OneWayANOVA单因素方差分析PPT课件
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•五个水平：品系I-V •重复(Repeat)：在特定因素水平下的独立试验
•五次重复
第3页/共31页
单因素方差分析的数据形式
X因素的a个不同水平（处理）
每 个 处 理 下 n 个 重 复
n
xi xij ,
j 1
xi
1 n
xi ,
i 1, 2,, a
a n
x
xij ,
i 1 j1
x
1 an
固定效应模型
方差分析统计量：
Fdf A ,dfe
MS A MSe
第11页/共31页
固定效应模型
平方和的简易计算
a n
SST
i1 j1
xij x
2
a
i 1
n j1
xi2j
x2 na
a
SSA n
i1
xi x
2
1 n
a i 1
xi2
x2 na
C x2 na
减少计算误差 利于编程
C称为校正项。误差平方和 SSe ＝ SST－SSA
第30页/共31页
感谢您的观看！
第31页/共31页
第19页/共31页
单因素方差分析的SPSS实现
例：小麦株高与品系的关系研究-单因素固定模型的方差分析
第20页/共31页
单因素方差分析的SPSS实现
SPSS one-way ANOVA output
株高
Between Groups Within Groups Total
Sum of Squares
第22页/共31页
多重比较
多重比较方法：
最小显著差数（LSD）检验 Student-Newman-Keuls（SNK）q检验 Duncan 检验 Dunnett t检验 Tukey 检验 …
第23页/共31页
多重比较
最小显著差数法（Fisher’s Least significant difference test， LSD）
第18页/共31页
方差分析应具备的条件
3、方差齐性(Homogeneity)：
方差分析中的误差项方差是将各处理的误差合并而获 得一个共同的误差方差，因此必须假定资料中有这 样一个共同的方差σ2存在(Bartlett检验法)
如果各处理的误差方差不齐，则在假设测验中处理效 应得不到正确的反映。
xij i ij , ij (0, 2 )
66.8
69.1
68.5
71.0
336.5 354.0
67.3
70.8
V 69.2 68.2 69.8 68.3 67.5 343.0 68.6
C x2 16822 113164.96
na 55
an
SST
xi2j C 113312.28 113164.96 147.32
i1 j1
第14页/共31页
随机效应模型
xij i ij
i 1, 2, , a
j
1,
2,
,
n
其中处理效应αi为随机变量，服从μ=0的独立正态分布，其方差为
在则随α机i的效方应差模为型零中，，即对零单假个2设αi为的：检验是无意义。若假设不存在处理效应，
备择假设为：
H0
:
2
0
HA
:
2
0
第15页/共31页
第5页/共31页
方差分析原理
固定因素：
①因素的a个水平是人为特意选择的。 ②方差分析所得结论只适用于所选定的a个水平。
固定效应模型：处理固定因素所使用的模型。
随机因素：
①因素的a个水平是从水平总体中随机抽取的。 ②从随机因素的a个水平所得到的结论，可推广到该
因素的所有水平上。
随机效应模型：处理随机因素所使用的模型。
随机效应模型
单因素随机效应模型的方差分析表
随机效应与固定效应的方差分析的比较 ①程序相同； ②获得数据的方式不同；假设不同；均方期望不同；适用范围不同。
第16页/共31页
方差分析应具备的条件
1、可加性(Addictivity)：各处理效应与误差 效应是可加的。
an
a
n
xij xi xi x
131.740
15.580
147.320
Between Groups: 处理间 Within Groups: 处理内
AN OVA
df 4 20 24
Mean Square 32.935
.779
F 42.279
Sig. .000
F4,20＝，P。因此，上述5个小麦品系的株高差异极显著。
第21页/共31页
第八章 单因素方差分析
Chapter 8: One-factor Analysis of Variance (One-Way ANOVA)
当比较的平均值的数目K≥3时，不能直接应 用t测验或u测验的两两之间的假设测验方法 1、当有k个处理平均数时，将有 个CK2差数， 要对这诸多差数逐一进行检验，程序繁琐。 2、试验误差估计的精确度降低。 3、两两测验的方法会随着K的增加而大大增 加犯I型错误的概率。
多重比较
当对方之差间分存析在拒显绝著差H0异，，为须探对究各具处体理是平在均哪数些之组 间进行逐对比较，即多重比较（multiple comparison）— post-ANOVA analysis (Post Hoc test)。
如何进行多重比较？
逐对进行双样本的平均数差的t-检验？ 增大了犯I型错误的概率，不可取
1 n2
当 n1时，n2
t x1 x2 2 MSe n
df an a
当差异显著时，
x1 x2 t0.05
2 MSe n
LSD0.05
当差异不显著时，
x1 x2 LSD0.05
第25页/共31页
多重比较- Duncan multiple range test
梯形列表法显示结果 * **
是t检验的变形，在变异和自由度的计算上 利用了整个样本信息，而不仅仅是所比较 两组的信息。 检验的敏感度最高，倾向于得出差异显著 的结论，在比较时仍然存在放大1型错误的 问题。
第24页/共31页
多重比较
最小显著差数法（LSD）
t x1 x2 , s x1 x2
s x1 x2
MSe
1 n1
72.1
67.1
70.0
66.8
69.1
68.5
71.0
336.5 354.0
67.3
70.8
V 69.2 68.2 69.8 68.3 67.5 343.0 68.6
•因变量(响应变量):连续型的数值变量株高 •因素(Factor)：影响因变量变化的客观条件
•一个因素：“品系” 单因素方差分析 •水平(Level)：因素的不同等级 不同“处理”
xi x
xij xi 0
i1 j1
i 1
j1
处理项与随机误差项的交叉乘积和 =来自0平方和的分割
SS =
T总平方和
SS SS + A处理平方和
e误差平方和
第17页/共31页
方差分析应具备的条件
2、正态性(Normality)：
ε: NID(0, σ2)应该是随机的、彼此独立的,服从正态 分布。 正态性不满足：但处理的误差趋向于处理平均数的 函数关系。例如，二项分布数据，平均数期望为φ ，方差期望为φ(1-φ)/n，方差与平均数有函数关系 。如果这种函数关系是已知的，则可对观察值进行 反正弦转换或对数转换、平方根值转换，从而使误 差转化成近似的正态分布。
SSA
1 n
a i1
xi2
C
5664835.5 5
113164.96
131.74
SSe SST SSA 147.32 131.74 15.58
第13页/共31页
H0 :1 2 ... a 0; H A :i 0(至少有一i)
方差分析表
F＝，F＝。F > F，P。因此，上述5个小麦品系的株高差 异极显著。
x
第4页/共31页
方差分析原理
线性统计模型：
xij i ij
i 1, 2, , a
j
1,
2,
,
n
模型中的xij是在第i次处理下的第j次观测值。μ是总
平均数。αi是对应于第i次处理的一个参数，称为 第i次处理效应(treatment effect)。εij是随机误差， 是服从N(0，σ2)的独立随机变量。
第12页/共31页
例 调查5个不同小麦品系株高，结果见下表：
1 2 3 4 5 和 平均数
I 64.6 65.3 64.8 66.0 65.8 326.5 65.3
II 64.5 65.3 64.6 63.7 63.9 322.0 64.4
品系
III
IV
67.8
71.8
66.3
72.1
67.1
70.0
xi x
xij xi 0
i1 j1
i 1
j1
a
n
2
a
xij x n
a
xi x 2
n
2
xij xi
i1 j1
i 1
i1 j1
第8页/共31页
固定效应模型
a
n
2
a
xij x n
a
xi x 2
n
2
xij xi
i1 j1
i 1
i1 j1
平方和的
分割
SS =
第7页/共31页
固定效应模型
平方和与自由度的分解
an
2
an
2
xij x
xij xi xi x
i1 j1
i1 j1
a n
2
an
an
2
xij xi 2
xij xi xi x
xi x
i1 j1
i1 j1
i1 j1
an
a
n
xij xi xi x
(by RA Fisher)
第2页/共31页
例 调查5个不同小麦品系株高是否差异显著
1 2 3 4 5 和 平均数
I 64.6 65.3 64.8 66.0 65.8 326.5 65.3
II 64.5 65.3 64.6 63.7 63.9 322.0 64.4
品系
III
IV
67.8
71.8
66.3
第6页/共31页
固定效应模型
其中αi是处理平均数与总x平ij 均数的i 离差ij ，ij因1这1,, 2些2,, 离,,差na 的正负值相抵，因此
如果不存在处理效应，各αi都应当等于0，否则至少有一个αi≠0。因此，零假设
为：
n
H0：α1＝α2＝ … ＝αa＝i01 i 0
备择假设为：
HA：αi ≠ 0（至少有一个i）
第26页/共31页
多重比较的SPSS实现
例：小麦株高与品系的关系研究-多重比较
第27页/共31页
Post Hoc Test
多重比较的SPSS实现
SPSS Duncan’s test output (1)
结果的解读：除品系1、2之间外，其它各品系间均存在显著差异。
第28页/共31页
多重比较的SPSS实现
SPSS Duncan’s test output (2)
结果的解读：除品系1、2及3、5之间外，其它各品系间均存在极显 著差异。
第29页/共31页
科学论文中多重比较实例
字母标记法显示结果
各平均数间，凡有一个相同标记字母的即为差异不显著，没有相同 标记字母的即为差异显著。字母大写表示极显著水平(α)，小写表 示显著水平(α=0.05)
第1页/共31页
第八章 单因素方差分析
Chapter 8: One-factor Analysis of Variance
方差分析：从总体上判断多组数据平均数 （K≥3） 之间的差异是否显著
方差分析将全部数据看成是一个整体，分析构成变 量的变异原因，进而计算不同变异来源的总体方 差的估值。然后进行F测验，判断各样本的总体 平均数是否有显著差异。若差异显著，再对平均 数进行两两之间的比较。
T总平方和
SS SS + A处理平方和
e误差平方和
自由度的 分割
df T
=
总自由度
an 1
df df A处理自+由度
e 误差自由度
a 1
an a
MSA SSA /df A
处理均方
MSe SSe / dfe
误差均方
第9页/共31页
固定效应模型
单因素固定效应模型的方差分析表
处理效应对均方的贡献
第10页/共31页
•五次重复
第3页/共31页
单因素方差分析的数据形式
X因素的a个不同水平（处理）
每 个 处 理 下 n 个 重 复
n
xi xij ,
j 1
xi
1 n
xi ,
i 1, 2,, a
a n
x
xij ,
i 1 j1
x
1 an
固定效应模型
方差分析统计量：
Fdf A ,dfe
MS A MSe
第11页/共31页
固定效应模型
平方和的简易计算
a n
SST
i1 j1
xij x
2
a
i 1
n j1
xi2j
x2 na
a
SSA n
i1
xi x
2
1 n
a i 1
xi2
x2 na
C x2 na
减少计算误差 利于编程
C称为校正项。误差平方和 SSe ＝ SST－SSA
第30页/共31页
感谢您的观看！
第31页/共31页
第19页/共31页
单因素方差分析的SPSS实现
例：小麦株高与品系的关系研究-单因素固定模型的方差分析
第20页/共31页
单因素方差分析的SPSS实现
SPSS one-way ANOVA output
株高
Between Groups Within Groups Total
Sum of Squares
第22页/共31页
多重比较
多重比较方法：
最小显著差数（LSD）检验 Student-Newman-Keuls（SNK）q检验 Duncan 检验 Dunnett t检验 Tukey 检验 …
第23页/共31页
多重比较
最小显著差数法（Fisher’s Least significant difference test， LSD）
第18页/共31页
方差分析应具备的条件
3、方差齐性(Homogeneity)：
方差分析中的误差项方差是将各处理的误差合并而获 得一个共同的误差方差，因此必须假定资料中有这 样一个共同的方差σ2存在(Bartlett检验法)
如果各处理的误差方差不齐，则在假设测验中处理效 应得不到正确的反映。
xij i ij , ij (0, 2 )
66.8
69.1
68.5
71.0
336.5 354.0
67.3
70.8
V 69.2 68.2 69.8 68.3 67.5 343.0 68.6
C x2 16822 113164.96
na 55
an
SST
xi2j C 113312.28 113164.96 147.32
i1 j1
第14页/共31页
随机效应模型
xij i ij
i 1, 2, , a
j
1,
2,
,
n
其中处理效应αi为随机变量，服从μ=0的独立正态分布，其方差为
在则随α机i的效方应差模为型零中，，即对零单假个2设αi为的：检验是无意义。若假设不存在处理效应，
备择假设为：
H0
:
2
0
HA
:
2
0
第15页/共31页
第5页/共31页
方差分析原理
固定因素：
①因素的a个水平是人为特意选择的。 ②方差分析所得结论只适用于所选定的a个水平。
固定效应模型：处理固定因素所使用的模型。
随机因素：
①因素的a个水平是从水平总体中随机抽取的。 ②从随机因素的a个水平所得到的结论，可推广到该
因素的所有水平上。
随机效应模型：处理随机因素所使用的模型。
随机效应模型
单因素随机效应模型的方差分析表
随机效应与固定效应的方差分析的比较 ①程序相同； ②获得数据的方式不同；假设不同；均方期望不同；适用范围不同。
第16页/共31页
方差分析应具备的条件
1、可加性(Addictivity)：各处理效应与误差 效应是可加的。
an
a
n
xij xi xi x
131.740
15.580
147.320
Between Groups: 处理间 Within Groups: 处理内
AN OVA
df 4 20 24
Mean Square 32.935
.779
F 42.279
Sig. .000
F4,20＝，P。因此，上述5个小麦品系的株高差异极显著。
第21页/共31页
第八章 单因素方差分析
Chapter 8: One-factor Analysis of Variance (One-Way ANOVA)
当比较的平均值的数目K≥3时，不能直接应 用t测验或u测验的两两之间的假设测验方法 1、当有k个处理平均数时，将有 个CK2差数， 要对这诸多差数逐一进行检验，程序繁琐。 2、试验误差估计的精确度降低。 3、两两测验的方法会随着K的增加而大大增 加犯I型错误的概率。
多重比较
当对方之差间分存析在拒显绝著差H0异，，为须探对究各具处体理是平在均哪数些之组 间进行逐对比较，即多重比较（multiple comparison）— post-ANOVA analysis (Post Hoc test)。
如何进行多重比较？
逐对进行双样本的平均数差的t-检验？ 增大了犯I型错误的概率，不可取
1 n2
当 n1时，n2
t x1 x2 2 MSe n
df an a
当差异显著时，
x1 x2 t0.05
2 MSe n
LSD0.05
当差异不显著时，
x1 x2 LSD0.05
第25页/共31页
多重比较- Duncan multiple range test
梯形列表法显示结果 * **
是t检验的变形，在变异和自由度的计算上 利用了整个样本信息，而不仅仅是所比较 两组的信息。 检验的敏感度最高，倾向于得出差异显著 的结论，在比较时仍然存在放大1型错误的 问题。
第24页/共31页
多重比较
最小显著差数法（LSD）
t x1 x2 , s x1 x2
s x1 x2
MSe
1 n1
72.1
67.1
70.0
66.8
69.1
68.5
71.0
336.5 354.0
67.3
70.8
V 69.2 68.2 69.8 68.3 67.5 343.0 68.6
•因变量(响应变量):连续型的数值变量株高 •因素(Factor)：影响因变量变化的客观条件
•一个因素：“品系” 单因素方差分析 •水平(Level)：因素的不同等级 不同“处理”
xi x
xij xi 0
i1 j1
i 1
j1
处理项与随机误差项的交叉乘积和 =来自0平方和的分割
SS =
T总平方和
SS SS + A处理平方和
e误差平方和
第17页/共31页
方差分析应具备的条件
2、正态性(Normality)：
ε: NID(0, σ2)应该是随机的、彼此独立的,服从正态 分布。 正态性不满足：但处理的误差趋向于处理平均数的 函数关系。例如，二项分布数据，平均数期望为φ ，方差期望为φ(1-φ)/n，方差与平均数有函数关系 。如果这种函数关系是已知的，则可对观察值进行 反正弦转换或对数转换、平方根值转换，从而使误 差转化成近似的正态分布。
SSA
1 n
a i1
xi2
C
5664835.5 5
113164.96
131.74
SSe SST SSA 147.32 131.74 15.58
第13页/共31页
H0 :1 2 ... a 0; H A :i 0(至少有一i)
方差分析表
F＝，F＝。F > F，P。因此，上述5个小麦品系的株高差 异极显著。
x
第4页/共31页
方差分析原理
线性统计模型：
xij i ij
i 1, 2, , a
j
1,
2,
,
n
模型中的xij是在第i次处理下的第j次观测值。μ是总
平均数。αi是对应于第i次处理的一个参数，称为 第i次处理效应(treatment effect)。εij是随机误差， 是服从N(0，σ2)的独立随机变量。
第12页/共31页
例 调查5个不同小麦品系株高，结果见下表：
1 2 3 4 5 和 平均数
I 64.6 65.3 64.8 66.0 65.8 326.5 65.3
II 64.5 65.3 64.6 63.7 63.9 322.0 64.4
品系
III
IV
67.8
71.8
66.3
72.1
67.1
70.0
xi x
xij xi 0
i1 j1
i 1
j1
a
n
2
a
xij x n
a
xi x 2
n
2
xij xi
i1 j1
i 1
i1 j1
第8页/共31页
固定效应模型
a
n
2
a
xij x n
a
xi x 2
n
2
xij xi
i1 j1
i 1
i1 j1
平方和的
分割
SS =
第7页/共31页
固定效应模型
平方和与自由度的分解
an
2
an
2
xij x
xij xi xi x
i1 j1
i1 j1
a n
2
an
an
2
xij xi 2
xij xi xi x
xi x
i1 j1
i1 j1
i1 j1
an
a
n
xij xi xi x
(by RA Fisher)
第2页/共31页
例 调查5个不同小麦品系株高是否差异显著
1 2 3 4 5 和 平均数
I 64.6 65.3 64.8 66.0 65.8 326.5 65.3
II 64.5 65.3 64.6 63.7 63.9 322.0 64.4
品系
III
IV
67.8
71.8
66.3
第6页/共31页
固定效应模型
其中αi是处理平均数与总x平ij 均数的i 离差ij ，ij因1这1,, 2些2,, 离,,差na 的正负值相抵，因此
如果不存在处理效应，各αi都应当等于0，否则至少有一个αi≠0。因此，零假设
为：
n
H0：α1＝α2＝ … ＝αa＝i01 i 0
备择假设为：
HA：αi ≠ 0（至少有一个i）
第26页/共31页
多重比较的SPSS实现
例：小麦株高与品系的关系研究-多重比较
第27页/共31页
Post Hoc Test
多重比较的SPSS实现
SPSS Duncan’s test output (1)
结果的解读：除品系1、2之间外，其它各品系间均存在显著差异。
第28页/共31页
多重比较的SPSS实现
SPSS Duncan’s test output (2)
结果的解读：除品系1、2及3、5之间外，其它各品系间均存在极显 著差异。
第29页/共31页
科学论文中多重比较实例
字母标记法显示结果
各平均数间，凡有一个相同标记字母的即为差异不显著，没有相同 标记字母的即为差异显著。字母大写表示极显著水平(α)，小写表 示显著水平(α=0.05)
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第八章 单因素方差分析
Chapter 8: One-factor Analysis of Variance
方差分析：从总体上判断多组数据平均数 （K≥3） 之间的差异是否显著
方差分析将全部数据看成是一个整体，分析构成变 量的变异原因，进而计算不同变异来源的总体方 差的估值。然后进行F测验，判断各样本的总体 平均数是否有显著差异。若差异显著，再对平均 数进行两两之间的比较。
T总平方和
SS SS + A处理平方和
e误差平方和
自由度的 分割
df T
=
总自由度
an 1
df df A处理自+由度
e 误差自由度
a 1
an a
MSA SSA /df A
处理均方
MSe SSe / dfe
误差均方
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固定效应模型
单因素固定效应模型的方差分析表
处理效应对均方的贡献
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