椭圆及其性质课件高三数学一轮专题复习

如图，△F1AB的周长为：
|AF1|＋|BF1|＋|AB|
＝|AF1|＋|BF1|＋（|AF2|＋|BF2|）
F2 x
B
＝（|AF1|＋|AF2|）＋（BF1|＋|BF2|）＝2a＋2a＝4a=20
对点训练
2：若
F1，F2
是椭圆x2＋y2＝1
97
的两个焦点，A
为椭圆
上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2 的面积为( C )
=1
c2 a2
=
1 2
e
c a
c2 = a2
1 2
2 2
对点训练 3：已知椭圆 x2＋ y2 ＝1 的离心率为4，则 k＝________
9 4－k
5
解析：当9 4－k 0, 即-5<k 4时，a2 =9，b2 4－k
c2 =a2－b2 9－(4－k) 5 k
此时椭圆的离心率为：e c a
合，图形变为圆， 它的方程为：x2 y2 a 2
[3]e与a， b的关系：
e c a
c2 a2
a2 b2 a2
1
b2 a2
标准方程 范围 对称性 焦点坐标 顶点坐标
半轴长
离心率 a、b、c的 关系
x2 y2 a2 b2 1(a b 0) －a≤x≤a，－b≤y≤b
y2 x2 a2 b2 1(a b 0) －a≤y≤a，－b≤x≤b
如图1，当焦点在x轴上时， c=2，b=1
y
则a2
=b2
+c2 =5，所求椭圆的标准方程为
x2 5
(-2，0)
+y2 =1
B1
F2(0，1)
如图2，当焦点在y轴上时， b=2，c=1
则a2
=b2
+c2
=5， 所求椭圆的标准方程为
y2 5
+
x2 4
=1
O
x
F1
图2
对点训练 1：一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，
y
B2 b
a2 b2 c2
b
a
A2
o c F2 a
B1 －b
(2)对称性
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称
椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
椭圆关于 x轴、y 轴对称,
这时,坐标轴是椭圆的对称 轴 ,
y
原点是 椭圆的 对 称 中心 , P1（－x，y） P（x，y）
椭 圆的对称 中 心 叫做
注：a2 b2 c（2 a b 0, c 0) a、b、c中a最大
3.椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
的简单几何性质
(1)范围
x2 a2
1,
y2 b2
1得：x2
a2 ,
y2 b2
－a≤x≤a, －b≤y≤b
说明：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里
A1
－a F1
|AF1|2 8 (6-|AF1|)2
2|AF1| 2 |AF1|2 8
2
2
2 4|AF1|
|AF1|2 8 4|AF1|
解得|AF1|=
7 2
SAF1F2 =
21|AF1||F1F2|sin45
=
1 2
7 2
2
2
2 2
7 2
F2 x
考点三、椭圆的几何性质
椭圆的几何性质内容非常丰富，因此在高 考中对椭圆几何性质的考查也非常广泛，但是对其 离心率的考查是每年高考的热点.本考点对数形结合 思想要求较高，方法灵活，难度中等偏上，题型既 有选择题、填空题，也有解答题.
A.7 B.7
C.7
4
2
D.7 5
2
解析： a2 =9，b2 =7，a 3,c a2 b2 = 9 7= 2
|AF1|+|AF2|=2a=6，|F1F2|=2c=2 2
y
A
如图，在AF1F2中，
|AF2|2
=|AF1|2
+|F F |2 12
-2|AF1||F1F2|cos45
45
F1 O
即
*顶点：椭圆与它的对 称轴的四个交点，叫做 椭圆的顶点。
A1
(－a，0) F1
y
B2 (0，b)
b
a
(a，0)
A2
c
F2
o
B1 (0，－b)
*长轴：线段A1A2叫做椭圆的长轴，且长度为2a； 短轴：线段B1B2叫做椭圆的短轴，且长度为2b.
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
(4)椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)
2
答案：x2 y2 1
43
解析：设椭圆的标准方程为 x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
椭圆的一个焦点为F（1, 0），离心率为e= 1，
2
c 1
c a
1 2
b2 a2 c2
c 1 解得 a 2c 2
b2 a2 c2 4 1 3
所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1 43
c2 a2
三、实战演练
1.椭圆 C 中心在原点，焦点在 x 轴上，若离心率等于1，且它的一个
2
顶点恰好是抛物线 x2＝8 3y 的焦点，则椭圆 C 标准方程为_________ 2.已知 F1，F2 是椭圆 C：xa22＋yb22＝1(a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆 C
―→ ―→ 上的一点，且 PF1 ⊥ PF2 .若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝______
3.过椭圆 xa22＋yb22＝1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 于点 P，F2 为椭圆的右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离
心率为_______ 本节课到此结束
P(2， 3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
则椭圆的标准方程为________________． 答案：x2 y2 1
解析：设椭圆的标准方程为 x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
8
6
点P（2,
3）在椭圆上，
22 a2
（
3）2 b2
1
即4 a2
3 b2
1
常见的命题角度有： (1)求椭圆离心率的值(或范围)； (2)根据椭圆性质求参数的值(或范围).
例 3：从椭圆 x2＋y2＝1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦
a2 b2
点 F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，
且 AB∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( C ) y
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c（a c 0）
[1]离心率的取值范围：0<e<1
a
[2]离心率对椭圆形状的影响：b a2 c2
①e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁.
②e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越接近于圆.
③特例：当且仅当a=b时，c=0，则e=0，椭圆两个焦点重
例
2：椭圆
C：x2 ＋ y2 ＝1
25 16
左、右焦点分别为
F1，F2，过
F2
的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，则△F1AB 的周长为(C )
A.12 B.16 C.20 D.24 解析： a2 =25，a=5
y
A
由椭圆的定义可知
F1 O
|AF1|+|AF2|=2a=10， |BF1|+|BF2|=2a=10
一轮专题复习：椭圆及其性质
1.熟练掌握椭圆的定义及其几何性质，会求椭圆的 标准方程． 2.掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、 数形结合、转化与化归等． 3.体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决 几何问题．
1.考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题． 2.考查椭圆的方程及其几何性质． 3.考查直线与椭圆的位置关系．
二、典例分析
课 堂 考点 突 破
练透基点，研通难点，备考不留死角
考点一、椭圆的标准方程
高考对椭圆的标准方程的考查形式有两种： 一是根据题设条件求椭圆的标准方程；二是通过 椭圆的标准方程得出椭圆的基本量的数值，常以 选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答 题的第(1)问，难度适中.
考点一、椭圆的标准方程
例 1：若直线 x－2y＋2＝0 经过椭圆的一个焦点和一个
y
顶点，则该椭圆的标准方程为( C )
(0，1) B2
A.x2＋y2＝1
5
B.x2＋y2＝1
45
F1 O F2 x
C.x2＋y2＝1 或x2＋y2＝1
(-2，0) D.以上答案都不对
图1
5
45
解析：直线x-2y+2=0与坐标轴的交点为（0，1），（-2，0）
|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
|PF1|+|PF2|=2|F1F2|，即2a=2 2c，即a=2c
4 a2
3 b2
1
联立 a 2c
a2 b2 c2
解得 a2 =8，b2 =6 椭圆的标准方程为 x2 y2 1
86
考点二、椭圆的定义及其应用
高考对椭圆定义的考查形式主要有两种： 1.利用定义求椭圆的标准方程； 2.利用椭圆的定义结合正、余弦定理等知识解决焦 点三角形问题，通常以选择题或填空题的形式出现， 难度适中.
2, 3
解得k= 36 5
当0 k 4时，a2 k, b2 4, 此时e
1 k 2, 43
解得k= 20 9
椭圆的离心率为：e c a
c2 a2
a2 b2 a2
b2 答案：k= 36 或k= 20
1 a2
5
9
3.(教材习题改编)已知椭圆的一个焦点为 F(1，0)，离心率
为1，则椭圆的标准方程为________
一、基础知识梳理
取一条细绳，把绳的两端固定在定点F1和F2上，用笔 尖（M）拉紧绳子，使笔尖慢慢移动。
M
F1
F2
1.椭圆的定义
M
F1
F2
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于 常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。两 个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的 距离叫做椭圆的焦距。
2.椭圆的标准方程
焦点在x轴：
焦点在y轴：
y M
设|MF1|+|MF2| =2a |F1F2| =2c
y M F2
F1 O F2 x b2 a2 c2
O
x
F1
F1(－c，0)、F2(c，0)
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
F1(0，－c)、F2(0，c)
y2 a2
x2 b2
1
(a b 0)
x2 下的分母大 焦点在x轴上 y2 下的分母大 焦点在y轴上
轴长为b，a>b>0
轴长为b，a>b>0
e c a
e c a
a2=b2+c2
a2=b2+c2
过 基础 小 题
1.若方程
x2 5k
y2 k3
5－k>0，
1表示椭圆，则k的取值范围是 ______
答案：(3，4)∪(4，5)
解析：由已知得 k－3>0，
解得 3<k<5 且 k≠4
5－k≠k－3.
x2 a2
A. 2 B.1
C. 2
D. 3
4
2
2
2
P
B
A
解析：如图，设P（
c,
y 0
),
则
kOP
y 0
c
，kAB
b a
F1 O F2
x
AB
OP,
k OP
kAB.即
y 0
c
b a
y 0
bc a
点P（
c,
bc a
）在椭圆上，
(c)2 a2
（ bc ）2
a b2
1
即 c2 a2
b2c2 a2b2
1，即2
c2 a2
关于x轴、y轴成轴对称； 关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称 关于原点成中心对称
F1(－c，0)、F2(c，0) F1(0，－c)、F2(0，c)
A1(－a，0)、A2(a，0)、 A1(0，－a)、A2(0，a)、 B1(0，－b)、B2(0，b) B1(－b，0)、B2(b，0)
长半轴长为a，短半 长半轴长为a，短半
椭圆的中心 .
O
x
P2（－x，－y）
(3)椭圆的顶点
令x=0，得y=？说明椭圆与y轴的交点？
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
令x=0，得 y=±b，与y轴的交点为（0，b）和（0，－b）
令y=0，得x=？说明椭圆与x轴的交点？ 令y=0，得 x=±a， 与x轴的交点为（－a，0）和（a，0)
y2 b2
1
(a b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a b 0)
x2 下的分母大 焦点在x轴上 y2 下的分母大 焦点在y轴上
2.设 e 是椭圆 x2＋y2＝1 的离心率，且 e＝2，则实数 k 的值是________
4k
3
解析：当k 4时，a2 k, b2 4, 此时e
1 4 k
c2 a2
5k 4 95
解得k= 19 25

当9<4－k, 即k －5时， a2 =4－k，b2 =9
c2 =a2－b2 (4－k)－9 －5－k
此时椭圆的离心率为：e c a
c2 a2
5 k 4 4k 5
解得k=－21
k= 19 或k=－21 25
椭圆的离心率为：e c a