河北省固安县高二数学下学期期中试题理

2016-—2017学年第二学期期中考试
高二数学（理）试题
（时间：120分钟满分:150分)
(I卷）
一、选择题（共12道题,每题5分,共60分）
1．复数错误!等于（）
A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i
2．若y＝lnx，则其图象在x＝2处的切线斜率是（)
A．1 B．0 C．2 D.错误!
3．下列各式中正确的是（ )
A．（log a x)′＝错误! B．（log a x）′＝错误! C．(3x）′＝3x D．（3x）′＝
3x ln3
4。

在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换错误!后，曲线C变为曲线x′2＋y′2＝0，
则曲线C的方程为( ）
A。

25x2＋9y2＝0 B.25x2＋9y2＝1 C。

9x2＋25y2＝0 D。

9x2＋25y2＝1
5．函数f（x）＝x－e x的单调增区间是( )
A．(1，＋∞) B．（0，＋∞) C．（－∞，0) D．(－∞，1）
6．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
7．已知f（x）＝－x3－x,x∈[m，n]，且f（m)·f（n）<0,则方程f(x)＝0在区间［m,n]上（）
A．至少有三个实数根 B．至少有两个实根
C．有且只有一个实数根 D．无实根
8．如图，阴影部分的面积是（）
A ．2错误!
B ．2－错误! C.错误! D 。

错误!
9.若圆的方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)，直线的方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩
(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是（ ）
A ．相交过圆心
B ．相交但不过圆心
C ．相切
D ．相离
10．数列1，12，错误!，错误!，错误!，错误!,错误!，错误!,错误!，错误!，…，的前100项的和等于( ）
A ．13914
B ．13错误!
C ．14错误!
D ．14错误!
11。

设f(x)，g （x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x 〈0时,f ′（x)g （x ）＋f(x)g ′（x)〉0，且g （－3)＝0，则不等式f （x ）g(x)〈0的解集是（ ）
A ．(－3，0)∪(3,+∞) B．(－3， 0)∪(0，3）
C ．（－∞,－3）∪（3，+∞) D．(－∞，－3）∪（0,3)
12。

已知a ≥0，函数f （x)＝(x 2－2ax)e x ,若f （x)在[－1,1］上是单调减函数，则a 的取值范围是( )
A 。

错误! B.错误! C.错误!
D.错误!
II 卷
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）
13.直角坐标()1,1P -的极坐标为()0,0πρθ><< ．
14.观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝错误!；②sin 26°＋cos 236°＋sin6°
cos36°＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．
15.函数f(x)的定义域为R ，且满足f(2）＝2,f ′(x ）-1〉0，则不等式f （x ）－x>0的解集为________
16设曲线()1n y x n N +*=∈在点()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为,n x 令lg ,n n a x =则
1299...a a a +++的值为 ．
三．解答题 （每题12分，共计70分）
17．(本小题满分10分）
已知圆O 的参数方程为错误!（θ为参数，0≤θ＜2π)。

（1）求圆心和半径；
（2）若圆O 上点M 对应的参数θ＝
5π3
，求点M 的坐标。

18．（本小题满分12分)
已知下列三个方程：22224430,(1)0,220x ax a x a x a x ax a +-+=+-+=+-=至少有一个方程有实数根.求实数a 的取值范围。

19. (本小题满分12分) 直角坐标系xOy 中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，曲线C 的方程为θρcos 4=，直线l
方程为212
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数)，直线l 与C 的公共
点为T.
(1）求点T 的极坐标；
(2）过点T 作直线'l ，'l 被曲线C 截得的线段长为2，求直线'l 的极坐标方程。

20。

（本小题满分12分）.设函数f （x ）＝2x 3－3(a ＋1）x 2
＋6ax ＋8，其中a ∈R.
(1）若f （x ）在x ＝3处取得极值，求常数a 的值；
(2）若f(x ）在（－∞，0）上为增函数，求a 的取值范围．
21．(本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足()111,2n n
a a a n N a ++==
∈-. （1）求234,,a a a ；
（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明。

22（本小题满分12分）已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0，其中.0>a
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ)若对任意的),,0[+∞∈x 有)(x f ≤2kx 成立,求实数k 的最小值；
n
i
n
i
1
2
)1
2
ln(
1
2
2(*
N
n∈）。

(Ⅲ）证明∑
=
<
+
-
-
2016-—-—2017学年度第二学期期末考试
数学(理)试题答案
一选择题CDDAC ACCBA DC
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分,共20分．）
13.．3π2,4⎛⎫ ⎪⎝
⎭ 14. sin 2α＋cos 2（30°＋α）＋sin αcos(30°＋α）＝错误! 15（2，＋∞) 16.—2
三．解答题 （共计70分）
17。

(10分）解 （1)由错误! (0≤θ＜2π),
平方得x 2＋y 2
＝4，
∴圆心O (0，0），半径r ＝2。

……………………………………………………………5分
（2)当θ＝错误!π时，x ＝2cos θ＝1,y ＝2sin θ＝－错误!。

∴点M 的坐标为(1,－错误!）.……………………………………………………………10分
18．(本小题满分12分）
假设三个方程：22224430,()0,220x ax a x a x a x ax a +-+=+-+=+-=都没有实数根, 则2122221(4)4(43)0(1)40(2)4(2)0
a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩，……………………………………………………………5分 解得31221,1320a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪><-⎨⎪-<<⎪⎪⎩
或，即312a -<<-…………………………………………………10分 所以所求a 的取值范围为[)+∞-⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,123,…………………………………………12分 19。

（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程2240x x y -+=…………………. 2分
将
3
2
2
1
2
x t y t
⎧
=
-+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
代入上式并整理得243120
t t
-+=．
解得3
2
=
t。

∴点T的坐标为（1,3)…………………………4分
其极坐标为（2，
3
π
) ………………………………6分
(Ⅱ）设直线'l的方程.0
-3
-
),1
(
3=
+
-
=
-k
y
kx
x
k
y即
直线'l的方程为3
=
y,或x
y3
=……………………10分
其极坐标方程为3
sin=
θ
ρ或R)
(
3
∈
=ρ
π
θ…………12分
20[解析] (1）f′(x)＝6x2－6（a＋1）x＋6a＝6（x－a）(x－1)．
因f（x）在x＝3处取得极值，
所以f′（3)＝6(3－a）(3－1)＝0，解得a＝3。

经检验知当a＝3时，x＝3为f(x）的极值点．
(2）令f′(x）＝6（x－a)(x－1）＝0得x1＝a,x2＝1。

当a<0时，若x∈（－∞，a）∪(1，＋∞)，则f′(x)>0,所以f(x)在（－∞，a）和(1，＋∞）上为增函数．
当0≤a〈1时,f(x）在(－∞,0）上为增函数．
当a≥1时，若x∈（－∞，1)∪（a，＋∞)，则f′（x）>0，
所以f(x）在(－∞，1）和（a,＋∞)上为增函数，从而f（x)在（－∞,0）上为增函数．
综上可知，当a≥0时，f(x)在(－∞,0）上为增函数．
21．（本小题满分12分)【解析】解：(1）由112n n a a +=-可得2111,22a a a ==--32111222a a a
==---2,32a a -=- 4312a a =-12232a
a
=---3243a a -=-.……………………………………………………………3分。

（2）猜想()()()()121n n n a a n N n n a
*---=∈--。

………………………………。

5分 下面用数学归纳法证明：
①当1n =时，左边1,a a ==
右边()()()1112,111a a a
---==--猜想成立。

………………………………。

.7分 ②假设n k =()k N *∈时猜想成立,即()()()121k k k a a k k a ---==
--, 当1n k =+时，112k k a a +=-()()()11221k k a k k a
=------()[]()()12(1)12k k a k k a k k a --=------⎡⎤⎣⎦ ()()1(1)[(1)1]k k a
k k a --=+-+-,故当1n k =+时，猜想也成立. ………………………………。

10分 由①，②可知，对任意k N *∈都有()()()121n n n a a n n a
---=
--成立. ……………………………12分
22（本小题满分12分）
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