高中数学(向量的线性运算)教案9 苏教版必修4 教案

向量的加法
教学目标：
掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义，能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量，理解向量加法满足交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义，掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等. 教学重点：
向量加法的平行四边形法则与三角形法则. 教学难点：
对向量加法定义的理解. 教学过程： Ⅰ.复习回顾
上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断.
另外，向量和我们熟悉的数一样可以进行加减运算，这一节，我们先学习向量的加法. Ⅱ.讲授新课
我们先给出向量加法的定义 1.向量加法的定义
已知a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →
＝b ， 则向量AC →
叫做a 与b 的和，记作a ＋b .
即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →
.
求两个向量和的运算叫向量的加法. 2.向量加法的三角形法则
在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则，运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.
3.向量加法的平行四边形法则
如图，由于平行四边形对边平行且相等，则可把向量b 的起点由B 移到A ，即AD →＝ BC →
＝b ，则： AC →
＝AB →＋BC →＝AB →＋AD →
即：在平面内过同一点A 作AB →＝a ，AD →
＝b ，则以AB 、AD 为邻边
构造平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线向量AC →
即a 与b 的和，这种方法即为向量加法的平行四边形法则.
说明：上述两种方法实质相同，但应用各有特色，三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.
4.向量加法所满足的运算律 交换律：a ＋b ＝b ＋a
结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) 说明：运算律验证引导学生完成.
下面我们通过例题来进一步熟悉向量加法的三角形法则与平行四边形法则. ［例1］如图，已知向量a ，b ，求作向量a ＋b .
分析：此题可以应用三角形法则也可应用平行四边形法则 求解，但应注意两种法则的适用前提不同，若用三角形法则， 则应平移为两向量首尾相接；若用平行四边形法则，则应平移 为两向量同起点情形.
作法一：设a ＝AB →，b ＝CD →，过点B 作BE →＝CD →
＝b ， 则根据向量加法的三角形法则可得 AE →＝AB →＋BE →
＝a ＋b
作法二：过A 作AE →＝CD →
＝b ，然后根据向量加法的 平行四边形法则，以AB 、AC 作出的平行四边形的对角 线AF →
＝a ＋b .
评述：在求作两已知向量的和向量时，对于向量加法
的三角形法则和平行四边形法则，学生可根据具体情况灵 活运用.
［例2］一艘船从A 点出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h ，求船实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
分析：速度是一个既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示，速度的合成也就是向量的加法. 解：如图，设AD →表示船向垂直于对岸行驶的速度，AB →
表示水流 的速度，以AD 、AB 作邻边作
ABCD ，则AC →
就是船实际航行的速度.
在Rt △ABC 中，｜AB →｜＝2，｜BC →
｜＝2 3 ， ∴｜AC →
｜＝
｜AB →｜2＋｜BC →｜2
＝22
＋（2 3 ）2
＝4
∵tan CAB ＝23
2
＝ 3 ，∴∠CAB ＝60°
答：船实际航行速度的大小为4 km/h ，方向与流速间的夹角为60°. 评述：此题说明在物理学中有关速度合成等问题可以运用向量的知识来解决. ［例3］试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
分析：要证明四边形是平行四边形，只要证明其中一组对边平行且相等，由向量相等的定义可知，只需证明其中一组对边对应的向量相等.
解析：已知ABCD 是四边形，对角线AC 与BD 交于O ，AO =OC ，DO =OB . 求证：ABCD 是平行四边形. 证明：如图，由向量的加法法则， 有AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →.
又已知AO →＝OC →，DO →＝OB →. ∴AB →＝DC →
. 这说明AB 与DC 平行且相等. 故ABCD 是平行四边形. Ⅲ.课堂练习
课本P 63练习1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家在理解向量加法定义的基础上，掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，并了解向量加法在物理学中的应用. Ⅴ.课后作业
课本P 68习题 1，2，3
向量的减法 教学目标：
掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量，能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量，了解向量方程，并会用几何法解向量方程. 教学重点：
向量减法的三角形法则. 教学难点：
对向量减法定义的理解. 教学过程： Ⅰ.复习回顾
上一节，我们一起学习了向量的加法，并熟悉了求解向量和的向量加法的平行四边形法则与三角形法则，并进行了简单应用.
这一节，我们来继续学习向量的减法. Ⅱ.讲授新课
1.向量减法的定义
向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b ). 求两个向量差的运算，叫向量的减法.
说明：(1)与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量； (2)零向量的相反向量仍是零向量； (3)任一向量和它相反向量的和是零向量.
［师］从向量减法的定义中，我们可以体会到向量减法与向量加法的内在联系.
2.向量减法的三角形法则
以平面内的一点作为起点作a ，b ，则两向量终点的连线段，并指向a 终点的向量表示a －b . 说明：向量减法可以转化为向量加法，如图b 与a －b 首尾 相接，根据向量加法的三角形法则有b ＋(a －b )＝a
即a －b ＝CB →
.
下面我们通过例题来熟悉向量减法的三角形法则的应用. ［例1］如图，已知向量a ，b ，c ，d ，求作向量a －b ，c －d . 分析：根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个 同起点的向量.
作法：如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →
＝b ， OC →
＝c ，OD →
＝d .
作BA →，DC →，则BA →＝a －b ，DC →
＝c －d ［例2］判断题
(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同. (2)三角形ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →
＝0.
(3)若AB →＋BC →＋CA →
＝0，则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点. (4)｜a ＋b ｜≥｜a －b ｜.
分析：(1)a 与b 方向相同，则a ＋b 的方向与a 和b 方向都相同；若a 与b 方向相反，则有可能a 与b 互为相反向量，此时a ＋b ＝0的方向不确定，说与a 、b 之一方向相同不妥.
(2)由向量加法法则AB →＋BC →＝AC →，AC →与CA →
是互为相反向量，所以有上述结论. (3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →＋BC →＋AC →
＝0，而此时构不成三角形.
(4)当a 与b 不共线时，｜a ＋b ｜与｜a －b ｜分别表示以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定.
当a 、b 为非零向量共线时，同向则有｜a ＋b ｜＞｜a －b ｜，异向则有｜a ＋b ｜＜｜a －b ｜； 当a 、b 中有零向量时，｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜.
综上所述，只有(2)正确. ［例3］化简AB →－AC →＋BD →－CD →
. 解：原式＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →
＝0 ［例4］化简OA →＋OC →＋BO →＋CO →
.
解：原式＝(OA →＋BO →)＋(OC →＋CO →)＝(OA →－OB →)＋0＝BA →
Ⅲ.课堂练习
课本P 65练习1，2，3，4，5，6. Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家在理解向量减法定义的基础上，掌握向量减法的三角形法则，并能加以适当的应用. Ⅴ.课后作业
课本P 68习题 4，8，11
向量、向量的加减法
1．下列关于零向量的说法中，错误的是 （ ） A.零向量长度为0 B.零向量是没有方向的 C.零向量的方向是任意的 D.零向量与任一向量平行
2．下列命题中，正确的是 （ ） A.若|a |＝|b |，则a ＝b B.若|a |＞|b |，则a ＞b C.若a ＝b ，则a ∥b D.若|a |＝1，则a ＝±1
3．当|a |＝|b |，且a 与b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系为 （ ） A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.相等
4．如右图，已知O 为正六边形ABC DEF 的中心，则与向量DO →
相等的向量有 .
5．已知|AB →|＝10，|AC →|＝7，|则|BC →
|的取值范围为 . 6．已知OA →＝a ，OB →
＝b ，且|a |＝|b |＝4，∠AOB ＝60°. 则|a ＋b |＝ ，|a －b |＝ . 7．化简AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →
＝ . 8．判断以下说法是否正确.
（1）向量a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线. （ ） （2）任意两个非零的相等向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点. （ ） （3）向量AB →与CD →
是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上. （ ） （4）向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同. （ ） （5）长度相等且起点相同的两个向量，其终点必相同. （ ）
9．已知两个力F 1、F 2的方向互相垂直，且它们的合力F 大小为10 N ，与力F 1的夹角为60°，求力F 1与F 2
的大小.
10．一架飞机从A 地按北偏西30°方向飞行300 km ，到达B 地，然后向C 地飞行，设C 地恰在A 北偏东60°，且距A 100 3 km 处，求飞机从B 地向C 地飞行的方向和B 、C 两地的距离.
向量、向量的加减法答案
1．B 2．C 3．B 4．OA →，CB →，EF → 5．［3，17］ 6．4 3 4 7．AB →
8．（1）错误 （2）错误 （3）错误 （4）错误 （5）错误 9．F 1，F 2分别为5 N 和5 3 N
10．解：∵BC ＝AB 2＋AC 2
＝200 3 ，sin B ＝100 3 200 3 ＝12 ∴B＝30°，∴飞机从B 以南偏东60°的方向向C 地
飞行.。