高等数学-习题答案-方明亮-第一章.

习题 1-1
1．求下列函数的自然定义域：
（1）；
解：依题意有，则函数定义域．
（2）；
解：依题意有，则函数定义域．
（3）；
解：依题意有，则函数定义域．
（4）；
解：依题意有，则函数定义域．
（5）
解：依题意有定义域．
（6）.
解：依题意有，则函数定义域．
2．已知定义域为，求
(的定义域．
解：因为定义域为，所以当时，得函数的定义域为
；
当时，得函数定义域为；
当时，得函数定义域为；
当时，得函数定义域为：（1）若，
；（2）若，；（3）若，．
3．设其中求函数值．
解：因为，则
，．
4．设，求与，并做出函数图形．解：，即，
，即，函数图形略．
5．设试证：
证明：，即，得证．
6．下列各组函数中，与是否是同一函数？为什么？
（1）；
不是，因为定义域和对应法则都不相同．
（2）；
是．
（3）；
不是，因为对应法则不同．
（4）；
不是，因为定义域不同．
7．确定下列函数在给定区间内的单调性：
（1），；
解：当时，函数单调递增，也是单调递增，则
在内也是递增的．
（2），．
解：，当时，函数单调递增，则
是单调递减的，故原函数是单调递减的．
8. 判定下列函数的奇偶性．
（1）；
解：因为，
所以是奇函数．
（2）；
解：因为，所以是偶函数．
（3）；
解：因为，，所以
既非奇函数，又非偶函数．
（4）.
解：因为，所以函数是偶函数．
9．设是定义在上的任意函数，证明：
（1）是偶函数，是奇函数；
（2）可表示成偶函数与奇函数之和的形式.
证明：（1）令，则
，所以是偶函数，是奇函数．
（2）任意函数，由（1）可知是偶函数，是奇函数，所以命题得证．
10．证明：函数在区间上有界的充分与必要条件是：函数在上既有上界又有下界.
证明：（必要性）若函数在区间上有界，则存在正数，使得，
都有成立，显然，即证得函数在区间上既有上界又有下界
（充分性）设函数在区间上既有上界，又有下界，即有
，取，则有，即函数在区间上有界．
11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期：
（1）；
周期函数，周期为．
（2）；
周期函数，周期为2．
（3）；
不是周期函数．
（4）.
周期函数，周期为．
12．求下列函数的反函数：
（1）；
解：依题意，，则，所以反函数为
．
（2）；
解：依题意，，则反函数．
（3）；
解：依题意，，所以反函数．
（4）．
解：依题意，，所以反函数．
13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值和的函数值：
（1）；
（2）．
解：（1）
（2），，．
14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为，高为．当倒进溶液后液面的高度为时，溶液的体积为．试把表示为的函数，并指出其定义区间．
解：依题意有，则．
15．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64元／吨计算．超过部分每吨以5倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系．并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用．
解：依题意有，所以
．
习题 1-2
1．设，
（1）求的值；
（2）求，使当时，不等式成立；
（3）求，使当时，不等式成立．
解：(1
．
（2）要使即，则只要取N＝
故当n>1110时，不等式成立．
（3）要使成立，取，那么当时，
成立.
2．根据数列极限的定义证明：
（1）；（2）．
解：（1），要使，只要取，所以，对任意，存在，当时，总有，则.
(2 ,要使, 即,只要取
,所以,对任意的>0,存在, 当, 总有, 则
.
3．若证明．并举例说明：如果数列有极限，但数列未必有极限．
证明: 因为, 所以, , 当时, 有.不妨假设a>0, 由收敛数列的保号性可知:, 当时, 有, 取, 则对, , 当时, 有.故. 同理可证
时, 成立.
反之,如果数列有极限, 但数列未必有极限.如：数列,
，显然, 但不存在．
4．设数列有界，又．证明：．
证明: 依题意,存在M>0, 对一切n都有，又, 对, 存在,
当时, , 因为对上述, 当时, ,由的任意性, 则．
5．设数列的一般项，求．
解: 因为, , 所以.
6．对于数列，若，，证明：．
证明: 由于, 所以, , , 当时，有, 同理, ,, 当时, 有．取=max, , 当
时, 成立, 故．
习题 1-3
1．当时，．问等于多少，使当时，？
解：令，则，要使
，
只要，所以取，使当时，成立．2．当时，．问等于多少，使当时，
？
解：要使<0.001, 只要, 即. 因此,只要就可以了,所以取．
3．根据函数极限的定义证明：
（1）；（2）；
（3）；（4）.
证明:(1 由于, 任给,要使,只要
．因此取,则当时, 总有,故．
(2 由于,任给, 要使,只要,即
或, 因为,所以, 取，则当时, 对
,总有,故有．
(3由于,任给,,要使,只要,因此取,则当时,总有,故.
(4 由于,任给,要使,只要,即
,因此取,则当x>M时,总有,故.
4．用或语言，写出下列各函数极限的定义：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
解: (1 , 当x<-M时, 总有;
(2 , 当, 总有;
(3 , 当时, 总有;
(4 当时, 总有．
5．证明:.
证明: 由于, ,所以.
6．证明：若及时，函数的极限都存在且都等于，则
．
证明: 由于,则对,,当时,有．又
,则,当,有.取那么对,当时,总有,故有.
习题 1-4
1．根据定义证明：
（1）为当时的无穷小；
（2）为当时的无穷小；
（3）为当时的无穷大．
证明:
(1 ,因为,取,则当时, 总有,故
．
(2 ,因为,取, 则当时, 总有
, 故.
(3 , ,当时,总有,所以
.
2．函数在内是否有界？该函数是否为时的无穷大？
解答: 取,则,因此当时, 故函数
当时,不是无穷大量．
下证该函数在内是无界的. ,且,
，取, ,有
，所以是无界的.
3．证明：函数在区间上无界，但这函数不是时的无穷大．
证明: 令,类似第2题可得．
习题 1-5
1．求下列极限：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）；（9）；（10）；
（11）；（12）；（13）；（14）；
（15）；（16）．解:
(1 = ．
(2 =
= ．
(3 =．
(4 =．
(5 ==．
(6 =．
(7 =
==．
(8 =．
(9 ==．
(10 ==
=．
(11 =．
(12
=
==．
(13 =．
(14 =．
(15 =．
2．设问当为何值时，极限存在．解：因为，所以，当
，即时，存在．
3．求当时，函数的极限．
解：因为
所以不存在。

4．已知，其中为常数，求和的值．
解：因为
，所以，则．5．计算下列极限：
（1）；（2）;
（3）；（4）．
6．试问函数在处的左、右极限是否存在？当
时，的极限是否存在？
解：，，因为，所以
．
习题 1-6
1．计算下列极限：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
解：（1）．（2）．
（3）．
（4）
．
2．计算下列极限：
（1）；(2 ；
（3）；（4）；
（5）；（6）为不等于零的常数）．
解：
．．
．
．．
3．利用极限存在准则证明：
（1）数列，，，的极限存在；
证明：先用数学归纳法证明数列单调递增。

由于。

假设成立，则，所以数列单调递增．下证有界性
，假设，则
，故，即数列有界
根据单调有界准则知存在．不妨设，则有，解得，（舍去），即有．
（2）；
证明：因为，又，所以．
(3 ；
证明：因为，
又，所以原式成立．
(4 ．
证明：对任一，有，则当时，有．于是
（1）当时，，由夹逼准则得．
（2）当时，，同样有．
习题 1-7
1．当时，与相比，哪一个是高阶无穷小？
解：因为，所以是比高阶无穷小．
2．证明：当时，．
证明：因为，又，则
，故．
3．利用等价无穷小的性质，求下列极限：
（1）为正整数）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；（8）；
（9）,其中,均为常数.
解：．
．
．
．
．
．
．
．．
．
４．当时，若与是等价无穷小，试求．
解：依题意有，因为
，，则
，故．
习题 1-8
1．研究下列函数的连续性：
（1）（2）
解答：（1）在和内连续，为跳跃间断点；
（2）在上处处不连续。

2．讨论下列函数的间断点，并指出其类型．如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续．
（1）；
解答：在和内连续，为跳跃间断点．
（2）
解：在上是连续的．
（3）；
解：在（，1），（1，2）和（2，）内连续，x=1为可去向断点，若令,则在x=1连续；x=2为第二类向断点．
（4）；
解：在（，0）和内连续，x=0为第二类向断点；
（5）；
解：在，（－1，0），（0，1）和内连续；x=是第二类
间断点；x=0是跳跃间断点；x=1是可去间断点，若令，则在x=1处连续．
（6）
解：在和内连续，x＝3为跳跃间断点．
3．讨论下列函数的连续性，若有间断点，判别其类型．
（1）；
解：为跳跃间断点；
（2）．
解：为跳跃间断点．
4．设函数试确定的值，使函数在处连续．
解：因为所以，依题意有=2.
5．设函数在点处连续，求和的值．
解：因为，依题意有
为任意实数．
6．试分别举出具有以下性质的函数的例子：
(1 是的所有间断点，且它们都是无穷间断
点，例如：；
(2 在上处处不连续，但在上处处连续；例如：
(3 在上处处有定义，但仅在一点连续，例如：
习题 1-9
1．研究下列函数的连续性：
（1）；
解答：因为在上是初等函数，所以在上连续．
（2）；
解答：显然当时，无意义，但，则是函数
的可去间断点．
（3）；
解答：当时，即时，连续．
２．求下列极限：
（1）；
解：
（2）；
解：
＝；
（3）；
解：
（4）；
解：；（5）；
解：；（6）；
解：
（7）；
解：
；
（8）；
解：；
（9）．
解：
；
3．设函数与在点连续，证明函数
，
在点也连续．
证明：略．
4．若函数在内连续，则和的关系是（）．
A．． B．． C．． D ．不能确定．
解答：因为依题意有
．
5．设且，求常数的值．
解：因为，则，所以
．
习题 1-10
1. 证明方程在内至少有一实根．
证明：令，则在上连续，又，
根据零点定理，在开区间内至少有一点使
，即在内至少有一实根．
2．证明方程有正实根．
证明：令，则在内连续，又，
，
根据零点定理，在内至少有一点，使，即
有正实根．
3．设函数对于闭区间上的任意两点、，恒有
，其中为正常数，且．证明：至少有一点，使得．
证明：任取，取，使，依题意有
，则，即，由的任意性，可知在内连续，同理可证在点右连续，点左连续，那么，在上连续。

而且，根据零点定理，至少有一点，使得．
4．若在上连续，，则在内至少有一点
，使．
证明：因为在上连续，所以在上有最小值，最大值，使得,，，，因此
，
由介值定理得，在内至少有一点，使.
５．若在上连续，，且．试证至少
存在一点使得．
证明：因为在上连续，所以在上有最小值，最大值，使得,，，，那么，
，，即，又，故
，由介值定理可知，至少存在一点使得
．
6．证明：若在内连续，且存在，则必在
内有界．
证明：因为存在，则必有，使得当时，对任意的，有，因此，在区间及区间上有界，即当
，存在，有，同时，在上连续，有由有界性定理知，存在，当，取，则当
时，总有，即在内有界．
复习题A
1.设, , 求及其定义域.
解: , 其定义域为且,
即;.
,其定义域为
.
2.求函数的反函数.
解: 因, 所以,
3．单项选择题
(1下列各式中正确的是（）
A．；B．；
C．； D．．
(2当时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小（）．
A．；B．；
C．；D．．
(3极限为（）
A．；B．；C．； D．不存在但不为．
(4 若当时，和都是无穷小，则当时，下列表达式中哪一个不一定是无穷小（）．
A．；B．和；
C．； D．．
(5 设适合，则以下结果正确的是（）．
A．；B．可取任意实数；
C．可取任意实数；D．都可取任意实数．
解答：
(1 A; (2 D; (3 D: (4 D; (5 C．
4.求下列极限:
(1 ;
(2 ;
(3 ;
=;
(4 ;
(5
(6
=;
(7
(8
(9
(10 ．
5．设当时，是比高阶的无穷小．证明：当时，
与是等价无穷小．
证明: 由已知得则即
是等价无穷小．
6．已知，求常数与的值．
解：因为，所以，则
，
．
7.设并求此极限．
证明：用数学归纳法证明此数列的单调性．因为及，可
知假设则，所以单调递减，又显然，即有下界，由单调有界准则知存在极限，设，
两边取极限，有A=，解之得A=3或A=（舍去），即得
=3．
8.确定常数a与b的值，使得函数=处处连续．
解：当时，=和当时，=，显然它们都是连续
的，又f（x）==3， f（x）===，当
时，=a,要使f（x）在x=0点也连续，则=3=a,即a=3,b=ln3．
9.求下列函数的间断点，并判断其类型．
（1）=；
解：因为==，==，又时，
连续，所以只有x=0为间断点，x=0为跳跃间断点．
（2）=；
解：当tanx=0时，有x=0或x=n（n=1,2,…）因为
=1，所以x=0为可去间断点．又=（n=1,2,…），所以（n=1,2,…）为无穷间断点．当（n=1,2,…）时，
=0，所以（n=1,2,…）是可去间断点．
（3）；
解：=，因f（x）=0，=1，所以x=0为跳跃间断点．
复习题B
1．单项选择题
（1）当时，下列无穷小量中与不等价的是（）．
A．． B．． C．． D．．
（2）下列极限不存在的是（）．
A．． B．． C．． D．
．
（3）极限（）等于．
A．． B．． C．． D．．
（4）设，数列，如果，则的值为（）．
A．． B．． C．． D．
．
（5）已知，其中与为常数．则（）．
A．，． B．，． C．，． D．，
．
（6）设函数，则（）．
A．有无穷多个第一类间断点． B．只有个可去间断点．
C．有个跳跃间断点． D．有个可去间断点．
解答：
（1）D;（2）C;（3）B;（4）B;（5）C;（6）D（提示：x=0，1为可去间断点
）
2．填空题
（1）设函数的定义域是，则的定义域是_________．
（2）计算=_________．
（3）设，则=_________，．
（4）设时，与是同阶无穷小，则．
（5）设，则，．
（6）在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入空格内：数列有界是数列收敛的条件；函数的极限存在是
在的某一去心邻域内有界的条件；函数在的某一去心邻域
内无界是的条件；函数在左连续且右连续是在
连续的条件．
答案：（1）；（2）1；（3）a=1；b为任意实数；（4）;（5）0，0；（6）必要，充分，必要，充要．
（2）题解答过程：=
====1．
（3）题解答过程：
因为=，所以，a=1，b为任意实数．
（4）题解答过程：
因为====c（常数），所以u=．
（5）题解答过程：因为=，所以=(其中为当x
时的无穷小量，那么=，=，故=0，
=0．
3．求下列极限：
（1）；（2）；
（3）．；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；
（9）；（10）．解答：
（1）
（2）．
（3）
==．
（4）=．
（5）
=．
（6），
其中|2|2，即2是有界量，，故
．
（7）因为，又，所以．（8）因为，
，所以，．（9）
.
（10）
.
4．已知函数，试确定的间断点及其类型．
解：因为，
所以，
因此，均为可去间断点。

5．设函数求，使在处连续．
解：因为，
，要使在处连续，则，解得，.
6．求证方程在区间上至少有一个根．
证明：令，显然在上连续，又，
，由零点定理可知，在内至少有一个零点，即方程
在内至少有一个根.
7．设，任取，令（其中）．证明数列收敛．并求极限．
证明：首先证明是单调的，（1）若，则，即单调递增有上界。

（2）若，则，即
单调递减有上界，综（1）（2）知数列有极限存在；令，则，解之得或（舍去），即.
8．成本—效益模型从某工厂的污水池清除污染物的百分比与费用是由下列模型给出：
．
如果费用允许无限增长，试求出可被清除污染物的百分比．实际上，可以完全清除污染吗？
解：所以如果费用C允许无限增长，可被清除污染物的百分比为100%，实际上是不可能完全清除污染的.
第一章习题答案
习题 1-1
1．（1）且；（2）；（3）；（4）且
；（5）；（6）且.
2．函数的定义域为；函数的定义域为；函
数的定义域为；函数的定义域为：（1）若
；（2）若；（3）若.
3．，
4．．
6．（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）不是.
7．（1）当，函数是单调增加的；（2）当，函数是单调减少的.
8．（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既非奇函数又非偶函数；（4）偶函数. 11．（1）周期函数，周期为；（2）周期函数，周期为2；
（3）不是周期函数；（4）周期函数，周期为.
12．（1），；
（2）,；
（3）；
（4），.
13．（１）；
（２）．
14．．
15．．元；元；
元．
习题 1-2
1．；；．
5．．
习题 1-3
1．．提示：因为，所以不妨设．
2．．
2．函数在内无界，但当时，此函数不是无穷大．
习题 1-5
1．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）
；（16）．
２．.
３．因为即，所以，当时，函数
的极限不存在．
４．．
5．（1）；（2）；（3）；（4）．
6．因为，所以，．
习题 1-６
１．（1）；（2）；（3）；（4）．
２．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
习题 1-7
1．．
３．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．
（9）．
习题 1-8
１．（1）在和内连续，为跳跃间断点；（2），解之得，，.
（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：，所以，.
（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：
（3）
10 、求平面与的夹角；
解：设与的夹角为
（4）在和内连续，为第二类间断点；
（5）
解和内连续，是第二类间断点；是跳跃间断点；习题 6—6
1、求下列各直线的方程：
（1）通过点和点的直线；
（2）过点为跳跃间断点；
（2）和3）通过点
４．．
５．
（4）一直线过点，且和轴垂直相交，求其方程.
（5）通过点且与两直线和垂直的直线；
（
１．（1）在垂直的直线.
解：（1）所求的直线方程为：内连续，.
（2）依题意，可取的方向向量为，则直线的方程为）；（23）所求直线的方向向量为：，故直线方程为：
.
；（5）；（6）取所求直线方程
；（8）；(9 .
3．6）所求直线的方向向量为：，所以直线方程为：
习题 1-10
3．提示：证明在上连续．
4．,取解、分别为在
上的最小值和最大值．
复习题A
1．，｛且｝；
、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.
（1）2．
3．（1）；（2）；（3）；（4）与点（7，2，．
4．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；
（10）．
6．，．
7．，，为任意实数．
8．提示：用数学归纳法证明单调递增，且．
9．当，时，处处连续．
10．（1）为跳跃间断点；
（2）为可去间断点：为无穷间断点；
（3）为跳跃间断点．
复习题B
１．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
２．（1）；（2）；（3）为任意实数；（4）；（5），
；（6）必要，充分，必要，充要．
３．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．
４．间断点为和，均属于可去间断点．
５．．
７．．
８．，实际上是不可能完全清除污染的．
９．．。