1)(2)02
f f =
=，m 是负整数时，设,*m k k N =-∈，1
1111111
(2)(
)()()(1)0222222k k k k k
f f f f f ---====
==，∴m Z ∈时，(2)0m f =，
①正确；
②(1,2]x ∈，()2[0,1)f x x =-∈，又(2)2()f x f x =，当(2,4]x ∈时，
()2()[0,2)2
x
f x f =∈，
1(2,2]n n x +∈时，()2()[0,2)2
n n n x f x f =∈，∴1x >时，()f x 的值域是[0,1)[0,2)
[0,2)
[0,)n =+∞，
又1(,1]2
x ∈时，11
()(2)[0,)22
f x f x =
∈，依此类推01x <<时，都有()0f x ≥， 综上()f x 在(0,)+∞上的值域是[0,)+∞．②正确；
③当0n ≤且n Z ∈时，(21)2(21)121n n n f +=-+=-<，不可能等于9， 当*n N ∈时，
()
11121212(1)221219222n n n n n n n n f f f ⎡⎤⎛⎫⎡
⎤+=+=+=⨯--=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
，210n =，与
n Z ∈矛盾．③错误；
④根据函数上面的推导知()f x 在1(2,2]n n +上单调递减，1(2)0n f +=，n Z ∈，因此函数
()y f x =在区间(),a b 上是严格减函数的充要条件是存在k ∈Z ，使得
()
1(,)2,2k k a b +⊆，④正确．
故答案为：①②④． 【点睛】
关键点点睛：本题考查分段函数的定义，考查函数的单调性与值域，分段函数值的计算．关键在求函数的值域．我们在1x >时，通过函数性质(2)2()f x f x =得出()f x 在
1(2,2]n n +的值域是[0,2)n ，然后由这无数的集合求并集得出1x >时函数值的取值范围．
20．【分析】首先将时函数写成分段函数的形式并求函数的最小值根据奇函数的性质可知时的最小值是建立方程求【详解】当时解得：此时令解得此时所以时函数又因为此时是定义在上的奇函数所以图象关于原点对称时函数的最小
解析：2
±
【分析】
首先将0x >时，函数()f x 写成分段函数的形式，并求函数的最小值，根据奇函数的性质可知0x >时的最小值是1-，建立方程求a 【详解】
当0x >时，22240x x x a a -+-+≥，解得：2
02x a <≤，此时()22x f x x a =-+，令
22240x x x a a
-+-+<，解得22x a >，此时()2
4f x x a =-， 所以0x >时，函数()2222
24,2,02x a x a f x x x x a a
⎧-≥⎪
=⎨-<≤⎪⎩，又因为此时()f x 是定义在R 上的奇函数，所以图象关于原点对称，0x ∴>时，函数的最小值是-1， 当22x a ≥时，函数单调递增，()2
2
2
min 242f x a a a =-=-，
当2
02x a <≤时，()2
22222124
x a a f x x x a a ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，
函数的()(
)2
2
min 22f x f a
a
==-，
所以0x >时，函数的最小值是22a -，即221a -=-，
解得：2a =±.
故答案为：2
± 【点睛】
思路点睛：本题主要考查分段函数与函数性质的综合应用，首先根据新定义，正确写出函
数()f x 的表达式，这是本题最关键的一点，然后就转化为分段函数求最值问题.
21．【分析】先根据图象可以得出f(x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个再在AB 或OB 中选取一个即可得出函数f(x)的解析式【详解】由图可知线段OC 与线段OB 是关于原点对称的线段CD 与线段BA 也是关于原点
解析：()1x f x ⎧=⎨
⎩
1001x x -<<<< 【分析】
先根据图象可以得出f (x )的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，即可得出函数f (x ) 的解析式. 【详解】
由图可知，线段OC 与线段OB 是关于原点对称的，线段CD 与线段BA 也是关于原点对称的，根据题意，f (x) 与g (x) 的图象关于原点对称，所以f (x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，比如其组合形式为: OC 和AB ， CD 和OB , 不妨取f (x )的图象为OC 和AB ，
OC 的方程为: (10)y x x =-<<，AB 的方程为: 1(01)y x =<<， 所以,10
()1,01
x x f x x -<<⎧=⎨
<<⎩，
故答案为：,10
()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩
【点睛】
本题主要考查了函数解析式的求法，涉及分段函数的表示和函数图象对称性的应用，属于中档题.
22．（1）（5）【分析】利用零点存在定理可判断命题（1）的正误根据全称命题的否定可判断命题（2）的正误根据集合的包含关系可判断命题（3）的正误根据充分必要条件可判断命题（4）的正误根据函数的单调性求出参
解析：（1）（5）. 【分析】
利用零点存在定理可判断命题（1）的正误，根据全称命题的否定可判断命题（2）的正误，根据集合的包含关系可判断命题（3）的正误，根据充分必要条件可判断命题（4）的正误，根据函数()y f x =的单调性求出参数a 的取值范围，可判断出命题（5）的正误. 【详解】
对于命题（1），由零点存在定理可知，该命题正确；
对于命题（2），由全称命题的否定可知，该命题不正确，应该是
00:0,1x p x e ⌝∃>≤使得；；
对于命题（3），空集是任何非空集合的真子集，但不是空集本身的真子集，该命题错误； 对于命题（4），取2a =，3b =-，则a b >，但22a b <，所以，“a b >”不是“22a b >”
的充分不必要条件，该命题错误；
对于命题（5），由于函数()y f x =在R 上是增函数，则()1230123143a a a a a ⎧+>⎪
>⎨⎪≤+⨯-+⎩
，
解得12a <≤，该命题正确. 故答案为（1）（2）（5）. 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查零点存在定理、全称命题的否定、集合的包含关系、充分不必要条件的判断以及分段函数单调性，解题时应充分利用这些基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握，属于中等题．
23．1【分析】首先根据题中所给的条件判断出函数的最小正周期结合奇函数的定义求得结果【详解】因为所以函数是以3为周期的周期函数且是定义域为的奇函数所以故答案为：1【点睛】该题考查的是有关函数的问题涉及到的
解析：1 【分析】
首先根据题中所给的条件，判断出函数的最小正周期，结合奇函数的定义，求得结果. 【详解】
因为()()3f x f x =+，所以函数()f x 是以3为周期的周期函数， 且是定义域为R 的奇函数，
所以(2020)(67432)(2)(2)1f f f f =⨯-=-=-=， 故答案为：1. 【点睛】
该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数奇偶性与周期性的综合应用，属于简单题目.
24．1【分析】根据幂函数的定义与性质列不等式求出的取值范围再验证是否满足条件即可【详解】幂函数在上单调递减所以的整数值为0或12；当时不是偶函数；当时是偶函数；当时不是偶函数；所以整数的值是1故答案为：
解析：1 【分析】
根据幂函数的定义与性质，列不等式求出m 的取值范围，再验证是否满足条件即可． 【详解】 幂函数2
23
()m
m f x x --=在(0,)+∞上单调递减，
所以2230m m --<，
13m -<<，m 的整数值为0或1，2；
当0m =时，3
()-=f x x 不是偶函数； 当1m =时，4
()f x x -=是偶函数；
当2m =时，3()-=f x x 不是偶函数； 所以整数m 的值是1． 故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查了幂函数的定义与性质的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
25．【分析】由对任意的当时都有可知该函数是单调增函数再结合定义域且将转化为两函数值的大小比较问题最终列出关于的不等式求解【详解】解：因为对于任意正实数恒有且可化为：因为对任意的当时都有故在上单调递增所以 解析：()8,9
【分析】
由“对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，当12x x ≠时，都有1212()[()()]0x x f x f x -->”可知该函数是单调增函数，再结合“定义域、()()()f xy f x f y =+，且(3)1f =，将
()(8)2f x f x +-<转化为两函数值的大小比较问题，最终列出关于x 的不等式求解．
【详解】
解：因为对于任意正实数x ，y 恒有()()()f xy f x f y =+，且(3)1f =， ()(8)2f x f x +-<可化为：[(8)](3)(3)(9)f x x f f f -<+=．
因为对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，当12x x ≠时，都有1212()[()()]0x x f x f x -->，
故()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以080(8)9x x x x >⎧⎪
->⎨⎪-<⎩
，解得89x <<．
故答案为：(8,9)． 【点睛】
本题考查抽象函数的性质，此例主要是利用单调性研究不等式问题的解，属于中档题．
26．（2）（3）（4）【分析】（1）利用定义在R 上的偶函数在上是减函数即可判断；（2）根据偶函数的定义和条件即可判断；（3）利用函数的周期为4在-20上是减函数即可判断；（4）利用可得的图象关于直线对称
解析：（2）（3）（4） 【分析】
（1）利用定义在R 上的偶函数()f x 在[]2,0-上是减函数，即可判断； （2）根据偶函数的定义和条件()()2f x f x +=-，即可判断； （3）利用函数的周期为4，()f x 在[-2，0]上是减函数，即可判断；
（4）利用()()()22f x f x f x -+=--=+，可得()f x 的图象关于直线2x =对称，即可判断. 【详解】
（1）∵定义在R 上的偶函数()f x 在[]2,0-上是减函数，
故()()20f f ->，()0f 不可能是函数的最大值，故错；
（2）由定义在R 上的偶函数()f x 得()()f x f x -=，
又()()2f x f x +=-，故()()20f x f x ++-=，
即图象关于()10
，对称，故正确； （3）由于()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，
故()f x 为周期函数，且4为它的一个周期，
由在[20]-，
上是减函数，可得()f x 在[2]4，上是减函数，故正确； （4）由于()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，
又()()f x f x -=，故()()4f x f x +=-，
即图象关于直线2x =对称，故正确．
故答案为：（2）（3）（4）．
【点睛】
本题主要考查了抽象函数的函数的奇偶性、周期性和对称性，考查了转化思想，属于中档题.。