福建省莆田市第二十四中学八年级数学上册_运用平方差公式分解因式 教案

课题：运用平方差公式分解因式
教材分析
本课是人教版数学八年级上册第十四章第三节内容，是学生已经学过“整式乘法的平方差公式”“因式分解定义”“提公因式分解因式”“幂的运算公式及其逆用”等内容，经历了实际问题符号化、式子符号化的过程，具有较好的符号感；经历了探究公式的由来、公式的结构，理解并学会应用公式的过程。

运用平方差公式分解因式是学生学习的第一个乘法公式平方差公式的相反方向的恒等变形，第一次学习将具有特殊形式的多项式分解为积的形式运算，第一次发现可以将因式通过分解进行降次，第一次明白因式要分解彻底。

因此，如何让学生正确认识公式的变形、公式的结构，通过观察分析提高运算能力，具有奠基和示范启迪作用，为以后数学公式的恒等变形学习提供可以类比的方法；达到培养学生的逆向思维的作用。

教学目标
主要指知识、方法、能力（侧重）等目标的确定。

知识：学生已经学过“整式乘法的平方差公式”“因式分解定义”“提公因式分解因式”“幂的运算公式及其逆用”等知识，通过相反方向的恒等变形让学生感悟到可以将特殊形式的多项式进行因式分解，对于它的学习和研究，不仅第一次学习了乘法公式的逆用、多了一种因式分解的方法，而且为今后学习分式运算、根式运算，解一元二次方程、二次函数等内容奠定了基础，同时也为运用完全平方公式因式分解学习提供了方法。

能力：学生已经学习了整式的乘法，会根据法则和运算律进行整式的加减乘运算，特别是学习了第一个乘法公式――平方差公式，明确了特殊形式的两个多项式的乘法；学习了幂的运算公式及其逆用，初步认识公式的恒等变形，认识到等式的相反方向的变形仍然可以用于运算，初步感受运算与逻辑思维有机组合，在实施运算过程中能使运算符合算理、合理简洁。

运用平方差公式分解因式的学习，学生对运算与逻辑思维特别是逆向思维有机组合有进一步认识，公式的结构为分析运算条件提供另一种选择，其学习运算能力的过程是归纳与推理的过程。

程序的提炼是归纳过程，即归纳出分解因式先提公因式，再看能否用公式；程序的运用是演绎的过程，即形成技能过程。

运算技能与逻辑思维有机结合能提高学生运算能力。

思想：平方差公式的相反方向的变形渗透了类比思想；运用公式进行分解时“整体”、“换元”方法，体现化归思想。

教学策略
“发现——认识——应用”
本节课采用“问题探究式”教学，以问题方式引入、进行数据变化，让学生在分析运算条件，探究运算方向中发现平方差公式的相反方向的变形可以转化为积的形式，从而发现因式分解的另一个方法——公式法,并能够在关注公式结构特点．本节课用二个活动让学生熟悉公式的结构特征，即弄清算理；两个练习用于突破运用公式的重难点，即能否用公式，怎样用公式，即正确运用法则解决问题；二个例题巩固公式并提升因式分解的方法，即寻求合理简洁的运算途径解决问题；成效评价三题分别侧重从运算的算理及寻求合理简捷运算途径方面进行检测．最后的数学思考是将本节课的探索方法和思想进行迁移．
教学过程
一、新知学习
问题1：
已知1,5=-=+b a b a ，则22b a -＝ ． 已知23
1,23=-=+b a b a ，则22b a -＝ ． 设置问题串，引导学生思考：
⑴请说出解题思路．(怎么想，分析运算条件)
⑵你在解本题时用到什么知识？(运算核心，算理)
⑶还有其他解题方法吗？为什么要这样做？(选择运算方向，运算灵活性)
⑷为什么你没想到？(寻求合理简洁运算途径，执果索因)
[设计意图]
按“最邻近发展区”的要求, 激发学生学习新教学点的兴趣，建立运算能力导向。

学生从运算的目标出发，会产生“怎么算”的思考，有两个解决问题方式，一种是从题目中的两个条件出发，求出a 、b 的值 ，学生从已有的经验入手，可以用合情推理得出a 、b 的值或将条件中的两个式子联立组成方程组，得到a 、b 的值 ；将题目中的数字更换为23与23分之一，加大运算复杂性，有些学生就会想这两个式子与结论是什么关系，是否不用算出a 、b 的值就能得出结果，得到另一种解法，即平方差公式相反方向的变形。

“为什么没想到”让学生明白要理解公式的结构特征，才能灵活运用。

学会发现更重要。

问题引入方式的教学让学生明白学“有用的数学”，解决学生学习的困惑即“为什么学”。

二、自主探究
问题2：请同学们思考：多项式a 2-b 2有什么特点？类比整式乘法的平方差公式，你能将a 2-b 2分解因式并用一句话表述你的发现吗？
22))((b a b a b a -=-+ ))((22b a b a b a -+=-
[设计意图] 从特殊例子到一般规律，从发现到确定．通过符号语言与文字语言的类比，让学生明白两点：一是整式的乘法与因式分解是方向相反的变形；二是两个数的平方差可以分解因式，即分解为这两个数的和与这两个数的差的积．通过自主探究，学生更加深入理解公式的结构特征．这是培养运算能力第一步，也就是弄清算理．
问题3：公式左边的数有什么特点？
公式左边的特点：
(1)多项式是二项式
(2)每一项都可以写成平方的形式
(3)两项的符号相反：一正一负
[设计意图]关注数学公式结构特点的发现过程，是提升学生运用公式进行运算的过程．这是本节课的重点，即判断能否用公式．充分认识公式即加强运算的算理(运用公式正确运算)．
练习1：下列各式不能用平方差公式分解因式的是( )
A. 22y x +-
B.)(22y x --
C. 22n m --
D.9
142-m [设计意图]加深对公式的理解，能否用平方差公式分解因式的判断步骤是：(1)确定多项式是二项式； (2)确定每一项都可以写成平方的形式； (3)确定两数平方是否相减，两项的符号相反：一正一负．强化算法．
三、合作提升
活动1：
问题：(1)公式右边的数有什么特点？
(2)公式中的字母a 、b 可以表示什么？
(3)请举出一个用平方差公式分解因式的例子，并指出多项式中哪一个数相当于公式中的a,哪一个数相当于公式中的b?小组成员判断对错
[设计意图]在学生已经学习了平方差公式和完全平方公式的基础上，通过举例判断对错，增强小组互帮互学，在活动中充分体会字母a,b 在公式结构中的位置和表示的数的含义，充分认识公式即加强运算的算理(运用公式正确运算)．
练习2：填空并说说式子中的哪些数相当于公式中的a 和b.
()()
()()()()22242222
2223616
9254-=--=--=-b a c m x [设计意图] 通过幂的乘方的逆运算，突破公式理解中的重难点，转化为两数平方差，找出两数．这是运用平方差公式进行技能训练重要一步．
说一说公式的特点：
公式右边特点：
两数的和与两数的差的积
关键是找出式子中的a,b
[设计意图] 从符号语言到文字语言再到形象化符号语言，建立符号意识有助于学生更好理解公式的结构．有助于学生提高对算理的理解．
四、引导发展
例1 分解因式：
(1)162-x (2)2
249n m - (3)22)()(q x p x +-+
[设计意图]形象化的对照，渗透类比的思想，也增强学生根据公式正确地进行运算的能力．平方差公式分解因式步骤是：(1)写出平方数；(2)比照公式代换两数。

关键是找出两数。

换元，整体方法也渗透化归思想．技能训练，学生通过观察分析转化就可进行运算．
练习3：分解因式 22216
925)3(1
4)1(n m x -- 422
4)4(49)2(b a t -+- [设计意图]公式简单应用，技能训练．通过5道练习题，让学生再次明白能否用公式，哪一个数相当于公式中的a,哪一个数相当于公式中的b ；进行程序化训练：是否平方差(一正一负)，转化成哪两个数的平方的差，分解成的哪两数和及这两数差的积．通过变换系数，指数，字母让学生对公式的使用更加熟练．程序的提炼是归纳过程，程序的运用是演绎的过程，即形成技能过程．第(4)题学生分析运算条件，探求运算方向，发现直接计算不简洁，若将两数平方运算降次为两数和差运算会使运算更加合理简洁．让学生明白运用平方差公式可以达到降次的目的，参透高次方程的解法－－降次．
活动2：找寻过去和未来游戏：
从前面学习的乘法公式中，同学们知道公式中的a ，b 可以是单独的数字、字母，也可以是单项式、多项式，请往( )2-( )2括号里填上适当的数或式，并写出这个式子的右边，即分解后的结果；尝试写出左边看看它是怎样的式子．每个同学写出三个式子并在小组中交流．
[设计意图] 将公式中的字母进行具体化，即对一般化的结构存在同样的规律，让学生学会从一般到特殊的探索方法，并理解算理和算法，提高运算能力．从学生在括号里填的不同情况可以有所感悟，起到从技能到能力的转化的作用．
例题2：计算
)10
11()411)(311)(211)(2(242758)1(22222
2----- 516000
)
242758)(242758(242758)1(2
2=-+=-解：
201110
11211011109454334322321)10
11)(1011()411)(411)(311)(311)(211)(21-(1)2(=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+-+-+-+ 原式＝ [设计意图]活动3的延续，运算技能加逻辑思维，即当通过直接平方运算比较繁难时，要求学生能寻求合理简洁的运算途径解决问题．尝试运用平方差公式进行计算，将两数平方运算降次为两数和差运算．让学生明白运用平方差公式可以达到降次的目的，参透高次方程的解法－－降次．
例题3：分解因式
(1) a 3b-ab (2) x 4 –y 4
[设计意图] 运算能力是运算技能与思维能力的结合．运算技能解决不了，不能用平方差公式怎么办？遇到两项无法写成两数的平方的差的形式，应先观察式子，发现有公因式，先提公因式，再转化运用公式；分解因式必须到不能继续分解为止．
五、成效评价
下列因式分解正确的是（ ）
A.a 2-9b 2=(a+9b)(a-9b) B .(x-3)2-y2=x 2-6x+9-y 2
C.a3-a=a(a2-1)
D.-9+4y2=(3+2y)(2y-3)
[设计意图］本题测试的核心内容是数与代数；认知维度是掌握；知识要素：因式分解的定义，运用平方差公式分解因式，分解彻底；子技能：会根据定义判断是否将因式分解了，会根据平方差公式判断能否用公式及能用公式,会确定公式中的a,b，能判断是否分解彻底，考查运算能力中的算理；正确选项为Ｄ．
已知a+b=2,求a2-b2+4b的值
[设计意图]在实施运算分析和解决问题的过程中，培养运用由因导果，执果索因的推理模式，有效探索运算的条件与结论，已知与未知的相互联系及相互转化．由因导果将已知条件化为a=2-b，代入用消元的方法即可得到结果；执果索因将a2-b2分解，代入合并即可得到结果．[2014厦门]设a＝192×918，b＝8882－302，c＝10532－7472，则数a，b，c，按从小到大的顺序排列，结果是＜＜．
[设计意图]本题数据较大，考查学生理解运算的算理，如求b,c要用平方差公式分解；也考查学生寻求合理简洁的运算途径解决问题，从运算的目标出发，即比较a,b,c的大小，极少学生选择算出值再比大小，分析运算条件(数大不好算)，探究运算方向(化为两个数的积再做比较)，选择运算方法(b,c要用公式求，a要算出192)，设计运算程序(化为两数积，比较，再转化为一数相同)．问1：今天我们主要学习了哪种因式分解方法？
（运用平方差公式分解因式）
问2：平方差公式主要是用什么方法来证明的？（图形面积）
问3：谈谈你对平方差公式特征的认识？
问4：用平方差公式分解因式的核心是实现怎样转化？
①关键是分解的多项式能看成两数的平方差能写成( )2-( )2
②□2－△2＝(□＋△)(□－△)
问5：总结本节课的学习，多项式需按什么顺序分解，要注意什么？(先看有无公因式，再看能否用公式，分解彻底)
问6：在运算过程中，不仅要会根据公式进行正确计算，还要会寻找与设计合理简捷的运算途径，在解题中如何体现呢？
（由因导果，执果索因）
六、课后反馈
校本作业一张
数学思考：
本节课平方差公式相反方向的变形的认识过程和方法有什么推广价值？
[设计意图]探究方法和能力迁移，为学习运用完全平方公式分解因式和公式的恒等变形奠定了基础．。