定海区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

定海区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=
x ，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．
2． 从1、2、3、4、5中任取3个不同的数、则这3个数能构成一个三角形三边长的概率为（ ） A.110 B.15 C.310 D.25
3． 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若
=2
，
=
，则λ=（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
4． 已知集合A={0，m ，m 2
﹣3m+2}，且2∈A ，则实数m 为（ ）
A ．2
B ．3
C ．0或3
D ．0，2，3均可
5． 与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（ ）
A ．（，1，1）
B ．（﹣1，﹣3，2）
C ．（﹣，，﹣1）
D ．（，﹣3，﹣2）
6． 设f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－1
2
），则不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为（ ）
A ．（0，＋∞）
B ．（－∞，－1
2
）
C ．（－12，＋∞）
D ．（－1
2，0）
7． 方程x 2+2ax+y 2=0（a ≠0）表示的圆（ ）
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于直线y=x 轴对称
D ．关于直线y=﹣x 轴对称
8． 已知lga+lgb=0，函数f （x ）=a x 与函数g （x ）=﹣log b x 的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．设命题p ：，则p为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知f（x）=m•2x+x2+nx，若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠∅，则m+n的取值范围为（）A．（0，4） B．[0，4）C．（0，5] D．[0，5]
11．∃x∈R，x2﹣2x+3＞0的否定是（）
A．不存在x∈R，使∃x2﹣2x+3≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+3≤0
C．∀x∈R，x2﹣2x+3≤0 D．∀x∈R，x2﹣2x+3＞0
12．点集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（）
A
．B
．C
．D
．
二、填空题
13．方程22x﹣1
=的解x=．
14．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）＝lnx－m
x
（m∈R）在区间[1，e]上取得
最小值4，则m＝________．
15．设数列{a n}的前n项和为S n，已知数列{S n}是首项和公比都是3的等比数列，则{a n}的通项公式a n=．
16．已知实数x，y满足
2
330
220
y
x y
x y
≤
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪+-≥
⎩
，目标函数3
z x y a
=++的最大值为4，则a=______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
17．已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）z为纯虚数，ω
=，且|ω
|=5，则复数ω=．
18．已知实数x，y
满足约束条，则
z=的最小值为．
三、解答题
19
．已知，数列{a n}
的首项
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，数列{b n}的前n项和为S n，求使S n＞2012的最小正整数n．
20．若数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）在y=x的图象上（n∈N*），
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若c1=0，且对任意正整数n都有，求证：对任意正整数n≥2，总有
．
21．设函数．
（1）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）当a=0，b=﹣1时，函数F（x）=f（x）﹣λx2有唯一零点，求正数λ的值．
22．如图1，圆O的半径为2，AB，CE均为该圆的直径，弦CD垂直平分半径OA，垂足为F，沿直径AB将半圆ACB所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图2）
（Ⅰ）求四棱锥C﹣FDEO的体积
（Ⅱ）如图2，在劣弧BC上是否存在一点P（异于B，C两点），使得PE∥平面CDO？若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．
23．已知{a n}为等比数列，a1=1，a6=243．S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35．
（1）求{a n}和{B n}的通项公式；
（2）设T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，求T n．
24．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．
定海区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：由已知条件知：；
∴；
∴；
∴．
故选C．
【点评】考查双曲线的标准方程，双曲线的渐近线方程的表示，以及c2=a2+b2及离心率的概念与求法．
2．【答案】
【解析】解析：选C.从1、2、3、4、5中任取3个不同的数有下面10个不同结果：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，
4，5），能构成一个三角形三边的数为（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5），故概率P＝3
10.
3．【答案】A
【解析】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点
∵=2，=，
∴=，
∴λ=，
故选A．
【点评】经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想，基底给定时，分解形式唯一，字母系数是被基底唯一确定的数量．
4．【答案】B
【解析】解：∵A={0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A，
∴m=2或m2﹣3m+2=2，
解得m=2或m=0或m=3．
当m=0时，集合A={0，0，2}不成立． 当m=2时，集合A={0，0，2}不成立． 当m=3时，集合A={0，3，2}成立．
故m=3． 故选：B ．
【点评】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意求解之后要进行验证．
5． 【答案】C
【解析】解：对于C 中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，
因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．
故选：C ．
【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．
6． 【答案】
【解析】选C.f （x ）的定义域为x ∈R ，
由f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－1
2）得
f （－x ）＝（e x －e －x ）（12－x ＋1－1
2）
＝（e
x
－e －x ）（
－1
2x ＋1＋12
） ＝（e －x －e x ）（12x ＋1－1
2）＝f （x ），
∴f （x ）在R 上为偶函数，
∴不等式f （x ）＜f （1＋x ）等价于|x |＜|1＋x |，
即x 2＜1＋2x ＋x 2，∴x ＞－1
2
，
即不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为{x |x ＞－1
2}，故选C.
7． 【答案】A
【解析】解：方程x 2+2ax+y 2=0（a ≠0）可化为（x+a ）2+y 2=a 2
，圆心为（﹣a ，0），
∴方程x 2+2ax+y 2
=0（a ≠0）表示的圆关于x 轴对称，
故选：A ．
【点评】此题考查了圆的一般方程，方程化为标准方程是解本题的关键．
8．【答案】B
【解析】解：∵lga+lgb=0
∴ab=1则b=
从而g（x）=﹣log b x=log a x，f（x）=a x与
∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减
结合选项可知选B，
故答案为B
9．【答案】A
【解析】【知识点】全称量词与存在性量词
【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题，p为：。

故答案为：A
10．【答案】B
【解析】解：设x1∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，
∴f（x1）=f（f（x1））=0，
∴f（0）=0，
即f（0）=m=0，
故m=0；
故f（x）=x2+nx，
f（f（x））=（x2+nx）（x2+nx+n）=0，
当n=0时，成立；
当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n=0的根，
故△=n2﹣4n＜0，
故0＜n＜4；
综上所述，0≤n+m＜4；
故选B．
【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题．
11．【答案】C
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，∃x∈R，x2﹣2x+3＞0的否定是：∀x∈R，x2﹣2x+3≤0．
故选：C．
12．【答案】A
【解析】解：点集{（x ，y ）|（|x|﹣1）2+y 2
=4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x ，y 轴对称，如图所示．
由图可得面积S==+=+2．
故选：A ．
【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想．
二、填空题
13．【答案】 ﹣ ．
【解析】解：22x ﹣1
=
=2﹣2，
∴2x ﹣1=﹣2，
解得x=﹣，
故答案为：﹣
【点评】本题考查了指数方程的解法，属于基础题．
14．【答案】－3e 【解析】f ′（x ）＝1x ＋2m x ＝2x m x
，令f ′（x ）＝0，则x ＝－m ，且当x<－m 时，f ′（x ）<0，f （x ）单调递减，
当x>－m 时，f ′（x ）>0，f （x ）单调递增．若－m ≤1，即m ≥－1时，f （x ）min ＝f （1）＝－m ≤1，不可能等于4；
若1<－m ≤e ，即－e ≤m<－1时，f （x ）
min ＝f （－m ）＝ln （－m ）＋1，令ln （－m ）＋1＝4，得m ＝－e 3（－e ，－
1）；若－m>e ，即m<－e 时，f （x ）min ＝f （e ）＝1－m e ，令1－m
e
＝4，得m ＝－3e ，符合题意．综上所述，m
＝－3e.
15．【答案】 ．
【解析】解：∵数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，∴S n =3n
．
故a 1=s 1=3，n ≥2时，a n =S n ﹣s n ﹣1=3n ﹣3
n ﹣1
=2•3n ﹣1，
故a n =
．
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式，数列的前n 项的和Sn 与第n 项an 的关系，属于中档题．
16．【答案】3-
【解析】作出可行域如图所示：作直线0l ：30x y +=，再作一组平行于0l 的直线l ：3x y z a +=-，当直线
l 经过点5(,2)3M 时，3z a x y -=+取得最大值，∴max 5()3273
z a -=⨯+=，所以max 74z a =+=，故
3a =-．
17．【答案】 ±（7﹣i ） ．
【解析】解：设z=a+bi （a ，b ∈R ），∵（1+3i ）z=（1+3i ）（a+bi ）=a ﹣3b+（3a+b ）i 为纯虚数，∴．
又ω=
==
，|ω|=，∴
．
把a=3b 代入化为b 2
=25，解得b=±5，∴a=±15．
∴ω=±
=±（7﹣i ）．
故答案为±（7﹣i ）．
【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．
18．【答案】．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z==32x+y，
设t=2x+y，
则y=﹣2x+t，
平移直线y=﹣2x+t，
由图象可知当直线y=﹣2x+t经过点B时，直线y=﹣2x+t的截距最小，
此时t最小．
由，解得，即B（﹣3，3），
代入t=2x+y得t=2×（﹣3）+3=﹣3．
∴t最小为﹣3，z有最小值为z==3﹣3=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ），
，
．
数列是以1为首项，4为公差的等差数列．…
，
则数列{a n}的通项公式为．…
（Ⅱ）．…①
．…②
②﹣①并化简得．…
易见S n为n的增函数，S n＞2012，
即（4n﹣7）•2n+1＞1998．
满足此式的最小正整数n=6．…
【点评】本题考查数列与函数的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减求和法的合理运用．20．【答案】
【解析】（I）解：∵点（a n，S n）在y=x的图象上（n∈N*），
∴，
当n≥2时，，
∴，化为，
当n=1时，，解得a1=．
∴==．
（2）证明：对任意正整数n都有=2n+1，
∴c n=（c n﹣c n﹣1）+（c n﹣1﹣c n﹣2）+…+（c2﹣c1）+c1
=（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+3
=
=（n+1）（n ﹣1）．
∴当n ≥2时， ==
．
∴
=
+…+
=
＜
=，
又=．
∴
．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的前n 项和公式、“累加求和”、“裂项求和”、对数的运算性质、“放缩法”、递推式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（0，+∞），，由f'（1）=0，得b=1﹣a ．
∴
．…
①若a ≥0，由f'（x ）=0，得x=1．
当0＜x ＜1时，f'（x ）＞0，此时f （x ）单调递增； 当x ＞1时，f'（x ）＜0，此时f （x ）单调递减． 所以x=1是f （x ）的极大值点．…
②若a ＜0，由f'（x ）=0，得x=1，或x=．
因为x=1是f （x ）的极大值点，所以＞1，解得﹣1＜a ＜0．
综合①②：a 的取值范围是a ＞﹣1．…
（Ⅱ）因为函数F （x ）=f （x ）﹣λx 2
有唯一零点，
即λx 2
﹣lnx ﹣x=0有唯一实数解，
设g （x ）=λx 2
﹣lnx ﹣x ，
则．令g'（x ）=0，2λx 2
﹣x ﹣1=0．
因为λ＞0，所以△=1+8λ＞0， 方程有两异号根设为x 1＜0，x 2＞0． 因为x ＞0，所以x 1应舍去．
当x ∈（0，x 2）时，g'（x ）＜0，g （x ）在（0，x 2）上单调递减；
当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增．
当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．…
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0，
则即
因为λ＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*）
设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，
h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，
代入方程组解得λ=1．…
【点评】本题考查函数的单调性、极值、零点等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）如图1，∵弦CD垂直平分半径OA，半径为2，
∴CF=DF，OF=，
∴在Rt△COF中有∠COF=60°，CF=DF=，
∵CE为直径，∴DE⊥CD，
∴OF∥DE，DE=2OF=2，
∴，
图2中，平面ACB⊥平面ADE，平面ACB∩平面ADE=AB，
又CF⊥AB，CF⊂平面ACB，
∴CF⊥平面ADE，则CF是四棱锥C﹣FDEO的高，
∴．
（Ⅱ）在劣弧BC上是存在一点P（劣弧BC的中点），使得PE∥平面CDO．
证明：分别连接PE，CP，OP，
∵点P为劣弧BC弧的中点，∴，
∵∠COF=60°，∴∠COP=60°，则△COP为等边三角形，
∴CP∥AB，且，又∵DE∥AB且DE=，
∴CP∥DE且CP=DE，
∴四边形CDEP为平行四边形，
∴PE∥CD，
又PE⊄面CDO，CD⊂面CDO，
∴PE∥平面CDO．
【点评】本题以空间几何体的翻折为背景，考查空间几何体的体积，考查空间点、线、面的位置关系、线面平行及线面垂直等基础知识，考查空间想象能力，求解运算能力和推理论证能力，考查数形结合，化归与数学转化等思想方法，是中档题．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵{a n}为等比数列，a1=1，a6=243，
∴1×q5=243，解得q=3，
∴．
∵S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35．
∴5×3+d=35，解得d=2，
b n=3+（n﹣1）×2=2n+1．
（Ⅱ）∵T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，
∴
①
②
①﹣②得：
，
整理得：．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
24．【答案】
【解析】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，
由正弦定理可得：＞0，
代入可得（bk）2=2ak•ck，
∴b2=2ac，
∵a=b，∴a=2c，
由余弦定理可得：cosB===．
（II）由（I）可得：b2=2ac，
∵B=90°，且a=，
∴a2
+c2=b2=2ac，解得a=c=．
∴S△ABC==1．。