高中数学 第一章 立体几何初步 第10课时 1.2.1 平面的基本性质与推论课时作业 新人教B版必修2

第10课时 1.2.1 平面的基本性质与推论
课时目标
1.会用符号语言表示空间点、线、面的关系．
2．理解体现平面性质的三个基本性质及三个推论．
3．能运用平面的基本性质及推论解决有关问题．
4．了解异面直线的概念．
识记强化
1．基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内，或者说直线在平面内，或平面经过直线．
2．基本性质2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．也可以简单地说成：不共线的三点确定一个平面．
推论：(1)推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．
(2)推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．
(3)推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线．
课时作业
一、选择题(每个5分，共30分)
1．给出下列命题：( )
①若一条直线在一个平面外，则这条直线上至多有一个点在这个平面内
②若一条直线上有一点在这个平面外，则这条直线上有无数个点在这个平面外；
③若直线l⊄α，A∈l，则A∉α；
④若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α.
上述命题中，正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：直线在平面外包含直线与平面平行和直线与平面相交两种情况，故若直线在平面外，则直线与平面至多有一个交点，故①②正确．由l⊄α，知直线l在平面α处，则直线l有可能与平面α相交，而点A在直线l上，则点A可能是直线l与平面α的交点，此时点A在平面α内，故③错误．根据公理1可知④正确．故选C.
2．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作( )
A．Q∈b∈β B．Q∈b⊂β
C．Q⊂b⊂β D．Q⊂b∈β
答案：B
解析：因为点Q在直线b上，所以Q∈b，又直线b在平面β内，所以b⊂β，所以Q
∈b⊂β.
3．已知a，b，c是三条直线，若a与b异面，b与c异面，则a与c的位置关系是( ) A．异面 B．平行
C．相交 D．以上均有可能
答案：D
解析：直线a与c的位置关系有以下三种情形(如图)：
∴直线a与c的位置关系可能平行，如图(1)所示，可能相交，如图(2)所示，也可能异面，如图(3)所示．故选D.
4．下列命题中正确的是( )
①空间中不共面的四点确定四个平面；
②空间中不共面的五个点最多能确定五个平面；
③空间中若三条直线两两相交，则这三条直线共面．
A．① B．②
C．③ D．①③
答案：A
解析：①正确；在②中，将底面全等的两个三棱锥的底面重合在一起形成的几何体，有五个顶点，这五个点能确定七个平面，故②错；在③中，以三棱锥为例，三条侧棱两两相交，但不共面，故③错，故选A.
5．平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈β，且B∉l，点C∈α，又AC∩l＝R，过A、B、C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )
A．直线CR B．直线BR
C.直线AB D．直线BC
答案：B
解析：A∈γ，C∈γ，则AC⊂γ，∴R∈γ，R∈l，l⊂β，∴R∈β，则BR⊂β，又B ∈γ，R∈γ，则BR⊂γ，故β∩γ＝BR.
6．若a、b是异面直线，和a、b同时相交的两直线c、d一定是( )
A．异面直线
B．相交直线
C．平行直线
D．异面或相交直线
答案：D
解析：如图所示．
二、填空题(每个5分，共15分)
7．一条直线与另外两条直线都相交，它们能确定的平面的个数为________．
答案：1或2或3
解析：如图，空间三条直线中的一条直线与其他两条都相交，那么由这三条直线可确定的平面的个数是1(如图(1)所示)，或2(如图(2)所示)，或3(如图(3)所示)．
8.
如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．
(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在________上；
(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在________上．
答案：(1)BD(2)AC
解析：(1)∵EH⊂平面ABD，
∴P∈平面ABD.
∵FG⊂平面BCD，∴P∈平面BCD.
又平面ABD∩平面BCD＝BD.
∴P∈BD.
(2)∵Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，∴Q∈AC.
9．不重合的三个平面把空间分成n部分，则n的可能值为________．
答案：4或6或7或8
三、解答题
10．(12分)已知：直线a，b，c，l，且a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c，l共面．
证明：方法一：如图，∵a∥b，
∴a，b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，
∴l⊂α，
∴a，b，l共面．
即若a，l确定一个平面α，过l上一点B作b∥a，则b⊂α.
同理，过l上一点C作c∥a，则c也在a，l确定的平面内．
∴a，b，c，l共面．
方法二：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.
∵A∈a，B∈b，∴AB⊂α，即l⊂α.
又b∥c，∴b，c确定一个平面β，而B∈b，C∈c，∴BC⊂β，即l⊂β.
于是b，l⊂α，b，l⊂β，而b∩l＝B，∴α与β重合，∴a，b，c，l共面．
11．(13分)如图所示，△ABC在平面α外，其三边所在的直线分别与α交于P、Q、R 三点，判断P、Q、R三点是否共线，并说明理由．
解：P、Q、R三点共线．
∵AB∩α＝Q，∴Q∈面α.
∵AB⊂面ABC，∴Q∈面ABC.
∴Q是面ABC与面α的公共点．
同理P、R也是面ABC与面α的公共点，由基本性质2可知：
P、Q、R是面ABC与面α交线上的三点，
∴P、Q、R三点共线．
能力提升
12．(5分)在三棱锥A —BCD 的棱AB 、BC 、CD 、DA 上分别取点E 、F 、G 、H ，如果EF 与HG 相交于一点M ，那么( )
A ．M 一定在直线AC 上
B ．M 一定在直线BD 上
C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线B
D 上
D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上
答案：A
解析：如图所示，因为E ∈AB ，F ∈BC ，由基本性质1知EF ⊂面ABC ，因为G ∈CD ，H ∈AD ，由基本性质1知GH ⊂面ACD .而面ABC ∩面ACD ＝AC ，EF 和HG 若相交，则交点既在平面ABC 内又在平面ACD 内，因此一定在平面ABC 和平面ACD 的交线AC 上，应选A.
13．(15分)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．
(1)求证：E ，C ，D 1，F 四点共面；
(2)求证：CE ，D 1F ，DA 三线共点．
证明：(1)如图，分别连接EF ，A 1B ，D 1C ，
∵E ，F 分别是AB ，AA 1的中点，
∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12
A 1
B . 又A 1D 1綊B 1
C 1綊BC ，
∴四边形A 1D 1CB 是平行四边形，
∴A 1B ∥CD 1，
∴EF ∥CD 1.
∴由推论3，可知EF 与CD 1确定一个平面，即E ，C ，D 1，F 四点共面．
(2)由(1)，知EF 綊12
CD 1， ∴直线D 1F 和CE 必相交．
设D 1F ∩CE ＝P ，
∵D 1F ⊂平面AA 1D 1D ，P ∈D 1F ，
∴P ∈平面AA 1D 1D .
又CE ⊂平面ABCD ，P ∈CE ，
∴P∈平面ABCD，
即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．又平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，
∴P∈AD，
∴CE，D1F，DA三线共点．。