精品试卷沪科版九年级数学下册第24章圆综合训练试卷(精选含答案)

沪科版九年级数学下册第24章圆综合训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2、下列叙述正确的有( )个.
（1）y y
=随着x的增大而增大；
（2）如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；
（3）斜边为BC的直角三角形顶点A的轨迹是以BC中点为圆心，BC长为直径的圆；
（4）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；
（5）以
22
11
(1)
22
m m
m m
-+
>
、、为三边长度的三角形，不是直角三角形．
A．0 B．1 C．2 D．3
3、下列判断正确的个数有（）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4、如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，则∠AOD的度数是（）
A．50°B．60°C．40°D．30°
5、如图，O的半径为6，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧AB上的一个动点，则ABC面积的最大值是（）
A．B．C．D．
6、下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
7、如图，直线
3
3
4
y x
=--交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1
个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（）
A．
7
(,0)
3
-B．
17
(,0)
3
-
C．
7
(,0)
3
-或
17
(,0)
3
-D．（﹣2，0）或（﹣5，0）
8、在半径为6cm的圆中，120︒的圆心角所对弧的弧长是（）
A．12πcm B．3πcm C．4πcm D．6πcm 9、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
10、如图所示四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE=110°，∠B=40°，则∠C的度数为
________．
2、已知60°的圆心角所对的弧长l是3.14厘米，则它所在圆的周长是______厘米．
3、如图，正方形ABCD是边长为2，点E、F是AD边上的两个动点，且AE=DF，连接BE、CF，BE与对角线AC交于点G，连接DG交CF于点H，连接BH，则BH的最小值为_______．
4、如图，已知，在ABC 中，AB AC =，30BAC ∠=︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转一个α角()0180α︒<<︒至ADE 位置，连接BD ，CE 交于点F ．
（I ）求证：ABD ACE △△≌；
（2）若四边形ABFE 为菱形，求α的值；
（3）在（2）的条件下，若2AB =，直接写出CF 的值．
5、将点()3,3A -绕x 轴上的点G 顺时针旋转90°后得到点'A ，当点'A 恰好落在以坐标原点O 为圆心，2为半径的圆上时，点G 的坐标为________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．
对于线段AB ，给出如下定义：若线段AB 沿着某条直线l 对称可以得到⊙O 的弦A ′B ′，则称线段AB 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，直线l 称为“反射轴”．
（1）如图，线段CD ，EF ，GH 中是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”有 ；
（2）已知A 点坐标为（0，2），B 点坐标为（1，1），
①若线段AB 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，求反射轴l 与y 轴的交点M 的坐标． ②若将“反射线段”AB 沿直线y ＝x 的方向向上平移一段距离S ，其反射轴l 与y 轴的交点的纵坐标y M 的取值范围为1
2≤y M 136
≤，求S ． （3）已知点M ，N 是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足MN ＝1，若MN 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，当M 点在圆上运动一周时，求反射轴l 未经过的区域的面积．
（4）已知点M ，N 是在以（2，0MN =MN 是
⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，当M 点在圆上运动一周时，请直接写出反射轴l 与y 轴交点的纵坐标的取值范围．
2、如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点D ，E 分别在边CA ，CB 上，CD CE =，连接DE ，AE ，BD ．点F 在线段BD 上，连接CF 交AE 于点H ．
（1）①比较CAE ∠与CBD ∠的大小，并证明；
②若CF AE ⊥，求证：2AE CF =；
（2）将图1中的CDE △绕点C 逆时针旋转()090αα︒<<︒，如图2．若F 是BD 的中点，判断2AE CF =是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.
3、如图，⊙O 的半径为10cm ，弦AB 垂直平分半径OC ，垂足为点D ．
（1）弦AB 的长为 ．
（2）求劣弧AB 的长．
4、如图，△ABC 内接于⊙O ，D 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点，∠DCB ＝∠OAC ．过圆心O 作BC 的平行线交DC 的延长线于点E ．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若CD ＝4，CE ＝6，求⊙O 的半径及tan∠OCB 的值．
5、对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 和点P 给出如下定义：Q 为图形M 上任意一点，若P ，Q 两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P 为图形M 的“二分点”．
C-．
已知点N（3，0），A（1，0），(B，)1
（1）①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是______；
②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；
（2）以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在O的“二分点”，直接写出r的取值范围．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2、D
【分析】
根据反比例函数的性质，得当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大；根据直径所对圆周角为直角的性质，得斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆；根据垂直平分线的性质，得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算，可判断直角三角形，即可完成求解．
【详解】
y x
=-当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大，故（1）不正确； 如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；，故（2）正确；
∵圆的直径所对的圆周角为直角
∴斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆，故（3）正确； 三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确； ∵2
24212124m m m ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭ ∴2
42422221211442m m m m m m ⎛⎫-+++++== ⎪⎝⎭
∴以2211(1)22m m m m -+>、、为三边长度的三角形，是直角三角形，故（5）错误；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了三角形、垂直平分线、反比例函数、圆、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．
3、B
【详解】
①直径是圆中最大的弦；故①正确，
②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确
③半径相等的两个圆是等圆；故③正确
④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确
⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．
综上所述，正确的有①③
故选B
【点睛】
本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．
4、A
【分析】
根据旋转的性质求解80,BOD AOC 110,C A 再利用三角形的内角和定理求解1801104030,COD 再利用角的和差关系可得答案.
【详解】 解： 将△OAB 绕点O 逆时针旋转80°得到△OCD ，
80,BOD AOC
∠A 的度数为110°，∠D 的度数为40°，
110,1801104030,
C A COD
AOD
803050,
故选A
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，掌握“旋转前后的对应角相等”是解本题的关键.
5、C
【分析】
如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO、AK，解直角三角形求出AB，求出CT的最大值，可得结论．
【详解】
解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO、AK，
由题意可得AB垂直平分线段OK，
∴AO=AK，OH=HK=3，
∵OA=OK，
∴OA=OK=AK，
∴∠OAK=∠AOK=60°，
∴AH=OA×sin
∵OH ⊥AB ，
∴AH =BH ，
∴AB =2AH
∵OC +OH ⩾CT ，
∴CT ⩽6+3=9，
∴CT 的最大值为9，
∴△ABC 的面积的最大值为192
⨯
故选：C.
【点睛】
本题考查垂径定理、三角函数、三角形的面积、垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT 的最大值，属于中考常考题型．
6、C
【分析】
根据中心对称图形的概念：一个平面图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能够和原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是对称中心. 根据中心对称图形的概念对各选项进行一一分析判定即可求解．
【详解】
A 、不是中心对称图形，不符合题意；
B 、不是中心对称图形，不符合题意；
C 、是中心对称图形，符合题意；
D 、不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能够与原来的图形重合．
7、C
【分析】
由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0．-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵直线
3
3
4
y x
=--交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，-3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
则PD⊥AB，PD=1，
∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，∴△APD∽△ABO，
∴PD AP OB AB
=，
∴1
35
AP =，
∴AP= 5
3
，
∴OP= 7
3
或OP=
17
3
，
∴P
7
(,0)
3
-或P
17
(,0)
3
-，
故选：C．
【点睛】
本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．
8、C
【分析】
直接根据题意及弧长公式可直接进行求解．
【详解】
解：由题意得：120︒的圆心角所对弧的弧长是
1206
4 180180
n rππ
π
⨯
==；
故选C．
【点睛】
本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．
9、B
【分析】
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【详解】
A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
10、D
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】
解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
二、填空题
1、30
先根据旋转的性质求得CAB ∠，再运用三角形内角和定理求解即可．
【详解】 解：将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△ADE ，∠DAE =110°
110BAC DAE ∴∠=∠=︒，
40B ∠=︒，
1801804011030C B BAC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．
故答案是：30°．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键． 2、18.84
【分析】
先根据弧长公式求得πr ，然后再运用圆的周长公式解答即可．
【详解】
解：设圆弧所在圆的半径为r 厘米， 则60 3.14180
r π⨯=， 解得9.42r π=，
则它所在圆的周长为229.4218.84r π=⨯=（厘米），
故答案为：18.84．
【点睛】
本题主要考查了弧长公式、圆的周长公式等知识点，牢记弧长公式是解答本题的关键．
31##
延长AG交CD于M，如图1，可证△ADG≌△DGC可得∠GCD=∠DAM，再证△ADM≌△DFC可得
DF=DM=AE，可证△ABE≌△ADM，可得H是以AB为直径的圆上一点，取AB中点O，连接OD，OH，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH长度的最小值．
【详解】
解：延长AG交CD于M，如图1，
∵ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC，
∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG，
∴△ADG≌△DGC，
∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC，
∴△ADM≌△CDF，
∴FD=DM且AE=DF，
∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°，
∴△ABE≌△DAM，
∴∠DAM=∠ABE，
∵∠DAM+∠BAM=90°，
∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°，
∴点H是以AB为直径的圆上一点．
如图2，取AB中点O，连接OD，OH，
∵AB=AD=2，O是AB中点，
∴AO=1=OH，
在Rt△AOD中，OD
∵DH≥OD-OH，
∴DH，
∴DH，
．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H是以AB为直径的圆上一点．
4、（1）见解析；（2）120°；（3）2
【分析】
（1）根据旋转的性质和全等三角形的判定解答即可；
α，∠BAE=α+30°，根据菱形的邻角互补求解即（2）根据等腰三角形的性质求得∠ABD=90°－1
2
可；
（3）连接AF ，根据菱形的性质和全等三角形的性质可求得∠FAC =45°，∠FCA =30°，过F 作FG ⊥AC 于G ，设FG=x ，根据等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：（1）由旋转得：AB=AD ，AC=AE ，∠BAD =∠CAE =α，
∵AB=AC ，
∴AB=AC =AD=AE ，
在△ABD 和△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；
（2）∵AB=AD ，∠BAD =α，∠BAC =30°，
∴∠ABD =（180°－∠BAD ）÷2=（180°－α）÷2=90°－12α，∠BAE =α+30°，
∵四边形ABFE 是菱形，
∴∠BAE +∠ABD=180°，即α+30°+90°－12α=180°，
解得：α=120°；
(3)连接AF ，
∵四边形ABFE 是菱形，∠BAE =α+30°=150°，
∴∠BAF =1
2∠BAE =75°，又∠BAC =30°，
∴∠FAC =75°－30°=45°，
∵△ABD ≌△ACE ，
α=30°，
∴∠FCA=∠ABD=90°－1
2
过F作FG⊥AC于G，设FG=x，
在Rt△AGF中，∠FAG=45°，∠AGF=90°，
∴∠AFG=∠FAG=45°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴AG=FG=x，
在在Rt△AGF中，∠FCG=30°，∠FGC=90°，
∴CF=2FG=2x，
CG==，
∵AC=AB=2，又AG+CG=AC，
∴2
x=，
解得：1
x=，
∴CF=2x= 2．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、旋转的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理、解一元一次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
5、()
3-或 【分析】
设点G 的坐标为(,0)a ，过点A 作AM x ⊥轴交于点M ，过点A '作A N x '⊥轴交于点N ，由全等三角形求出点A '坐标，由点A '在2为半径的圆上，根据勾股定理即可求出点G 的坐标． 【详解】
设点G 的坐标为(,0)a ，过点A 作AM x ⊥轴交于点M ，过点A '作A N x '⊥轴交于点N ， 如图所示：
∵()3,3A -，
∴3AM =，3GM a =+，
∵点A 绕点G 顺时针旋转90°后得到点A '， ∴AG A G '=，90AGA '∠=︒， ∴90AGM NGA '∠+∠=︒， ∵AM x ⊥轴，A N x '⊥轴， ∴90AMG GNA '∠=∠=︒， ∴90AGM MAG ∠+∠=︒， ∴MAG NGA '∠=∠，
在AMG 与GNA '中，
AMG GNA MAG NGA AG GA '∠=∠⎧⎪
'∠=∠⎨⎪'=⎩
， ∴()AMG GNA AAS '≅，
∴3GN AM ==，3A M GM a '==+， ∴3ON a =+， ∴(3,3)A a a '++，
在Rt ONA '中，由勾股定理得：222(3)(3)2a a +++=，
解得：3a =-
3a =-
∴()3M -
或()
3M -．
故答案为：()3-
，()
3-． 【点睛】
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识之间的应用是解题的关键． 三、解答题
1、（1）EF 、CD ；（2）①1
(0,)2M ；②02S ≤≤；（3
）1916π⎛ ⎝⎭
;（4）1y >或1y <- 【分析】
（1）O 的半径为1，则O 的最长的弦长为2
，根据两点的距离可得2,EF CD EF ===而即可求得答案；
（2）①根据定义作出图形，根据轴对称的方法求得对称轴，反射线段经过对应圆心的中点，即可求
得M 的坐标；②由①可得当0S =时，y M 1
=2
，设当S 取得最大值时，过点1O 作1O P y ⊥轴，根据题
意，122,,O A B 分别为沿直线y ＝x 的方向向上平移一段距离S 后,,O A B '的对应点，则1O P PO '=S =，根据余弦求得11
cos cos QO PO
MOQ O OP OM OO ∠=∠==进而代入数值列出方程，解方程即可求得S 的最大值，进而求得S 的范围；
（3）根据圆的旋转对称性，找到MN 所在的2O 的圆心，如图，以MN 为边在O 内作等边三角形
2O MN ，连接2OO ，取2OO 的中点R ,过R 作2OO 的垂线l ，则l 即为反射轴,反射轴l 未经过的区域是
以O 为圆心OR 为半径的圆，反射轴l 是该圆的切线，求得半径为1算即可；
（4）根据（2）的方法找到MN 所在的圆心3O ,当M 点在圆上运动一周时，如图，取3OO 的中点1A ，
OT 的中点S ，即3OO 的中点1A 在以S l 与y 轴
交点的纵坐标y 的取值范围 【详解】 （1）
O 的半径为1，则O 的最长的弦长为2
根据两点的距离可得2,EF CD EF ===2,2,2EF CD EF ∴<<>
故符合题意的“反射线段”有EF 、CD ； 故答案为：EF 、CD
（2）①如图，过点B 作BO y '⊥轴于点O '，连接11A B
A 点坐标为（0，2），
B 点坐标为（1，1），
∴
AB ==45BAO '∠=︒，(0,1)O '
O 的半径为1，1190AOB ∠=︒
11A B ∴1145B A O =︒
线段AB 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，()00O ，
，(0,1)O ' 1(0,)2
M ∴
②由①可得当0S =时，y M 1
=2
如图，设当S 取得最大值时，过点1O 作1O P y ⊥轴，根据题意，122,,O A B 分别为沿直线y ＝x 的方向向
上平移一段距离S 后,,O A B '的对应点，则1O P PO '=S =，
(0,1)O ' 1(,1)O S S ∴+
()2
22211221OO S S S S ∴=++=++
过1OO 中点Q ，作直线l 1OO ⊥交y 轴于点M ,则l 即为反射轴
1(,)22
S S Q +∴
1
2≤y M 136≤， 13
6
OM ∴=
11
cos cos QO PO
MOQ O OP OM OO ∠=∠=
= 即1
1
112136
OO S OO += 即()2
1113126
OO S =+⨯
∴()2113
126
S S S ++
=+ 解得1252,6
S S ==-（舍） 02S ∴≤≤
（3）1MN =
∴1M N ''=
O 的半径为1，则M N O ''是等边三角形，
根据圆的旋转对称性，找到MN 所在的2O 的圆心，如图，以MN 为边在O 内作等边三角形
2O MN ，连接2OO ，取2OO 的中点R ,过R 作2OO 的垂线l ，则l 即为反射轴,
∴反射轴l 未经过的区域是以O 为圆心OR 为半径的圆，反射轴l 是该圆的切线
222OO ∴==
2112OR OO ∴==
∴当M 点在圆上运动一周时，求反射轴l 未经过的区域的面积为2
191=16ππ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭
． （4）如图，根据（2）的方法找到MN 所在的圆心3O ,
设(2,0)T
则TM =2MN =3O MN 是等腰直角三角形
3O L ML ∴,
TL ∴==
3TO ∴=当M 点在圆上运动一周时，如图，取3OO 的中点1A ，OT 的中点S ，
1SA ∴是3OO T 的中位线
131
2
SA O T ∴==,13SA TO ∥
即3OO 的中点1A 在以S
∴若MN 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，则l 为S 的切线
设S 与y 轴交于点,C D
1
12OS OT ==，1SC SA =1OC ∴=
同理可得1OD =
∴反射轴l 与y 轴交点的纵坐标y 的取值范围为1y >或1y <-
【点睛】
本题考查了中心对称与轴对称，圆的相关知识，切线的性质，三角形中位线定理，余弦的定义，掌握轴对称与中心对称并根据题意作出图形是解题的关键．
2、（1）①∠CAE =∠CBD ，理由见解析；②证明见解析；（2）AE =2CF 仍然成立，理由见解析 【分析】
（1）①只需要证明△CAE ≌△CBD 即可得到∠CAE =∠CBD ；
②先证明∠CAH =∠BCF ，然后推出∠BDC =∠FCD ，∠CAE =∠CBD =∠BCF ，得到CF =DF ，CF =BF ，则
BD =2CF ，再由△CAE ≌△CBD ，即可得到AE =2BD =2CF ；
（2）如图所示延长DC 到G 使得，DC =CG ，连接BG ，只需要证明△ACE ≌△BCG 得到AE =BG ，再由CF 是△BDG 的中位线，得到BG =2CF ，即可证明AE =2CF ． 【详解】
解：（1）①∠CAE =∠CBD ，理由如下： 在△CAE 和△ CBD 中，
=CE CD ACE BCD AC BC =⎧⎪
∠∠⎨⎪=⎩
， ∴△CAE ≌△CBD （SAS ）， ∴∠CAE =∠CBD ； ②∵CF ⊥AE ， ∴∠AHC =∠ACB =90°，
∴∠CAH +∠ACH =∠ACH +∠BCF =90°， ∴∠CAH =∠BCF ，
∵∠DCF +∠BCF =90°，∠CDB +∠CBD =90°，∠CAE =∠CBD ， ∴∠BDC =∠FCD ，∠CAE =∠CBD =∠BCF ， ∴CF =DF ，CF =BF ， ∴BD =2CF ， 又∵△CAE ≌△CBD ， ∴AE =2BD =2CF ；
（2）AE =2CF 仍然成立，理由如下：
如图所示延长DC 到G 使得，DC =CG ，连接BG ， 由旋转的性质可得，∠DCE =∠ACB =90°，
∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，∠ECG=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECG，即∠ACE=∠BCG，
又∵CE=CD=CG，AC=BC，
∴△ACE≌△BCG（SAS），
∴AE=BG，
∵F是BD的中点，CD=CG，
∴CF是△BDG的中位线，
∴BG=2CF，
∴AE=2CF．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中位线定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
3、（1）（2）20
3π．
【分析】
（1）根据弦AB垂直平分半径OC，OC=OB=10cm，得出OD=CD=1
5
2
OC=，∠ODB=90°，根据勾股定理
BD =AB =2BD =2×
（2）根据锐角三角函数定义求出cos∠DOB =
51102OD OB ==，得出∠DOB =60°，利用弧长公式求出12010201803
l ππ⨯==即可． 【详解】
解：（1）∵弦AB 垂直平分半径OC ，OC =OB =10cm ，
∴OD =CD =152
OC =，∠ODB =90°，
∴
BD ===
∴AB =2BD =2×=
故答案为
（2）cos∠DOB =51102
OD OB ==， ∴∠DOB =60°，
∴AB 的度数为2×60°=120°， ∴12010201803
l ππ⨯==． 【点睛】
本题考查垂直平分线性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长，掌握垂直平分线性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长是解题关键．
4、
（1）见解析
（2）3，2
【分析】
（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出，∠OCA=∠DCB，由圆周角定理可得∠ACB=90°，进而得到∠OCD=90°，即可得出结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到
2
3
BD CD
OB CE
==，设BD=2x，则OB=OC=3x，OD=OB+BD=5x，在
Rt△OCD中，根据勾股定理求出x=1，即⊙O的半径为3，由平行线的性质得到∠OCB=∠EOC，在Rt△OCE中，可求得tan∠EOC=2，即tan∠OCB=2．
（1）
证明：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠DCB＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，
即∠OCD＝90°，
∴OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）
∵OE∥BC，
∴BD CD OB CE
=，
∵CD=4，CE=6，
∴4263
BD OB ==， 设BD =2x ，则OB =OC =3x ，OD =OB +BD =5x ，
∵OC ⊥DC ，
∴△OCD 是直角三角形，
在Rt △OCD 中，OC 2+CD 2=OD 2，
∴（3x ）2+42=（5x ）2，
解得，x =1，
∴OC =3x =3，即⊙O 的半径为3，
∵BC ∥OE ，
∴∠OCB =∠EOC ，
在Rt △OCE 中，tan ∠EOC =623
EC OC ==， ∴tan∠OCB =tan∠EOC =2．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键．
5、（1）①B 和C a ≤a =（2）113
r ≤<或39r <≤ 【分析】
（1）①分别找出点A ，B ，C 到线段ON 的最小值和最大值，是否满足“二分点”定义即可；
②对a 的取值分情况讨论：0a <a <≤a >0a <，根据“二分点”的定义可求解；
（2）设线段AN 上存在O 的“二分点”为(,0)(13)M m m ≤≤，对r 的取值分情况讨论01r <<、13r <<，m r <、13r <<，m r >和3r >，根据“二分点”的定义可求解．
【详解】
（1）①
∵点A在ON上，故最小值为0，不符合题意，
点B到ON的最小值为OB=BN==∴点B是线段ON的“二分点”，
点C到ON的最小值为1，最大值为2
OC==，
∴点C是线段ON的“二分点”，
故答案为：B和C；
②若0a
<≤
OC=，点C到OD的最小值为CD=2∵点C为线段OD的“二分点”，
∴2
=，
解得：a=
<≤
a
OC=，满足题意；
点C到OD的最小值为1，最大值为2
若a>
点C到OD的最小值为1，最大值为CD=
∵点C为线段OD的“二分点”，
∴2=
解得：a =；
若0a <时，如图所示：
点C 到OD 的最小值为2OC =，最大值为CD
∵点C 为线段OD 的“二分点”，
∴4=
解得：1a 2a ，
综上所得：a a ≤≤a =
（2）
如图所示，设线段AN 上存在O 的“二分点”为(,0)(13)M m m ≤≤，
当01r <<时，最小值为：m r -，最大值为：m r +，
∴2()m r m r -=+，即13
r m =， ∵13m ≤≤， ∴113
r ≤≤ ∴113
r ≤<； 当13r <<，m r <时，最小值为：r m -，最大值为：r m +，
∴∴2()r m r m -=+，即3r m =，
∵13m ≤≤，
∴39r ≤≤，
∵13r <<，
∴r 不存在；
当13r <<，m r >时，最小值为：m r -，最大值为：m r +，
∴2()m r m r -=+，即13
r m =， ∴113
r ≤≤， ∵13r <<，
∴r 不存在；
当3r >时，最小值为：r m -，最大值为：m r +，
∴2()r m m r -=+，即3r m =，
∴39r ≤≤，
∵3r >，
∴39r <≤，
综上所述，r 的取值范围为113
r ≤<或39r <≤． 【点睛】
本题考查坐标上的两点距离，解一元二次方程解不等式以及点到圆的距离求最值，根据题目所给条件，掌握“二分点”的定义是解题的关键．。