北京市清华大学附属中学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试(答案解析)

一、选择题
1．某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩ξ占近似服从正态分布(
)2
95,N σ
，且
(9195)0.25P ξ<≤=．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低
于99分的人数为（ ） A ．100
B ．125
C ．150
D ．175
2．某人射击一发子弹的命中率为0.8，现他射击19发子弹，理论和实践都表明，这19发子弹中命中目标的子弹数n 的概率()f n 如下表，那么在他射击完19发子弹后，其中击中目标的子弹数最大可能是（ ）
A ．14发
B ．15发
C ．16发
D ．15或16发
3．《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +，B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[]91,100，[81,90]，[]71,80、[]61,70、[]51,60、[]41,50、
[]31,40、[]21,30、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试
物理科目的原始成绩X ～()50,256N ，那么D 等级的原始分最高大约为（ ）
附：①若X ～()2
,N
μσ，X Y μ
σ
-=，则Y ～()0,1N ；②当Y ～()0,1N 时，()1.30.9P Y ≤≈.
A ．23
B ．29
C ．36
D ．43
4．设01p <<，随机变量ξ的分布列是
则当p 在()0,1内增大时（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大
5．已知随机变量()2,1X
N ，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随
机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ） 附：若随机变量()2,N ξ
μσ，则()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，
()220.9544P μσξμσ-≤≤+=.
A ．0.1359
B ．0.7282
C ．0.6587
D ．0.8641
6．已知随机变量ξ的取值为()0,1,2i i =.若()1
05
P ξ==
，()1E ξ=，则( ) A ．()()1P D ξξ=< B ．()()1P D ξξ== C ．()()1P D ξξ=>
D ．()()1
15
P D ξξ==
7．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）
ξ
1 2 3
P
13
12
16
η
1 2 3
P
16
12
13
A ．E E ξη<，D D ξη<
B ．E E ξη<，D D ξη>
C ．E E ξη<，
D D ξη=
D ．
E E ξη=，D D ξη=
8．高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，在甲和乙相邻的条件下，丙和乙也相邻的概率为（ ） A ．
110
B ．
14
C ．
310
D ．
25
9．已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则E ξ=（ ） A ．
145
B ．
135
C ．
73
D ．
83
10．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X 近似服从正态分布2(84,)N σ，且
(7884)0.3P X <≤=.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分
的人数为（ ） A ．60 B ．80 C ．100
D ．120
11．如图所示,EFGH 是以O 为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,事件A 表示“豆子落在正方形EFGH 内”,事件B 表示“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)等于( )
A ．
18
B ．
14
C ．
12
D ．38
12．已知2~(1,)X N σ，(03)0.7P X <≤=，(02)0.6P X <≤=，则(3)≤=P X （ ） A ．0.6
B ．0.7
C ．0.8
D ．0.9
二、填空题
13．设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行调查，则查得次品数的数学期望为__________.
14．中国福利彩票3D 游戏(以下简称3D )，是以一个3位自然数(如：0记作000)为投注号码的彩票.投注者从000~999这些3位自然数中选择一个进行投注，每注2元，如果与官方公布的三位数相同，则视为中奖，获得奖金1000元，反之则获得奖金0元.某人随机投了一注，他的奖金的期望是______元.
15．一批产品的一等品率为0.9，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，
X 表示抽到的一等品件数，则D()X =__________。

16．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N （100，σ2），已知P （80<ξ<120）=0.70，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析．则应从120分以上的试卷中抽取________份．
17．（1）10件产品，其中3件是次品，任取2件，若ξ表示取到次品的个数，则
()E ξ=_______；
（2）设随机变量ξ的分布列为()P k ξ==21C ()()33
k k n k
n -，k =0，1，2，…，n ，且
()24E ξ=，则()D ξ= _______；
（3）设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的次数（每个小球被抽取的概率相同，每次抽取相互独立），则方差()D X =______． 18．已知某随机变量X 的分布列如下（,p q ∈R ）：
且X 的数学期望1
()2
E X =
，那么X 的方差()D X =__________． 三、解答题
19．疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了200名学生的成绩，并计算得知这200个学生的平均成绩为65，其中5个低分成绩分别是30、33、35、38、38；而产生的10个高分成绩分别是90、91、91、92、92、93、95、98、100、100．
（1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布(
)2
,N μσ
（μ和2
σ
分别为样本平均数和方差），则认为防控有
效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本方差为210，请判断该校的疫情防控是否有21014.5≈）规定：若
()220.9544P X μσμσ-<<+>，()330.9974P X μσμσ-<<+>，则称变量
X “近似满足正态分布()2
,N μσ的概率分布”．
（2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对90分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于94分的同学只有一次抽奖机会，不低于94分的同学有两次抽奖机
会．每次抽奖获得50元奖金的概率是
3
4
，获得100元的概率是14．现在从这10个高分学
生中随机选一名，记其获奖金额为Y ，求Y 的分布列和数学期望．
20．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄､蓝两种颜色的单车，已知黄､蓝两种颜色单车的投放比例为1:2.监管部门为了解两种颜色单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同. （1）求抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率；
（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过4次.在抽样结束时，已取到的黄色单车数量用ξ表示，求ξ的分布列及数学期望.
21．为了解果园某种水果产量情况，随机抽取100个水果测量质量，样本数据分组为
[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[]350,400（单位：
克），其频率分布直方图如图所示：
（1）用分层抽样的方法从样本里质量在[)250,300，[)300,350的水果中抽取6个，求质量在[)250,300的水果数量；
（2）从（1）中得到的6个水果中随机抽取3个，记X 为质量在[)300,350的水果数量，求X 的分布列和数学期望；
（3）果园现有该种水果越20000个，其等级规则及销售价格如下表所示： 质量m （单位：克） 200m < 200300m ≤<
300m ≥
等级规格 二等 一等 特等 价格（元/个）
4
7
10
22．某单位招聘员工时，要求参加笔试的考生从5道A 类题和3道B 类题共8道题中任选
3道作答.
（1）求考生甲至少抽到2道B 类题的概率；
（2）若答对A 类题每道计1分，答对B 类题每道计2分，若不答或答错，则该题计0分.考生乙抽取的是1道A 类题，2道B 类题，且他答对每道A 类题的概率为2
3
，答对每道B 类题的概率是1
2
，各题答对与否相互独立，用X 表示考生乙的得分，求X 的分布列和数学期望.
23．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有()|P A C 0.95=，
()|0.95P A C =.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即()0.005P C =，试求()|P C A .
24．现有编号为1，2，3的三只小球和编号为1，2，3的三个盒子，将三只小球逐个随机
地放入三个盒子中，每只球的放置相互独立.
（1）求恰有一个空盒的概率；
（2）求三只小球在三个不同盒子中，且每只球编号与所在盒子编号不同的概率；（3）记录所有至少有一只球的盒子，以X表示这些盒子编号的最小值，求()
E X. 25．学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A、B两个靶进行射击，先向A靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，射击B靶如果连续命中两次则得5分.甲同学准备参赛，经过一定的训练甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A靶射击，命中的概
率是4
5
；向B靶射击，命中的概率为
3
4
.假设甲同学每次射击结果相互独立.
（1）求甲同学恰好命中一次的概率；
（2）求甲同学获得的总分X的分布列及数学期望.
26．面对环境污染，党和政府高度重视，各级环保部门制定了严格措施治理污染，同时宣传部门加大保护环境的宣传力度，因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识，为此某市在八里湖新区建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车卡自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分缴费，具体扣分标准如下：
①租用时间不超过1小时，免费；
②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；
③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；
④租用时间为3小时以上且不超过4小时，扣3分；
⑤租车时间超过4小时除扣3分外，超出时间按每小时扣2分收费（不足1小时的部分按1小时计算）
甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过4小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.4，0.5；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.3，0.3；租用时间为2小时以上且不超过3小时的概率分别是
0.2，0.1．
（1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；
（2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考答案
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一、选择题
1．D 解析：D 【分析】
由题意，成绩X 近似服从正态分布(
)2
95,N σ
，则正态分布曲线的对称轴为95X =，根
据正态分布曲线的对称性，求得()1
99[12(9195)]2
P X P X ≥=⨯-⨯<≤，进而可求解，得到答案. 【详解】
由题意，成绩X 近似服从正态分布(
)2
95,N σ，
则正态分布曲线的对称轴为95X =， 又由(9195)0.25P ξ<≤=， 根据正态分布曲线的对称性，可得
()()11
99[12(9195)]120.250.2522
P X P X ≥=⨯-⨯<≤=-⨯=，
所以该市某校有700人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为7000.25175⨯=人， 故选：D. 【点睛】
关键点点睛：该题主要考查了正态分布曲线的性质的应用，其中解答中熟练应用正态分布曲线的对称性，求得成绩不低于99分的概率是解答的关键.
2．D
解析：D 【分析】
设第k 发子弹击中目标的概率最大，根据题意，可以表示第1k -、k 、1k +发子弹击中目标的概率，进而可得()()1f k f k ≥+且()()1f k f k ≥-，即可得关于k 的不等式组，求解可得答案． 【详解】
根据题意，设第k 发子弹击中目标的概率最大，而19发子弹中命中目标的子弹数n 的概率
()19190.80.2k k k P n k C -⋅⋅==（0k =，1，2，
，19），
则有()()1f k f k ≥+且()()1f k f k ≥-，
即191
118191919112019190.80.20.80.20.80.2
0.80.2k k k k k k
k
k k k k k
C C C C -++-----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩ ，解可得1516k ≤≤ ， 即第15或16发子弹击中目标的可能性最大，
则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是第15或16发. 故选：D ． 【点睛】
本题考查n 次独立重复试验中发生k 次的概率问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题．
3．B
解析：B 【分析】
由于原始分与对应等级分的分布情况是相同的，由(P 等级分≥40)0.9=即有(P 原始分
≥50
16
x -)0.9=，结合原始分满足X ～()50,256N 的正态分布即可得均值和标准差，而X Y μ
σ
-=
且()1.30.9P Y ≤≈知( 1.3)0.9P Y ≥-≈，即有
50
16
x - 1.3=-求解即可 【详解】
由题意知：X ～()50,256N 则有50μ=，16σ=
设D 等级的原始分最高大约为x ，对应的等级分为40 ，而(P 等级分
≥40)1(7%3%)0.9=-+=
∴有(P 原始分≥
50
16
x -)0.9= 而()1.30.9P Y ≤≈，由对称性知( 1.3)0.9P Y ≥-≈
∴有
50
16x - 1.3=-，即29.229x =≈ 故选：B 【点睛】
本题考查了正态分布的应用，根据两个有相同分布情况的数据集概率相等，由已知数据集上某点上的概率找到另一个数据集上有相等概率的点，即可找到等量关系，进而求点的位置。

注意正态分布的对称性应用
4．B
解析：B 【分析】
根据题意计算随机变量ξ的分布列和方差，再判断p 在(0,1)内增大时，()E ξ、()D ξ的单调性即可． 【详解】
解：设01p <<，随机变量ξ的分布列是
1131()01222222
p p E p ξ-=⨯
+⨯+⨯=-， 方差是22231311311
()(0)(1)(2)222222222
p p D p p p ξ-=-
+⨯+-+⨯+-+⨯ 211
44
p p =-
++
215(2)44
p =--+，
当p 在(0,1)内增大时，()E ξ减小，()D ξ增大．
故选：B ． 【点睛】
本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力．
5．D
解析：D 【分析】
根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即得解. 【详解】
由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：
()()1
(01)(22)0.13592
P X P P μσξμσμσξμσ≤≤=-≤≤+--≤≤+=
故所求的概率为10.1359
0.86411
P -==， 故选：D 【点睛】
本题考查了正态分布的图像及其应用，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.
6．C
解析：C 【分析】
设()1P x ξ==，根据()f x ，()1E ξ=列方程求出x ，进而求出()D ξ，即可比较大小. 【详解】 设()1P x ξ==， 则()425P x ξ==
-，则()1480121555x x E x ξ⎛⎫
=⨯+⨯+-⨯=-= ⎪⎝⎭
，
解得()315P ξ==，()1
25P ξ==， 则()()()()222
13120111215555
D ξ=⨯-+⨯-+⨯-=，
故()()1P D ξξ=>， 故选：C. 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
7．C
解析：C 【分析】
由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η． 【详解】 由题意得： E ξ111123326=⨯
+⨯+⨯=116
， D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108
266=-⨯+-⨯+-⨯=． E η111131236236
=⨯
+⨯+⨯=， D η＝（1316-
）216⨯+（2136-）212⨯+（3136
-）2151
3108⨯=， ∴E ξ＜E η，D ξ=D η． 故选：C ． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．
8．B
解析：B 【分析】
记事件:A 甲乙相邻，事件:B 乙丙相邻，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算出()P A 和()P AB ，再利用条件概率公式可计算出所求事件的概率． 【详解】
记事件:A 甲乙相邻，事件:B 乙丙相邻，则事件:AB 乙和甲丙都相邻，所求事件为B A ，
甲乙相邻，则将甲乙两人捆绑，与其他三位同学形成四个元素，排法种数为42
4248A A =，
由古典概型的概率公式可得()5
54825
P A A =
=. 乙和甲丙都相邻，则将甲乙丙三人捆绑，且乙位置正中间，与其他两位同学形成三个元素，排法种数为323
2
12A A =，由古典概型的概率公式可得()5
512110
P AB A =
=， 由条件概率公式可得()()()
151
1024
P AB P B A P A ==
⨯=，故选B. 【点睛】
本题考查条件概率的计算，解这类问题时，要弄清各事件事件的关系，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算相应事件的概率，并灵活利用条件概率公式计算出所求事件
的概率，考查计算能力，属于中等题．
9．A
解析：A 【分析】
先求出ξ的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用1122i i E p p p ξξξξ=+++
+可求得数学期望. 【详解】
ξ的可能取值为2,3,4.
2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故
()339
25525
P ξ==⨯=.
3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故()322312
3555525
P ξ==⨯+⨯=.
4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故()224
45525P ξ==⨯=.
所以912414
2342525255
E ξ=⨯+⨯+⨯=.故选A. 【点睛】
求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布(),B n p ，也可以直接利用公式E np ξ=求期望.
10．B
解析：B 【分析】
由题意，成绩X 近似服从正态分布(
)2
84,N σ
，则正态分布曲线的对称轴为84X =，根
据正态分布曲线的对称性，求得()1
90[12(7884)]2
P X P X ≥=⨯-⨯<≤,进而可求解，得到答案. 【详解】
由题意，成绩X 近似服从正态分布(
)2
84,N σ，则正态分布曲线的对称轴为84X =，
又由(7884)0.3P X <≤=， 根据正态分布曲线的对称性，可得
()()11
90[12(7884)]10.60.222
P X P X ≥=⨯-⨯<≤=-=,
所以该市某校有400人中，估计该校数学成绩不低于90分的人数为4000.280⨯=人， 故选B.
【点睛】
本题主要考查了正态分布曲线的性质的应用，其中解答中熟练应用正态分布曲线的对称性，求得成绩不低于90分的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
11．B
解析：B 【分析】
由几何概型概率计算公式可得P(A)=2
π
，再根据条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】
由几何概型概率计算公式可得P(A)=
S 2
S π
=正圆；事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”, 则P(AB)=2
EOH
11
S
12.S π2π
圆
⨯==由条件概率的计算公式可得P(B|A)=1P(AB)12π2P(A)4π
==，故选B. 【点睛】
本题主要考查了几何概型及其概率的计算，以及条件概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，合理利用几何概型及其概率的计算公式和条件概率的计算公式，合理、准确求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
12．D
解析：D 【解析】
分析：根据随机变量X 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得
()3P X ≤．
详解：由题意230.70.60.1P x =-=，（＜＜） ， ∵随机变量(
)2
~1,X N σ
，(02)0.6P X <≤=，(12)0.3P X <≤=
∴()130.30.10.4,P X <≤=+=30.40.50.9P X =+=（＜）， 故选D ．
点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．
二、填空题
13．【分析】设抽得次品数为列出随机变量的分布列进而可求得的值【详解】设抽得次品数为则随机变量的可能取值有则所以随机变量的分布列如下表所示： 所以故答案为：【点睛】方法点睛：求离散型随机
解析：3
5
【分析】
设抽得次品数为X ，列出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值. 【详解】
设抽得次品数为X ，则随机变量X 的可能取值有0、1、2，
则()272107
015C P X C ===，()11372
107115C C P X C ===，()232101215
C P X C ===， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：
所以，()0121515155
E X =⨯+⨯+⨯=. 故答案为：35
. 【点睛】
方法点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法： （1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．
（2）已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y aX b =+的均值、方差，可直接用X 的均值、方差的性质求解；
（3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、方差公式求解．
14．1【分析】求出此人中奖和不中奖的概率利用期望的公式即可求得数学期望得到答案【详解】由题意此人中奖的概率为不中奖的概率为所以此人随机投注一次他的奖金的期望为：元故答案为：1【点睛】本题主要考查了离散型
解析：1 【分析】
求出此人中奖和不中奖的概率，利用期望的公式，即可求得数学期望，得到答案. 【详解】
由题意，此人中奖的概率为
1
1000
，不中奖的概率为9991000，
所以此人随机投注一次，他的奖金的期望为：1999
10000110001000
⨯+⨯=元. 故答案为：1. 【点睛】
本题主要考查了离散型随机变量的数学期望的求法，其中解答中正确理解题意，求得此人
中奖和不中奖的概率，结合期望的计算公式求解是解答的关键，属于基础题.
15．9【分析】根据题意知抽到一等品件数满足二项分布然后求解方差即可【详解】由题意可知该事件满足独立重复试验是二项分布模型其中则故答案为：【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的方差的求法属于容易题解题时要
解析：9 【分析】
根据题意知，抽到一等品件数满足二项分布,然后求解方差即可． 【详解】
由题意可知，该事件满足独立重复试验，是二项分布模型， 其中，0.9p =，100n =，
则()()11000.90.19D X np p =-=⨯⨯=． 故答案为：9． 【点睛】
本题主要考查了离散型随机变量的方差的求法，属于容易题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用.
16．15【解析】分析：根据正态分布概率计算可求出120分以上的概率；根据分层抽样可求出120分以上抽取样本的数量详解：根据正态分布所以根据分层抽样中概率值可得120分以上抽取份数为点睛：本题考查了利用正
解析：15． 【解析】
分析：根据正态分布概率计算，可求出120分以上的概率；根据分层抽样，可求出120分以上抽取样本的数量． 详解：根据正态分布(
)2
100,N σ ,100μ= ，()801200.7P ξ<<=
所以()10.7
1200.152
P ξ-<=
= 根据分层抽样中概率值，可得120分以上抽取份数为
1200.1515⨯=
点睛：本题考查了利用正态分布的概率特征，计算特定范围内的概率，结合分层抽样求出抽取样本的数数量，属于简单题．
17．8【解析】（1）由题意得随机变量的可能取值为012所以（2）由题意可知所以解得所以（3）每次取球时取到红球的概率为黑球的概率为所以服从二项分布即所以
解析：
358 23 【解析】
（1）由题意得，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，()27210C 7
0C 15
P ξ===，()1P ξ=
11
73
210C C 7C 15==， ()23210C 12C 15P ξ===，所以()77130121515155
E ξ=⨯
+⨯+⨯=． （2）由题意可知2,
3B n ξ⎛⎫ ⎪
⎝⎭～，所以()2
243
n E ξ==，解得36n =，所以()D ξ= 22361833⎛⎫
⨯⨯-= ⎪⎝⎭
．
（3）每次取球时，取到红球的概率为
23、黑球的概率为1
3
，所以X 服从二项分布，即23,3X B ⎛⎫
~ ⎪⎝⎭
，所以()22231333D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．
18．【解析】根据题意可得解得故的方差
解析：3
4
【解析】
根据题意可得1
12p q p q +=⎧⎪
⎨-=⎪⎩，解得34p =，14q =，
故X 的方差2
2
13113()1124244D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭． 三、解答题
19．（1）该校的疫情防控是有效的，理由见解析；（2）分布列见解析，87.5. 【分析】
（1）计算出()22P X μσμσ-<<+和()33P X μσμσ-<<+，结合已知条件判断可得出结论；
（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有50、100、150、200，计算出随机变量Y 在不同取值下的概率，可得出随机变量Y 的分布列，进一步可求得随机变量Y 的数学期望值. 【详解】
（1）据该校的疫情防控是有效的，理由如下：
21014.5≈，265214.536μσ∴-=-⨯=，265214.594μσ+=+⨯=，
365314.521.5μσ-=-⨯=，365314.5108.5μσ+=+⨯=，
得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个，
()7
2210.9650.9544200
P X μσμσ∴-<<+=-
=>， 学生的得分都在[]30,100间，()3310.9974P X μσμσ∴-<<+=>．
∴学生得分近似满足正态分布()65,210N 的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的；
（2）设这名同学获得的奖金为Y ，则Y 的可能值为50、100、150、200，
()6395010420P Y ==⨯=，()2
61433
1001041048P Y ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭， ()124313*********P Y C ==⨯⨯⨯=，()2
41120010440
P Y ⎛⎫==⨯=
⎪⎝⎭， 故Y 的分布列为：
()5010015020087.52082040
E Y ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】
思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 20．（1）80
243；（2）分布列答案见解析，数学期望：
4081
. 【分析】
（1）利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）由题可知，随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3、4，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，由此可得出随机变量ξ的分布列和期望. 【详解】
（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为
2
3
，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝色单车的个数”，则X 服从二项分布，即2~5,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
所以抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率为32
35218033243C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
； （2）随机变量ξ的可能取值为：0､1､2､3､4.
()203p ξ==，()1221339p ξ==⨯=，()2
122
23327
p ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，
()312233381
p ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()4
114381p ξ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭.
所以ξ的分布列如下表所示：
()012343927818181
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.
21．（1）4个；（2）分布列见解析；期望为1；（3）143000（元）． 【分析】
（1）根据频率分布直方图得到质量在[)250,300，[)300,350的该水果的频率，按照比例抽取即可.
（2）由（1）知，6个水果中由2个质量在[)300,350，得到X 的所有可能取值为0，1，2，再分别求得其相应的概率，列出分布列，再求期望.
（3）根据频率分布直方图，得到质量在[)100,150，[)150,200，[)200,250，
[)250,300，[)300,350，[]350,400的该种水果的频率，然后估计20000个水果中，哥
等级的个数求解. 【详解】
（1）质量在[)250,300，[)300,350的该水果的频率分别为0.008500.4⨯=，
0.004500.2⨯=，其比为2:1，
所以按分层抽样从质量在[)250,300，[)300,350的这种水果中随机抽取6个， 质量在[)250,300的该种水果有4个．
（2）由（1）可知，6个水果中由2个质量在[)300,350， 所以X 的所有可能取值为0，1，2．
()3436C 10C 5P X ===，()214236C C 31C 5P X ===，()12
42
36C C 12C 5
P X ===．
所以X 的分布列为
故X 的数学期望()0121555
E X =⨯
+⨯+⨯=． （3）由频率分布直方图可知，质量在[)100,150，[)150,200，[)200,250，
[)250,300，[)300,350，[]350,400的该种水果的频率分别为0.1，0.1，0.15，0.4，
0.2，0.05．
所以估计20000个水果中，二等品有()200000.10.14000⨯+=个； 一等品有()200000.150.411000⨯+=个； 特等品有()200000.20.055000⨯+=个．
果园该种水果的销售收入为40004110007500010143000⨯+⨯+⨯=（元）． 【点睛】
方法点睛：求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．
22．（1）2
7；（2）分布列见解析；期望为83
.
【分析】
（1）利用组合数计算考生甲至少抽到2道B 类题的种数，利用古典概型的概率计算公式可求概率.
（2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，分别计算出各自的概率后可得分布列，再利用公式计算期望即可. 【详解】
解：（1）设“考生甲至少抽到2道B 类题”为事件A ，则213
3533
82
()7
C C C P A C +== （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，
所以2
211(0)113212P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
2
211
(1)1326
P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，
122111
(2)113226P X C ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
122111(3)13223
P X C ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭，
2
22211(4)1C 3212P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， 2
211
(5)326
P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，
所以X 的分布列为
所以123456631263
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
方法点睛：离散型随机变量的分布列的计算，注意理解每个取值的含义，并借助排列组合的知识计算相应的概率.
23．19
218
【分析】
根据条件概率和全概率公式可求得结果. 【详解】
因为()|0.95P A C =，所以()
|1P A C =-()
|0.05P A C =， 因为()0.005P C =，所以()0.995P C =，
所以由全概率公式可得()()()()()
||P A P A C P C P A C P C =⋅+⋅， 因为()P AC =()|P C A ()P A ()()|P A C P C = 所以()|P C A ()()()|()
0.950.00519
0.950.0050.050.995218
|()|()
P A C P C P A C P C P A C P C ⨯==
=⨯+⨯+.
【点睛】
关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键. 24．（1）23；（2）227
；（3）4
3. 【分析】
（1）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率； 方法二：用排列组合数表示；
（2）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率； 方法二：用排列组合数表示；。