四川省泸州市2017届高三四诊临考冲刺模拟数学理试题 含答案 精品

四川省泸州市2017届高三四诊（临考冲刺模拟）
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合}02|{2<-+=x x x M ，}01|{<+=x x N ，则=N M ( )
A ．)1,1(-
B ．)1,2(--
C ．)1,2(-
D ．)2,1(
2.已知复数z 满足i z i 2)1(=+（i 是虚数单位），则=||z （ ）
A ．2
2 B ．21 C ．2 D ．2 3.“b
a )31()31(<”是“
b a 22log log >”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停（每次上涨%10）又经历了3次跌停（每次下降%10），则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ）
A ．略有盈利
B ．无法判断盈亏情况 C. 没有盈也没有亏损 D ．略有亏损 5.双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
x a y 的离心率为10，则其渐近线方程为（ ） A ．x y 3±= B ．x y 21±
= C ．x y 2±= D ．x y 31±= 6.已知41)3sin(=
-απ，则=+)23
cos(απ（ ） A ．85 B ．87- C. 85- D ．87 7.《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中一个问题的解答可以用如图的算法来实现，若输入的T S ,的值分别为40,126，则输出b a ,的值分别为（ ）
A ．17,23
B ．21,21 C. 19,23 D ．20,20
8.已知函数)(cos sin )(R x x b x a x f ∈+=，若0x x =是函数)(x f 的一条对称轴，且3tan 0=x ，则点),(b a 所在的直线为（ ）
A ．03=-y x
B ．03=+y x
C ．03=-y x
D ．03=+y x
9.正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱AB 的中点，过E 作此正四面体的外接球的截面，则该截面面积的最小值是（ ）
A ．π4
B ．π8 C. π12 D ．π16
10.某几何体的正视图和侧视图如图（1）所示，它的俯视图的直观图是'''C B A ，如图（2）所示，其中2''''==B O A O ，3''=C O ，则该几何体的表面积为（ ）
A ．31236+
B ．3824+ C. 31224+ D ．3836+
11.过抛物线C ：)0(22>=p px y 焦点F 作斜率为3
4的直线l 与C 及其准线分别相交于
D B A ,,三点，则
||||BD AD 的值为（ ） A ．2或21 B ．3或31 C. 1 D ．4或4
1 12.已知函数x
x x f )2ln()(=，关于x 的不等式0)()(2>+x af x f 只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．]6ln 31
,2ln (-- B ．]36ln ,1(--e C. )2ln ,6ln 3
1[ D ．)2,36ln [e 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量)1,(λ=，)1,2(+=λ，若||||-=+，则实数λ的值为 ．
14. 若n
x x )1
(2-展开式的二项式系数之和为128，则其展开式中2x 的系数为 .（用具体数字作答）
15.当实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥≥2200y x y x 时，01≥+++a y ax 恒成立，则实数a 的取值范
围是 ．
16.在等腰ABC ∆中，AC AB =，AC 边上的中线BD 长为6，则当ABC ∆的面积取得最大值时，AB 长为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列.
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设1
2+=n n n
n S S b ，求数列}{n b 的前n 项和n T . 18.某市对创“市级示范性学校”的甲、乙两所学校进行复查验收，对办学的社会满意度一项评价随机访问了20为市民，这20位市民对这两所学校的评分（评分越高表明市民的评价越好）的数据如下：
甲校：58,66,71,58,67,72,82,92,83,86,67,59,86,72,78,59,68,69,73,81；
乙校：90,80,73,65,67,69,81,85,82,88,89,86,86,78,98,95,96,91,76,69,.
检查组将成绩分成了四个等级：成绩在区间]100,85[的为A 等，在区间)85,70[的为B 等，在区间)70,60[的为C 等，在区间)60,0[为D 等.
（1）请用茎叶图表示上面的数据，并通过观察茎叶图，对两所学校办学的社会满意度进行比较，写出两个统计结论；
（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求乙校得分的等级高于甲校得分的等级的概率.
19.如图，平面⊥ABCD 平面BCF ，四边形ABCD 是菱形， 90=∠BCF .
（1）求证：DF BF =；
（2）若 60=∠BCD ，且直线DF 与平面BCF 所成角为 45，求二面角C AF B --的平
面角的余弦值.
20.已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的一个焦点与x y 342=的焦点重合，点)21,3(在椭圆C 上.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l ：m kx y +=（0≠k ）与椭圆C 交于Q P ,两点，且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为)0,1(-，求OPQ ∆面积的最大值（O 为坐标原点）.
21.设函数x e x f x sin )(+=（e 为自然对数的底数），ax x g =)(，)()()(x g x f x F -=.
（1）若0=x 是)(x F 的极值点，且直线)0(≥=t t x 分别与函数)(x f 和)(x g 的图象交于Q P ,，求Q P ,两点间的最短距离；
（2）若0≥x 时，函数)(x F y =的图象恒在)(x F y -=的图象上方，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程⎩⎨
⎧=+=ϕϕsin cos 1y x （ϕ为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）设直线l 的极坐标方程是33)3sin(2=+π
θρ，射线)0(03≥=-x y x 与圆C 的交
点为P O ,，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.
23.选修4-5：不等式选讲 设函数)0(|||4|)(>++-=a a x a
x x f （1）证明：4)(≥x f ；
（2）若5)2(<f ，求a 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5： BCBDD 6-10：BACAC 11、12：DA
二、填空题
13．1-； 14．35； 15．),2
1
[+∞-； 16．54．[来源：] 三、解答题
17.（1）因为12a a S n n -=，所以)2(1≥-=-n S S a n n n ，即12-=n n a a （2≥n ），即数列}{n a 是以2为公比的等比数列，又321,1,a a a +成等差数列，所以)1(2231+=+a a a ，即)12(24111+=+a a a ，解得21=a ，所以数列}{n a 的通项公式为n n a 2=.
（2）由（1）得221-=+n n S ，所以)
12)(12(42)22)(22(221211--=--==++++n n n
n n n n n n n S S b )1
21121(411---=+n n ， )1
211(41)]121121()121121()121121[(4111322--=---++---+---=++n n n n T . 18、解：（1）①甲校得分的中位数为71.5，众数为58,59,67,72,86，乙校得分的中位数为83.5，众数为69和86，甲校得分的中位数小于乙校得分的中位数，甲校得分的众数大多数不大于乙校得分的众数；
②甲校得分的平均数小于乙校得分的平均数； ③甲校得分有20
19居于90~50内，而乙校得分全部居于90~60内，对乙校的评分要高于甲校；
④甲校得分的方差大于乙校的方差，说明对乙校的评分较集中，满意度较高，对甲校的评分较分散，满意度较低
.
（2）记事件A 为：乙校A 等，甲校B 等或C 等或D 等；
事件B 为：乙校B 等，甲校C 等或D 等；
事件C 为：乙校C 等，甲校D 等三种情况，则事件“乙校得分的等级高于甲校得分的等级”为C B A ，又因为事件C B A ,,两两互斥， 故6.020
420420920620172010)()()()(=⨯+⨯+⨯=++=C P B P A P C B A P ， 即乙校得分的等级高于甲校得分的等级的概率为0.6.
19、解：(1)连接OF AC ,，设O BD AC = ，因为平面⊥ABCD 平面BCF ，且交线为BC ，
因为 90=∠BCF ，所以⊥CF 平面ABCD ，⊂CF 平面BCF ，所以平面⊥BCF 平面
ABCD ，四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，所以⊥BD 平面BCF ，所以OF BD ⊥，又DO BO =，所以DF BF =.
(2)解法一：过点D 作BC DG ⊥于点G ，连接GF ，因为平面⊥ABCD 平面BCF ，即
直线DF 与平面BCF 所成角为 45=∠DFG ，不妨设2=BC ，则3=DG ，过点G 在
BCF 内作CF 的平行线GH ，则⊥GH 平面ABCD ，以点G 为原点，分别以GD GC GH ,,所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，因为 45=∠DFG ，所以2,3==CF GF ，则)0,0,2(),0,1,0(),0,1,0(),3,2,0(F C B A --， 所以)0,0,2(),0,2,2(),3,3,2(==-=， 设平面ABF 的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+0220332y x z y x ，取)3
3,1,2(--=， 同理可得平面AFC 的法向量为)3,1,0(=， 所以10
30231122
||||,cos -=⨯++-=>=<n m ，因为二面角C AF B --是锐角，所以其余弦值为10
30.
解法二：过点O 作AF OE ⊥于点E ，连接BE ，因为平面⊥ABCD 平面ACF ，又BD AC ⊥，所以⊥BD 平面ACF ，所以AF BD ⊥，即⊥AF 平面BOE ，所以AF BE ⊥，即BEO ∠是二面角C AF B --的平面角，过点D 作BC DG ⊥于点G ，连接GF ，所以⊥DG 平面BCF ，即直线DF 与平面BCF 所成角为 45=∠DFG ，不妨设2=BC ，则14,2,3====AF CF GF DG ，因为AEO ∆∽AFC ∆，所以73=OE ，又1=OB ，所以7
10=BE ，所以1030cos ==∠BE OE BEO ，所以二面角C AF B --的余弦值为10
30. 20、解：（Ⅰ）抛物线x y 342=的焦点为)0,3(，故得3=c ，所以322+=b a ，因点
)2
1,3(在椭圆C 上，所以141322=+b a ，解得1,422==b a ，所以椭圆C 的方程为14
22
=+y x ； （2）设),(),,(2211y x Q y x P 的中点为),(00y x ，将直线m kx y +=（0≠k ）代入14
22
=+y x ，得0448)41(222=-+++m km x x k ，所以0)41(1622>-+=∆m k ，则2210414)(21k km x x x +-=+=，2
21041)(21k m y y y +-=+=，因为)0,1(-是以PQ 为对角线的菱形的一顶点，且不在椭圆上，所以k
x y 11000-=+-，即2413k km +=，解得512>k ，设O 到直线的距离为21k m
d +=，则
⨯+⨯==2121||21k m PQ d S 42222211209241)41(161k k k m k k -+=+-+⋅+，当2112=k ，即2±=k 时，三角形面积最大为1. 21、（Ⅰ）因为ax x e x F x -+=sin )(，所以a x e x F x -+=cos )('，因为0=x 是)(x F 的极值点，所以011)0('=-+=a F ，2=a .
又当2=a 时，若0<x ，0211cos )('=-+<-+=a x e x F x ，所以)('x F 在),0(+∞上为增函数，所以0211)0(')('=-+=>F x F ，所以0=x 是)(x F 的极小值点，所以2=a 符合题意，所以t t e PQ t 2sin ||-+=.令x x e x h x 2sin )(-+=，即2c os )('-+=x e x h x ，因为x e x h x sin )(''-=，当0>x 时，1>x
e ，1sin 1≤≤-x ，所以0sin )(''>-=x e x h x ，所以2cos )('-+=x e x h x 在),0(+∞上递增，所以0)0('2cos )('=>-+=h x e x h x
，∴),0[+∞∈x 时，)(x h 的最小值为1)0(=h ，所以1||min =PQ .
（Ⅱ）令ax x e e x F x F x x x 2sin 2)()()(-+-=--=-ϕ，
则a x e e x x x 2cos 2)('-+-=-ϕ，x e e x x S x x sin 2)('')(--==-ϕ，因为0cos 2)('≥-+=-x e e x S x x 当0≥x 时恒成立，所以函数)(x S 在),0[+∞上单调递增，∴0)0()(=≥S x S 当),0[+∞∈x 时恒成立；
故函数)('x ϕ在),0[+∞上单调递增，所以a x 24)0(')('-=≥ϕϕ在),0[+∞∈x 时恒成立.
当2≤a 时，0)('≥x ϕ，)(x ϕ在),0[+∞单调递增，即0)0()(=≥ϕϕx .
故2≤a 时)()(x F x F -≥恒成立.
当2>a 时，因为)('x ϕ在),0[+∞单调递增，所以总存在),0(0+∞∈x ，使)(x ϕ在区间),0[0x 上0)('<x ϕ，导致)(x ϕ在区间),0[0x 上单调递减，而0)0(=ϕ，所以当),0[0x x ∈时，0)(<x ϕ，这与0)()(≥--x F x F 对),0[+∞∈x 恒成立矛盾，所以2>a 不符合题意，故符合条件的a 的取值范围是]2,(-∞.
22、解：(1)因为⎩⎨⎧=+=ϕ
ϕsin cos 1y x ，消参得：1)1(22=+-y x ，把θρθρsin ,cos ==y x 代入得1)sin ()1cos (22=+-θρθρ，所以圆C 的极坐标方程为θρcos 2=；
(2)射线)0(03≥=-x y x 的极坐标方程是3
πθ=，设点),(11θρP ，则有： ⎪⎩⎪⎨⎧==3cos 2111πθθρ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3111πθρ，设点),(22θρQ ，则有：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==+333)3(sin 2222πθπθρ，解得⎪⎩
⎪⎨⎧==3322πθρ， 由于21θθ=，所以2||||21=-=ρρPQ ，所以线段PQ 的长为2.
23解：（Ⅰ）
4|||4|2|||4||4||)()4(||||4|)(=⋅≥+=+=+--≥++-=a a
a a a a a x a x a x a x x f ； （Ⅱ）当2=a 时，5|2||42|<++-a a
显然满足； （1）当20≤<a 时，不等式化为54<+
a
a ，即0452<+-a a ，所以41<<a ，联立求解得21≤<a ； （2）当2>a 时，不等式化为042<--a a ，解得21712171+<<-a ，
联立求解得2
1712+<<a ， 综上，a 的取值范围为)2171,
2(+.。