《随机数学模型》PPT课件
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❖ 如果对尚属正常的零件做预防性更换，就可 以避免一些废品、次品的损失。如果策略得 当，有可能将损失降到最低程度。
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2
分析
解决这个问题的关键在于正确估计零件寿命。 由于零件在制造及运行过程中受到多种因素的 影响，零件的寿命是一随机变量，可以通过试 验分析及理论分析来确定零件的寿命分布及其 他数字特征。一般来说，不同的零件寿命分布 不一样，预防性更换的策略也不一样。
设 k 个 总 体 G1, G2 ,,G k 相 应 的 p 维 样 本 空 间 为
R1, R2 ,, Rk ，即为一个划分，故我们可以简记一个判别规 则为 R (R1, R2 ,, Rk ) 。从描述平均损失的角度出发，如果 原来属于总体 Gi 且分布密度为 fi (x) 的样品，正好取值落入了 R j ，我们就将会错判为属于 G j 。
第9章 随机数学模型
我们在处理实际问题时，往往会遇到 许多不确定的因素，引入随机变量描述这 种不确定的行为，通常是对实际问题最恰 当的描述。由此建立的数学模型称为随机 数学模型。
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1
9.3零件的预防性更换
❖ 运行中的零件会发生故障或损坏，如果等到 损坏时才更换零件可能会带来较大的经济损 失，比如产生废品等。
❖ 求平均期望损失的最小值
c(T)0h(T)r(T)TR (t)dtF(T) c2
0
c1c2
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5
T
h(T)r(T) R (t)dtF(T)
c2
0
c1c2
h (0 ) 0 ,h ( ) r ( )E X 1 ,d h d rT R (t)d t
d Td T0
❖ 定存在理唯：当一r的(T有)是限单的调最增小函值数点，（且正r(值)ETX*）c1，c1c2且时最， 小值为 。 c(T)(c1c2)r(T)
❖ 确定样本类别：
u(x)aTxu(cj1),u(cj) x G j
u(c0) ,u(ck)
a T x a T xj 完整m 1 版 i课i n 件kppa t T x a T x i x G j 20
Bayes判别法
❖ 距离判别法虽然简单，便于使用。但是该方 法也有它明显的不足之处。 第一，判别方法与总体各自出现的概率的大 小无关； 第二，判别方法与错判之后所造成的损失无 关。Bayes判别法就是为了解决这些问题而 提出的一种判别方法。
❖ Fisher~判别的基本思想是将k个总体的所有p维空间 的样本点投影到一维空间上，使投影后组与组之间 尽可能的分开，然后利用方差分析的方法推出判别 函数。为了简单起见，通常利用线性的判别函数 u(x)=aTx.
❖ 寻找一个最恰当的方向a，使在这个方向上，组间方 差与组内方差的商最大
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3
模型假设
❖ 零件寿命X服从某种已知的分布，其分布函数为 F(t)=P(X≦t),概率密度为f(t) ，数学期望为 EX。
❖ 确定一个正常的时间间隔T，当X<T时，对零件进行 故障更换，更换费用为c1，当X=T时，对仍然正常 工作的零件进行预防性更换，更换费用为c2<c1。
❖ 记零件可靠度R(t)=1-F(t)，失效率r(t)=f(t)/R(t)。
为
k
g(R) qi r(i, R) i 1
k
k
qi C( j | i)P( j | i, R)
（4.12）
i1 j 1
所谓 Bayes 判别法则，就是要选择 R1, R2 ,, Rk ，使得（4.12）
式表示的总平均损失 g(R) 达到极小。
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25
Bayes判别的基本方法
设每一个总体 Gi 的分布密度为 fi (x) ， i 1,2,, k ，来自 总体 Gi 的样品 X 被错判为来自总体 G j （ i, j 1,2,, k ） 时所造成的损失记为 C( j | i) ，并且 C(i | i) 0 。那么，对 于 判 别 规 则 R (R1, R2 ,, Rk ) 产 生 的 误 判 概 率 记 为
求解最优判别方向等价于求解带约束函数优化问题
max
L(a)
aTYa aT Sa
s.t. a 1 2
可以证明：
a 为 矩 阵 S 1 Y 的 主 特 征 向 量
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18
为了确保解的唯一性，不妨设 aT Sa 1，这样问题转化为，
在 aT Sa 1的条件下，求 a 使得 aTYa 式达到极大。
17
假 设 已 知 k个 p维 类 别 xi， 其 均 值 向 量 为 xi, 第 i类 已 有 样 本 集 G i:xij,样 本 容 量 为 m i,
x 1 k i k 1 x i,S i k 1 S i i k 1x i j x i x i j x iT ,Y i k 1 m ix i xx i x T
距离的最大差异之处。
❖ 优点： 不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关； 由标准化数据和中心化数据(即原始数据与均值之差）计算出的二点之间的马氏距离相同。 马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。 缺点： 夸大了变化微小的变量的作用。
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16
2.Fisher判别法
当 c1 时，存在预防性更换策略 c1 c2
可靠性中常用的概率分布 伽玛分布：要比指数分布和正态分布更具有普遍性，适用于各种形式的分布。 能用来表示早期失效、偶发失效和 耗损失效等不同的失效分布
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9
3. Welbull 分布
f(t)(t) 1 e (t),t 0 , , 0
1.3海明Hamming距离判别法
两个合法代码对应位上编码不同的位数称为海明距离。
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13
合理的距离
❖ 如果用dij表示第i个样品和第j个样品之间的距 离，那么对于一切i，j和k，dij应该满足如下 三个条件：
❖
①dij≥0，当且仅当i=j时，dij=0 （非负性）
❖
② dij＝dji （对称性）
假设已知若将本来属于 Gi 总体的样品错判到总体 G j 时造成 的损失为 C( j | i) ， i, j 1,2,, k 。在这样的情形下，对于 新的样品 X 判断其来自哪个总体。
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22
显然 C(i | i) 0 、 C( j | i) 0 ， i, j 1,2,, k 。
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23
故在规则 R 下，将属于 Gi 的样品错判为 G j 的概率为
P( j | i, R) Rj fi (x)dx
i, j 1,2,, k i j
如果实属 Gi 的样品，错判到其它总体 G1,, Gi1, Gi1 ,G k
所造成的损失为 C(1| i),,C(i 1| i),C(i 1| i),C(k | i) ，
比如三个样本点（3，4），（5，6）和（7，8），这种情况是因为这三个样本在其所处的
二维空间平面内共线。这种情况下，也采用欧式距离计算。
❖
4）在实际应用中“总体样本数大于样本的维数”这个条件是很容易满足的，而所有样
本点出现3）中所描述的情况是很少出现的，所以在绝大多数情况下，马氏距离是可以顺利
计算的，但是马氏距离的计算不稳定，不稳定的来源是协方差矩阵，这也是马氏距离与欧式
P( j | i, R) ，有 P( j | i, R) Rj fi (x)dx
❖ 目前，二参数的威布尔分布主要用于滚动轴承的寿命试验以 及高应力水平下的材料疲劳试验，三参数的威布尔分布用于 低应力水平的材料及某些零件的寿命试验.
❖ 一般而言，它具有比对数正态分布更大的适用性。但是，威 布尔分布参数的分析法估计较复杂，区间估计值过长，实践 中常采用概率纸估计法，从而降低了参数的估计精度．这是 威布尔分布目前存在的主要缺点，也限制了它的应用。
r(t)t 1,E X 1 1
r(t)21t2
当 1 时，存在预防性更换策略
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10
❖ 威布尔分布：在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电 类产品的磨损累计失效的分布形式。
❖ 威布尔分布是根据最弱环节模型或串联模型得到的，能充分 反映材料缺陷和应力集中源对材料疲劳寿命的影响，而且具 有递增的失效率，所以，将它作为材料或零件的寿命分布模 型或给定寿命下的疲劳强度模型是合适的。
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6
思考
不同寿命分布的零件的最优的更换策略存在较大差异
假设给定某个寿命分布密度函数 f(t), ❖ 是否存在最优预防性更换策略？ ❖ 如果存在，如何求出最优策略？ ❖ 如果不存在，为什么？
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7
几种常见寿命分布情况最优预防性更换策略分析
1.指数分布
X ~f(t)e t, 0 ,t 0
最大特征值所对应的特征向量 a 为我们所求结果。
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19
Fisher判别法
❖ 根据各个样本均值在最优方向上的投影值 uxiaTxi
从小到大将样本集重新编号，假设序号仍然为
G1~Gk。
定出G 和G 的分界值u , j=1~k-1，比如： ❖
j j+1
j
Cj
jxj x j1 j1 j j1
考虑目标函数
❖
求偏导，有
(a) aTYa (aT Sa 1)
a
2(Y
S)a
0
(1)
aT Sa 1
0
(2)
对（1）式两边同乘 aT ，有 aTYa aT Sa
从而， aTYa 的极大值为 。再用 S 1 左乘（1）式，有
(S 1Y I)a 0
（ 3）
由（3）式说明 为 S 1Y 特征值， a 为 S 1Y 的特征向量。在此
释中可以得出，也就是说，如果拿同样的两个样本，放入两个不同的总体中，最后计算得出
的两个样本间的马氏距离通常是不相同的，除非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同；
❖
2）在计算马氏距离过程中，要求总体样本数大于样本的维数，否则得到的总体样本协
方差矩阵逆矩阵不存在，这种情况下，用欧式距离计算即可。样本数大于样本的维数，但是协方差矩阵不可逆，
F (t) 1 e t,R (t) e t,r(t),E X 1 ,
h(T) 0
不存在预防性更换策略
指数分布常可作为“寿命” 分布的近似，如电子元件的寿命.
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8
2 .X (,),, 0
f(t)()(t)1et,t0
,EX
r(t)01xt 1exdx1
r0,r()
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4
模型目标：单位时间的损失费用最小
❖ 称零件每更换一次为一个周期，则周期的平均长度为
T
T
LE (t)0tf(t)dtTT f(t)dt 0 R (t )dt
❖ 一个周期内的期望损失为C c 1 F (T ) c2 [1 F (T )]
❖ 单位时间的平均期望损失为
c(T)C L(c1cT2R )F(t()Td)tc2 0
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21
一、Bayes判别的基本思想
问题：设有 k 个总体 G1, G2 ,,G k ，其各自的分布密度函数 f1 (x), f 2 (x),, f k (x) 互不相同的，假设 k 个总体各自出现
k
的概率分别为 q1, q2 ,,q k（先验概率），qi 0 ， qi 1 。 i 1
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11
9.7分类问题
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12
1.距离判别法
1.1欧氏Euclidean distance距离判别法
dx,xim kinxxk2
1.2马氏 (P. C. Mahalanobis)距离判别法
d x ,x i m k i n x x k T S k 1 x x k ,S k c o v ( x k )
❖
③ dij≤dik＋dkj（三角不等式）
显然，欧氏距离满足以上三个条件。
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14
欧氏距离的缺点
❖ 欧氏距离虽然简单，但也有明显的缺点。它 将样本的不同属性（即各指标或各变量）之 间的差别等同看待，这一点有时不能满足实 际要求。
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15
马氏距离优缺点
❖
1）马氏距离的计算是建立在总体样本的基础上的，这一点可以从上述协方差矩阵的解
则这种判别规则 R 对总体 Gi 而言，样品错判后所造成的平均
损失为
k
r(i | R) [C( j | i)P( j | i, R)] j 1
其中 C(i | i) 0
i 1,2,, k
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24
由 于 k 个 总 体 G1, G2 ,,G k 出 现 的 先 验 概 率 分 别 为 q1, q2 ,,q k ，则用规则 R 来进行判别所造成的总平均损失
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2
分析
解决这个问题的关键在于正确估计零件寿命。 由于零件在制造及运行过程中受到多种因素的 影响，零件的寿命是一随机变量，可以通过试 验分析及理论分析来确定零件的寿命分布及其 他数字特征。一般来说，不同的零件寿命分布 不一样，预防性更换的策略也不一样。
设 k 个 总 体 G1, G2 ,,G k 相 应 的 p 维 样 本 空 间 为
R1, R2 ,, Rk ，即为一个划分，故我们可以简记一个判别规 则为 R (R1, R2 ,, Rk ) 。从描述平均损失的角度出发，如果 原来属于总体 Gi 且分布密度为 fi (x) 的样品，正好取值落入了 R j ，我们就将会错判为属于 G j 。
第9章 随机数学模型
我们在处理实际问题时，往往会遇到 许多不确定的因素，引入随机变量描述这 种不确定的行为，通常是对实际问题最恰 当的描述。由此建立的数学模型称为随机 数学模型。
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1
9.3零件的预防性更换
❖ 运行中的零件会发生故障或损坏，如果等到 损坏时才更换零件可能会带来较大的经济损 失，比如产生废品等。
❖ 求平均期望损失的最小值
c(T)0h(T)r(T)TR (t)dtF(T) c2
0
c1c2
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5
T
h(T)r(T) R (t)dtF(T)
c2
0
c1c2
h (0 ) 0 ,h ( ) r ( )E X 1 ,d h d rT R (t)d t
d Td T0
❖ 定存在理唯：当一r的(T有)是限单的调最增小函值数点，（且正r(值)ETX*）c1，c1c2且时最， 小值为 。 c(T)(c1c2)r(T)
❖ 确定样本类别：
u(x)aTxu(cj1),u(cj) x G j
u(c0) ,u(ck)
a T x a T xj 完整m 1 版 i课i n 件kppa t T x a T x i x G j 20
Bayes判别法
❖ 距离判别法虽然简单，便于使用。但是该方 法也有它明显的不足之处。 第一，判别方法与总体各自出现的概率的大 小无关； 第二，判别方法与错判之后所造成的损失无 关。Bayes判别法就是为了解决这些问题而 提出的一种判别方法。
❖ Fisher~判别的基本思想是将k个总体的所有p维空间 的样本点投影到一维空间上，使投影后组与组之间 尽可能的分开，然后利用方差分析的方法推出判别 函数。为了简单起见，通常利用线性的判别函数 u(x)=aTx.
❖ 寻找一个最恰当的方向a，使在这个方向上，组间方 差与组内方差的商最大
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3
模型假设
❖ 零件寿命X服从某种已知的分布，其分布函数为 F(t)=P(X≦t),概率密度为f(t) ，数学期望为 EX。
❖ 确定一个正常的时间间隔T，当X<T时，对零件进行 故障更换，更换费用为c1，当X=T时，对仍然正常 工作的零件进行预防性更换，更换费用为c2<c1。
❖ 记零件可靠度R(t)=1-F(t)，失效率r(t)=f(t)/R(t)。
为
k
g(R) qi r(i, R) i 1
k
k
qi C( j | i)P( j | i, R)
（4.12）
i1 j 1
所谓 Bayes 判别法则，就是要选择 R1, R2 ,, Rk ，使得（4.12）
式表示的总平均损失 g(R) 达到极小。
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25
Bayes判别的基本方法
设每一个总体 Gi 的分布密度为 fi (x) ， i 1,2,, k ，来自 总体 Gi 的样品 X 被错判为来自总体 G j （ i, j 1,2,, k ） 时所造成的损失记为 C( j | i) ，并且 C(i | i) 0 。那么，对 于 判 别 规 则 R (R1, R2 ,, Rk ) 产 生 的 误 判 概 率 记 为
求解最优判别方向等价于求解带约束函数优化问题
max
L(a)
aTYa aT Sa
s.t. a 1 2
可以证明：
a 为 矩 阵 S 1 Y 的 主 特 征 向 量
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为了确保解的唯一性，不妨设 aT Sa 1，这样问题转化为，
在 aT Sa 1的条件下，求 a 使得 aTYa 式达到极大。
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假 设 已 知 k个 p维 类 别 xi， 其 均 值 向 量 为 xi, 第 i类 已 有 样 本 集 G i:xij,样 本 容 量 为 m i,
x 1 k i k 1 x i,S i k 1 S i i k 1x i j x i x i j x iT ,Y i k 1 m ix i xx i x T
距离的最大差异之处。
❖ 优点： 不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关； 由标准化数据和中心化数据(即原始数据与均值之差）计算出的二点之间的马氏距离相同。 马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。 缺点： 夸大了变化微小的变量的作用。
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2.Fisher判别法
当 c1 时，存在预防性更换策略 c1 c2
可靠性中常用的概率分布 伽玛分布：要比指数分布和正态分布更具有普遍性，适用于各种形式的分布。 能用来表示早期失效、偶发失效和 耗损失效等不同的失效分布
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3. Welbull 分布
f(t)(t) 1 e (t),t 0 , , 0
1.3海明Hamming距离判别法
两个合法代码对应位上编码不同的位数称为海明距离。
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13
合理的距离
❖ 如果用dij表示第i个样品和第j个样品之间的距 离，那么对于一切i，j和k，dij应该满足如下 三个条件：
❖
①dij≥0，当且仅当i=j时，dij=0 （非负性）
❖
② dij＝dji （对称性）
假设已知若将本来属于 Gi 总体的样品错判到总体 G j 时造成 的损失为 C( j | i) ， i, j 1,2,, k 。在这样的情形下，对于 新的样品 X 判断其来自哪个总体。
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显然 C(i | i) 0 、 C( j | i) 0 ， i, j 1,2,, k 。
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23
故在规则 R 下，将属于 Gi 的样品错判为 G j 的概率为
P( j | i, R) Rj fi (x)dx
i, j 1,2,, k i j
如果实属 Gi 的样品，错判到其它总体 G1,, Gi1, Gi1 ,G k
所造成的损失为 C(1| i),,C(i 1| i),C(i 1| i),C(k | i) ，
比如三个样本点（3，4），（5，6）和（7，8），这种情况是因为这三个样本在其所处的
二维空间平面内共线。这种情况下，也采用欧式距离计算。
❖
4）在实际应用中“总体样本数大于样本的维数”这个条件是很容易满足的，而所有样
本点出现3）中所描述的情况是很少出现的，所以在绝大多数情况下，马氏距离是可以顺利
计算的，但是马氏距离的计算不稳定，不稳定的来源是协方差矩阵，这也是马氏距离与欧式
P( j | i, R) ，有 P( j | i, R) Rj fi (x)dx
❖ 目前，二参数的威布尔分布主要用于滚动轴承的寿命试验以 及高应力水平下的材料疲劳试验，三参数的威布尔分布用于 低应力水平的材料及某些零件的寿命试验.
❖ 一般而言，它具有比对数正态分布更大的适用性。但是，威 布尔分布参数的分析法估计较复杂，区间估计值过长，实践 中常采用概率纸估计法，从而降低了参数的估计精度．这是 威布尔分布目前存在的主要缺点，也限制了它的应用。
r(t)t 1,E X 1 1
r(t)21t2
当 1 时，存在预防性更换策略
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❖ 威布尔分布：在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电 类产品的磨损累计失效的分布形式。
❖ 威布尔分布是根据最弱环节模型或串联模型得到的，能充分 反映材料缺陷和应力集中源对材料疲劳寿命的影响，而且具 有递增的失效率，所以，将它作为材料或零件的寿命分布模 型或给定寿命下的疲劳强度模型是合适的。
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6
思考
不同寿命分布的零件的最优的更换策略存在较大差异
假设给定某个寿命分布密度函数 f(t), ❖ 是否存在最优预防性更换策略？ ❖ 如果存在，如何求出最优策略？ ❖ 如果不存在，为什么？
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7
几种常见寿命分布情况最优预防性更换策略分析
1.指数分布
X ~f(t)e t, 0 ,t 0
最大特征值所对应的特征向量 a 为我们所求结果。
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Fisher判别法
❖ 根据各个样本均值在最优方向上的投影值 uxiaTxi
从小到大将样本集重新编号，假设序号仍然为
G1~Gk。
定出G 和G 的分界值u , j=1~k-1，比如： ❖
j j+1
j
Cj
jxj x j1 j1 j j1
考虑目标函数
❖
求偏导，有
(a) aTYa (aT Sa 1)
a
2(Y
S)a
0
(1)
aT Sa 1
0
(2)
对（1）式两边同乘 aT ，有 aTYa aT Sa
从而， aTYa 的极大值为 。再用 S 1 左乘（1）式，有
(S 1Y I)a 0
（ 3）
由（3）式说明 为 S 1Y 特征值， a 为 S 1Y 的特征向量。在此
释中可以得出，也就是说，如果拿同样的两个样本，放入两个不同的总体中，最后计算得出
的两个样本间的马氏距离通常是不相同的，除非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同；
❖
2）在计算马氏距离过程中，要求总体样本数大于样本的维数，否则得到的总体样本协
方差矩阵逆矩阵不存在，这种情况下，用欧式距离计算即可。样本数大于样本的维数，但是协方差矩阵不可逆，
F (t) 1 e t,R (t) e t,r(t),E X 1 ,
h(T) 0
不存在预防性更换策略
指数分布常可作为“寿命” 分布的近似，如电子元件的寿命.
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2 .X (,),, 0
f(t)()(t)1et,t0
,EX
r(t)01xt 1exdx1
r0,r()
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4
模型目标：单位时间的损失费用最小
❖ 称零件每更换一次为一个周期，则周期的平均长度为
T
T
LE (t)0tf(t)dtTT f(t)dt 0 R (t )dt
❖ 一个周期内的期望损失为C c 1 F (T ) c2 [1 F (T )]
❖ 单位时间的平均期望损失为
c(T)C L(c1cT2R )F(t()Td)tc2 0
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一、Bayes判别的基本思想
问题：设有 k 个总体 G1, G2 ,,G k ，其各自的分布密度函数 f1 (x), f 2 (x),, f k (x) 互不相同的，假设 k 个总体各自出现
k
的概率分别为 q1, q2 ,,q k（先验概率），qi 0 ， qi 1 。 i 1
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11
9.7分类问题
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12
1.距离判别法
1.1欧氏Euclidean distance距离判别法
dx,xim kinxxk2
1.2马氏 (P. C. Mahalanobis)距离判别法
d x ,x i m k i n x x k T S k 1 x x k ,S k c o v ( x k )
❖
③ dij≤dik＋dkj（三角不等式）
显然，欧氏距离满足以上三个条件。
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14
欧氏距离的缺点
❖ 欧氏距离虽然简单，但也有明显的缺点。它 将样本的不同属性（即各指标或各变量）之 间的差别等同看待，这一点有时不能满足实 际要求。
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15
马氏距离优缺点
❖
1）马氏距离的计算是建立在总体样本的基础上的，这一点可以从上述协方差矩阵的解
则这种判别规则 R 对总体 Gi 而言，样品错判后所造成的平均
损失为
k
r(i | R) [C( j | i)P( j | i, R)] j 1
其中 C(i | i) 0
i 1,2,, k
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由 于 k 个 总 体 G1, G2 ,,G k 出 现 的 先 验 概 率 分 别 为 q1, q2 ,,q k ，则用规则 R 来进行判别所造成的总平均损失