连续型随机变量的函数的分布 知乎

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连续型随机变量的函数的分布是指，对于连续型随机变量X，其函数g(X)的取值分布。

具体来说，假设X的概率密度函数为f(x)，g 为一个可求导函数，则g(X)的概率密度函数为：
h(y) = f(g^{-1}(y)) |g^{-1}(y)|
其中，g^{-1}(y)表示g的反函数，|g^{-1}(y)|表示其导数的绝对值。

这个公式其实可以理解为，h(y)表示g(X)=y的概率密度，即在y处的概率密度，而g^{-1}(y)则表示X=g^{-1}(y)的取值，所以
f(g^{-1}(y))表示X取g^{-1}(y)处的概率密度，而|g^{-1}(y)|则表示g^{-1}(y)的导数绝对值，表示了X在该点的密度与y点的密度之间的比例关系。

需要注意的是，由于g的取值范围可能不同于X，所以在计算h(y)时需要对g^{-1}(y)的取值范围进行限制。

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